А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Коефіцієнт - статечний ряд
Коефіцієнти статечного ряду можуть бути дійсними або комплексними числами.
Якщо коефіцієнти степеневого ряду - речові числа (як в наведених прикладах), то ясно, що радіус R кола збіжності на комплексній площині збігається з колишнім радіусом проміжку збіжності на дійсній осі.
Якщо коефіцієнти ап статечного ряду функції е № яв ляють позитивними числами для всіх досить большш п, то функція evW допустима.
Отже, коефіцієнти степеневого ряду в нулі правій частині цього рівняння невід'ємні.
Дисперсії оцінок коефіцієнтів даного сходиться статечного ряду не ростуть катастрофічно швидко з ростом п, якщо існує таке число С0 що величина Сп є верхньою межею дисперсії оцінки n - го коефіцієнта цього ряду.
Якщо відомі всі коефіцієнти степеневого ряду, то обчислення суми ряду та визначення його радіуса збіжності не постали - вить принципових труднощів, хоча й не завжди ці операції легко здійсненні.
В аналітичному випадку коефіцієнти степеневих рядів для q і т можуть бути обчислені рекуррентно.
Припустимо, що коефіцієнти степеневого ряду а гп - цілі числа, серед яких нескінченно багато відмінних від нуля Довести, що радіус збіжності не перевищує одиниці.
Цей другий спосіб визначення коефіцієнтів степеневого ряду, що задовольняє заданому диференціальному рівняння, який заснований на використанні ряду Маклорена, в деяких випадках вимагає меншої обчислювальної роботи, ніж метод невизначених коефіцієнтів. Він застосуємо для відшукання загального або приватного інтегралів рівняння, якщо воно вирішується відносно похідної вищого порядку і якщо шляхом його послідовного диференціювання можливо отримати похідну будь-якого порядку.
Вейєрштрасса про існування послідовності коефіцієнтів степеневого ряду, як завгодно точно наближає довільну безперервну функцію.
Однак звичайні діаграмні подання коефіцієнтів статечних рядів класичної статистики, побудовані на основі підходу[3, 4], Мають вельми неприємну властивість, завдяки якому вони практично непридатні як для чисельних розрахунків старших коефіцієнтів статечних рядів (наприклад, шостий вириальне коефіцієнт не обчислений досі, незважаючи на значні зусилля), так і для теоретичного аналізу поведінки старших коефіцієнтів.
Встановимо тепер нерівності Коші для коефіцієнтів степеневого ряду.
Однак для мети спрощення уявлень коефіцієнтів статечних рядів, що знаходять своє застосування в класичній статистичній механіці, потрібно більш сильне визначення ізоморфізму дерев, що ростуть.
Вони дозволяють оцінювати зверху модулі коефіцієнтів степеневого ряду через максимум модуля суми ряду на колі z - z0 p і радіус цієї окружності.
для стислості будемо говорити, що коефіцієнт статечного ряду є представленим в деревної формі, якщо він представлений у вигляді деревної суми.
Лежандра, які іноді визначають як коефіцієнти відповідного статечного ряду.
Цей метод дає асимптотические формули для коефіцієнтів степеневого ряду, особливості якого на окружності збіжності мають в даному разі простою характер.
Отримане нами рекурентне співвідношення дає можливість обчислити коефіцієнти степеневого ряду.
Використовуючи для своєї побудови локальні дані (коефіцієнти степеневого ряду), вони дозволяють вивчати глобальні властивості відповідної аналитич.
Доказ Юнгена спирається на асимптотичні формули для коефіцієнтів статечних рядів, що мають на колі збіжності єдину алгебраїчно - логарифмічну особливу точку.
Так, дь і Дс - сума алгебри коефіцієнтів степеневого ряду з урахуванням стехіометричних коефіцієнтів рівняння реакції; ДЯ0 - постійна інтегрування.
Тому для визначення дискретних значень перехідного процесу системи необхідно визначити коефіцієнти степеневого ряду.
Всі ці споріднені з ними дослідження спиралися на асимптотичні формули для коефіцієнтів степеневого ряду, сума якого має на окружності кола збіжності особливі точки тільки алгебраїчно-логарифмічного характеру.
Вираз (1229) дозволяє по заданому вектору початкових значень змінних стану знаходити коефіцієнти статечних рядів, що представляють на кроці інтегрування змінні стану, і будувати аналітичне продовження рішення.
Ще один метод докази неінтегріруемих гамільто-нових систем заснований на оцінках знизу коефіцієнтів статечних рядів для формальних інтегралів, що існують по теоремі Віркгофа (див. § 11 гл. Причиною розходження тут знову виявляються аномально малі знаменники - майже резонансні співвідношення між частотами малих коливань в околиці положень рівноваги.
Нерівності (30) виходять негайно, якщо скористатися інтегральними формулами для коефіцієнтів степеневого ряду (гл. Нерівності (110) відразу випливають з формули (1.9) і є аналогом нерівностей Коші для коефіцієнтів степеневого ряду. Формули (1) і (2 ) можуть застосовуватися лише тоді, коли всі коефіцієнти степеневого ряду сп відмінні від нуля.
У разі нелінійних ланцюгів для узагальненої записи рекурентних виразів, за допомогою яких визначаються коефіцієнти статечних рядів шуканих величин, доцільно провести кусочно-лінійну апроксимацію нелінійних характеристик.
В останні роки відповідно до прийнятих угод в таблицях термодинамічних функцій наводяться не тільки коефіцієнти степеневих рядів, а й величини Я (Г) - Я (0) для інтервалів температур ДГ100 К.
Ці два заходи аналогічні в тому сенсі, що бітові операції - це операції над коефіцієнтами статечних рядів, що представляють цілі числа, а арифметичні - це операції над коефіцієнтами поліномів.
До числа цих проблем відноситься, перш за все, проблема більш простого опису за допомогою графів структури коефіцієнтів статечних рядів, що розглядаються в деяких розділах теоретичної фізики, зокрема, в класичної статистичної механіки. Коефіцієнти таких рядів, як правило, подаються у вигляді сум, в яких складові маркуються графами, а кожний доданок виражається через функції, визначені на ребрах і вершинах маркирующего це доданок графа. Інакше кажучи, окремо взяте доданок суми, що виражає п-ий коефіцієнт ряду, при великих п не дає жодного уявлення про величину цього коефіцієнта. Тому вивчення окремих доданків втрачає сенс, а використання уявлення n - го коефіцієнта ряду у вигляді такої суми для його чисельної оцінки призводить до катастрофічно швидкого зростання, зі зростанням п, помилки обчислення.
Міркування, що використовуються при доказі теорем 621 і 622 залишаються в силі і для випадку, коли коефіцієнти степеневих рядів (621) або (625) є цілими числами з уявного квадратичного розширення поля раціональних чисел. Детальна характеристика виникають в цьому випадку раціональних функцій поки невідома.
Заданий в 842 набір операцій над раціональними числами може бути важливий в задачах, що потребують точного визначення (раціональних) коефіцієнтів статечних рядів. Подібні завдання можуть виникати там, де грають істотну роль такі операції, як додавання, віднімання, множення, ділення і підстановка статечних рядів.
Цю функцію справді можна представити у вигляді нескінченного ряду за ступенями z (ряду Тейлора); звідси ми робимо висновок, що коефіцієнти степеневого ряду функції (11) повинні бути числами Фібоначчі.
Величина 6ns (r) може бути представлена у вигляді статечного ряду: 6ns (/) - (Ь2г2 Ь - -) /% Для задовільного збігу з експериментом, як показано в роботі[82], Досить обмежитися двома членами цього розкладання. Значення коефіцієнтів степеневого ряду 62 і видання і взаємовідношення між ними можуть в значній мірі варіюватися при зміні режиму термообробки.
За якої умови однорідне лінійне рівняння другого-порядку має в околиці особливої точки хх0 хоча б одне приватне рішення у вигляді узагальненого статечного ряду. Як визначаються показник р і коефіцієнти степеневого ряду, що входить до складу рішення. В якій області сходиться цей статечної ряд. В якому випадку, відшукуючи рішення у вигляді узагальненого статечного ряду, отримують рішення у вигляді звичайного статечного ряду. Як залежить вид другого приватного рішення від характеру коренів визначального рівняння.
За якої умови однорідне лінійне рівняння другого порядку має в околиці особливої точки xxQ хоча б одне приватне рішення у вигляді узагальненого статечного ряду. Як визначаються показник р і коефіцієнти степеневого ряду, що входить до складу рішення. В якій області сходиться цей статечної ряд. В якому випадку, відшукуючи рішення у вигляді узагальненого статечного ряду, отримують рішення у вигляді звичайного статечного ряду. Як залежить вид другого приватного рішення від характеру коренів визначального рівняння.
Метод, застосований в попередніх параграфах для знаходження інтеграла, голоморфних в області початкових даних, показує, що такий голоморфної інтеграл - єдиний. Дійсно, формули (7) і (9) § 1 показують, що коефіцієнти степеневого ряду, що представляє інтеграл, знаходяться єдиним, цілком певним чином.
Дане нижче визначення асимптотической катастрофи сформульовано виходячи з таких положень. Інакше кажучи, це визначення має задовольняти умові: щоразу, коли в уявленнях коефіцієнтів степеневого ряду має місце асимптотична катастрофа в сенсі її опису, даного в[1]- W2w2w23. , Вона має місце і в сенсі даного визначення.
Він просто наочно уявляв собі різні завдання функцій: формулами, графіками, таблицями наближених чисельних значень, і послідовністю коефіцієнтів степеневого ряду, і особливими геометричними або фізичними умовами, яким можна дати лише бліді па-рафази в символічній логіці.
Малюнки 1 і 2 показують, що це призводить до значного уточнення результатів, які виходять при використанні аппроксимаций низького порядку. У роботі[Alabiso, Butera and Prosperi, 1971 ]вказується, що відносне збільшення точності стає менше з ростом порядку апроксимації. Оскільки обчислювальні труднощі (пов'язані головним чином з визначенням коефіцієнтів степеневого ряду) так чи інакше змушують використовувати апроксимації невисокого порядку, то застосування методу варіаційного уточнення апроксимацій можна рекомендувати у всіх випадках.
Многочлен - це, очевидно, окремий випадок статечного ряду, коли в ряді є лише кінцеве число членів. Зрозуміло, обчислювальна машина допускає подання і запам'ятовування лише кінцевого числа членів, так що осмислений питання, чи можлива взагалі арифметика статечних рядів на ЕОМ, і якщо можлива, то чим вона відрізняється від поліноміальної арифметики. Відповідь полягає в тому, що ми працюємо тільки з першими N коефіцієнтами статечного ряду, де параметр N може в принципі приймати довільно великі значення; замість звичайної полиномиальной арифметики ми по суті маємо справу з поліноміальної арифметикою по модулю ZN, і це часта призводить до дещо іншої точки зору. Далі, над статечними рядами можливе виконання деяких спеціальних операцій, наприклад звернення, по відношенню до яких безліч многочленів не є замкнутим.
Якщо коефіцієнти степеневого ряду - речові числа (як в наведених прикладах), то ясно, що радіус R кола збіжності на комплексній площині збігається з колишнім радіусом проміжку збіжності на дійсній осі.
Якщо коефіцієнти ап статечного ряду функції е № яв ляють позитивними числами для всіх досить большш п, то функція evW допустима.
Отже, коефіцієнти степеневого ряду в нулі правій частині цього рівняння невід'ємні.
Дисперсії оцінок коефіцієнтів даного сходиться статечного ряду не ростуть катастрофічно швидко з ростом п, якщо існує таке число С0 що величина Сп є верхньою межею дисперсії оцінки n - го коефіцієнта цього ряду.
Якщо відомі всі коефіцієнти степеневого ряду, то обчислення суми ряду та визначення його радіуса збіжності не постали - вить принципових труднощів, хоча й не завжди ці операції легко здійсненні.
В аналітичному випадку коефіцієнти степеневих рядів для q і т можуть бути обчислені рекуррентно.
Припустимо, що коефіцієнти степеневого ряду а гп - цілі числа, серед яких нескінченно багато відмінних від нуля Довести, що радіус збіжності не перевищує одиниці.
Цей другий спосіб визначення коефіцієнтів степеневого ряду, що задовольняє заданому диференціальному рівняння, який заснований на використанні ряду Маклорена, в деяких випадках вимагає меншої обчислювальної роботи, ніж метод невизначених коефіцієнтів. Він застосуємо для відшукання загального або приватного інтегралів рівняння, якщо воно вирішується відносно похідної вищого порядку і якщо шляхом його послідовного диференціювання можливо отримати похідну будь-якого порядку.
Вейєрштрасса про існування послідовності коефіцієнтів степеневого ряду, як завгодно точно наближає довільну безперервну функцію.
Однак звичайні діаграмні подання коефіцієнтів статечних рядів класичної статистики, побудовані на основі підходу[3, 4], Мають вельми неприємну властивість, завдяки якому вони практично непридатні як для чисельних розрахунків старших коефіцієнтів статечних рядів (наприклад, шостий вириальне коефіцієнт не обчислений досі, незважаючи на значні зусилля), так і для теоретичного аналізу поведінки старших коефіцієнтів.
Встановимо тепер нерівності Коші для коефіцієнтів степеневого ряду.
Однак для мети спрощення уявлень коефіцієнтів статечних рядів, що знаходять своє застосування в класичній статистичній механіці, потрібно більш сильне визначення ізоморфізму дерев, що ростуть.
Вони дозволяють оцінювати зверху модулі коефіцієнтів степеневого ряду через максимум модуля суми ряду на колі z - z0 p і радіус цієї окружності.
для стислості будемо говорити, що коефіцієнт статечного ряду є представленим в деревної формі, якщо він представлений у вигляді деревної суми.
Лежандра, які іноді визначають як коефіцієнти відповідного статечного ряду.
Цей метод дає асимптотические формули для коефіцієнтів степеневого ряду, особливості якого на окружності збіжності мають в даному разі простою характер.
Отримане нами рекурентне співвідношення дає можливість обчислити коефіцієнти степеневого ряду.
Використовуючи для своєї побудови локальні дані (коефіцієнти степеневого ряду), вони дозволяють вивчати глобальні властивості відповідної аналитич.
Доказ Юнгена спирається на асимптотичні формули для коефіцієнтів статечних рядів, що мають на колі збіжності єдину алгебраїчно - логарифмічну особливу точку.
Так, дь і Дс - сума алгебри коефіцієнтів степеневого ряду з урахуванням стехіометричних коефіцієнтів рівняння реакції; ДЯ0 - постійна інтегрування.
Тому для визначення дискретних значень перехідного процесу системи необхідно визначити коефіцієнти степеневого ряду.
Всі ці споріднені з ними дослідження спиралися на асимптотичні формули для коефіцієнтів степеневого ряду, сума якого має на окружності кола збіжності особливі точки тільки алгебраїчно-логарифмічного характеру.
Вираз (1229) дозволяє по заданому вектору початкових значень змінних стану знаходити коефіцієнти статечних рядів, що представляють на кроці інтегрування змінні стану, і будувати аналітичне продовження рішення.
Ще один метод докази неінтегріруемих гамільто-нових систем заснований на оцінках знизу коефіцієнтів статечних рядів для формальних інтегралів, що існують по теоремі Віркгофа (див. § 11 гл. Причиною розходження тут знову виявляються аномально малі знаменники - майже резонансні співвідношення між частотами малих коливань в околиці положень рівноваги.
Нерівності (30) виходять негайно, якщо скористатися інтегральними формулами для коефіцієнтів степеневого ряду (гл. Нерівності (110) відразу випливають з формули (1.9) і є аналогом нерівностей Коші для коефіцієнтів степеневого ряду. Формули (1) і (2 ) можуть застосовуватися лише тоді, коли всі коефіцієнти степеневого ряду сп відмінні від нуля.
У разі нелінійних ланцюгів для узагальненої записи рекурентних виразів, за допомогою яких визначаються коефіцієнти статечних рядів шуканих величин, доцільно провести кусочно-лінійну апроксимацію нелінійних характеристик.
В останні роки відповідно до прийнятих угод в таблицях термодинамічних функцій наводяться не тільки коефіцієнти степеневих рядів, а й величини Я (Г) - Я (0) для інтервалів температур ДГ100 К.
Ці два заходи аналогічні в тому сенсі, що бітові операції - це операції над коефіцієнтами статечних рядів, що представляють цілі числа, а арифметичні - це операції над коефіцієнтами поліномів.
До числа цих проблем відноситься, перш за все, проблема більш простого опису за допомогою графів структури коефіцієнтів статечних рядів, що розглядаються в деяких розділах теоретичної фізики, зокрема, в класичної статистичної механіки. Коефіцієнти таких рядів, як правило, подаються у вигляді сум, в яких складові маркуються графами, а кожний доданок виражається через функції, визначені на ребрах і вершинах маркирующего це доданок графа. Інакше кажучи, окремо взяте доданок суми, що виражає п-ий коефіцієнт ряду, при великих п не дає жодного уявлення про величину цього коефіцієнта. Тому вивчення окремих доданків втрачає сенс, а використання уявлення n - го коефіцієнта ряду у вигляді такої суми для його чисельної оцінки призводить до катастрофічно швидкого зростання, зі зростанням п, помилки обчислення.
Міркування, що використовуються при доказі теорем 621 і 622 залишаються в силі і для випадку, коли коефіцієнти степеневих рядів (621) або (625) є цілими числами з уявного квадратичного розширення поля раціональних чисел. Детальна характеристика виникають в цьому випадку раціональних функцій поки невідома.
Заданий в 842 набір операцій над раціональними числами може бути важливий в задачах, що потребують точного визначення (раціональних) коефіцієнтів статечних рядів. Подібні завдання можуть виникати там, де грають істотну роль такі операції, як додавання, віднімання, множення, ділення і підстановка статечних рядів.
Цю функцію справді можна представити у вигляді нескінченного ряду за ступенями z (ряду Тейлора); звідси ми робимо висновок, що коефіцієнти степеневого ряду функції (11) повинні бути числами Фібоначчі.
Величина 6ns (r) може бути представлена у вигляді статечного ряду: 6ns (/) - (Ь2г2 Ь - -) /% Для задовільного збігу з експериментом, як показано в роботі[82], Досить обмежитися двома членами цього розкладання. Значення коефіцієнтів степеневого ряду 62 і видання і взаємовідношення між ними можуть в значній мірі варіюватися при зміні режиму термообробки.
За якої умови однорідне лінійне рівняння другого-порядку має в околиці особливої точки хх0 хоча б одне приватне рішення у вигляді узагальненого статечного ряду. Як визначаються показник р і коефіцієнти степеневого ряду, що входить до складу рішення. В якій області сходиться цей статечної ряд. В якому випадку, відшукуючи рішення у вигляді узагальненого статечного ряду, отримують рішення у вигляді звичайного статечного ряду. Як залежить вид другого приватного рішення від характеру коренів визначального рівняння.
За якої умови однорідне лінійне рівняння другого порядку має в околиці особливої точки xxQ хоча б одне приватне рішення у вигляді узагальненого статечного ряду. Як визначаються показник р і коефіцієнти степеневого ряду, що входить до складу рішення. В якій області сходиться цей статечної ряд. В якому випадку, відшукуючи рішення у вигляді узагальненого статечного ряду, отримують рішення у вигляді звичайного статечного ряду. Як залежить вид другого приватного рішення від характеру коренів визначального рівняння.
Метод, застосований в попередніх параграфах для знаходження інтеграла, голоморфних в області початкових даних, показує, що такий голоморфної інтеграл - єдиний. Дійсно, формули (7) і (9) § 1 показують, що коефіцієнти степеневого ряду, що представляє інтеграл, знаходяться єдиним, цілком певним чином.
Дане нижче визначення асимптотической катастрофи сформульовано виходячи з таких положень. Інакше кажучи, це визначення має задовольняти умові: щоразу, коли в уявленнях коефіцієнтів степеневого ряду має місце асимптотична катастрофа в сенсі її опису, даного в[1]- W2w2w23. , Вона має місце і в сенсі даного визначення.
Він просто наочно уявляв собі різні завдання функцій: формулами, графіками, таблицями наближених чисельних значень, і послідовністю коефіцієнтів степеневого ряду, і особливими геометричними або фізичними умовами, яким можна дати лише бліді па-рафази в символічній логіці.
Малюнки 1 і 2 показують, що це призводить до значного уточнення результатів, які виходять при використанні аппроксимаций низького порядку. У роботі[Alabiso, Butera and Prosperi, 1971 ]вказується, що відносне збільшення точності стає менше з ростом порядку апроксимації. Оскільки обчислювальні труднощі (пов'язані головним чином з визначенням коефіцієнтів степеневого ряду) так чи інакше змушують використовувати апроксимації невисокого порядку, то застосування методу варіаційного уточнення апроксимацій можна рекомендувати у всіх випадках.
Многочлен - це, очевидно, окремий випадок статечного ряду, коли в ряді є лише кінцеве число членів. Зрозуміло, обчислювальна машина допускає подання і запам'ятовування лише кінцевого числа членів, так що осмислений питання, чи можлива взагалі арифметика статечних рядів на ЕОМ, і якщо можлива, то чим вона відрізняється від поліноміальної арифметики. Відповідь полягає в тому, що ми працюємо тільки з першими N коефіцієнтами статечного ряду, де параметр N може в принципі приймати довільно великі значення; замість звичайної полиномиальной арифметики ми по суті маємо справу з поліноміальної арифметикою по модулю ZN, і це часта призводить до дещо іншої точки зору. Далі, над статечними рядами можливе виконання деяких спеціальних операцій, наприклад звернення, по відношенню до яких безліч многочленів не є замкнутим.