А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Лінеал
Лінеал з певним за формулою (2.27) відстанню називається лінійним простором С.
Лінеал М, на якому визначена норма, що володіє властивостями (7.8) - (7.11), називається лінійним нормованим простором.
Лінеал, натягнутий наперший п власних функцій оператора В, подібного А, буде екстремальним по порядку.
Лінеал DA за припущенням щільний в Я. Отже, з (9.17) випливає, що елемент AuQ - f ортогонален в Я всім елементам множини, що є щільним в Я.
Позитивні танегативні лінеали об'єднуються загальною назвою дефінітние лінеали.
Вводимо лінеал Lz, що складається з елементів виду хP(А) г0 деP(Я) - довільний поліном.
Всі Скінченновимірні дефінітние лінеали рівномірно дефінітни.
Всі невід'ємні лінеалипростору Пх конечномерное.
Обидва лінеала Q і R містять безліч CJ00) (G), елементи якого з очевидністю задовольняють даним умовам.
Відображення лінеала Vect (n) в себе (де, як завжди, п 123) прийнято називати операторами.
Теорія ссмідефіпітних ідефінітних лінеалов і підпросторів (зокрема, поняття внутрішньої метрики і рівномірної дефіцитності, регулярних і сингулярних лінеалов), розвинена в § § 4 - 6 для просторів Крейна, в значній мірі зберігає силу і для - просторів і, в особливості, дляG-просторів.
У лінеале Vect (n), п, 2 3 існує п лінійно незалежних векторів, тоді як будь сімейство, що складається з більшого числа векторів, лінійно залежно.
Слідство 4.2. Лінеали і чP8 в умовах теореми 4.1 замкнуті або незамкнуті одночасно.
Слідство 4.8. Максимальний позитивний лінеал 8 у разі своєї замкнутості є максимальним ненегативним лінеалом.
Аналогічно визначаються максимальні невід'ємні, максимальні негативні, максимальні непозитивно, максимальнінейтральні і максимальні невироджені лінеали.
Pазложеніе (1.15) довільного лінеала 8 (з 6) на ізотропний (8) і невироджений (8 лінеали породжує природне запитання про можливість подальшого розкладання невиродженого лінеала 8i, якщо він індефінітен, впряму суму позитивного і негативного лінеалов. Не заглиблюючись тут у цю важку проблему, породило велику літературу (див. нижче § 6), встановимо поки лише декілька порівняно простих фактів.
Визначимо на лінеале S (V) нове (коммутатівное.
Для тогощоб лінеал 8 (сг) був проекційно повним, необхідно, щоб він був замкнутим: 8 8i Зокрема, підпростори 8 і 8Ш можуть бути проекційно повними тільки одночасно.
Нехай С - максимальний лінеал з і тому (див. 3.5) замкнений. P-8 Виберемо по вектору х і х - (х Наг II 0)відповідно. Залишається розглянути нейтральний лінеал З Lin C, х С (С 8), щоб прийти до протиріччя з максимальною нейтральністю С.
Визначення 4.15. Якщо максимальний нейтральний лінеал С є максимальним ненегативним і максимальним непозитивноодночасно, то він називається гіпермаксімальним нейтральним.
Кожен з класів лінеалов в, описаних у попередніх пунктах, містить деякі спеціальні лінеали, що представляють для нас надалі особливий інтерес.
Поняття проекційної повноти лінеалавведено незалежно шайби[1]і в окремому випадку І. Іохвідовим[21](Див.[VI ]), Якому належить і терміп проекційна полпота.
Через позначимо замикання лінеалов & (з: б) але нормі 11 - 11 - відповідно.
Звідси випливає, що лінеал 32 //замкнутий, тобто єподпроотра. Тому простір X разлагеется в пряму оумму підпросторів ІЦP) Я i (ji) lX - lfi (P У - (3) За теоремою 0.4.2. Ця пряма оумг а являетол топологічної.
Звідси виводиться, що лінеали Тг.
У цьому просторі задані лінеал DA, а також щільний в Я іпозитивний (або позитивно певний) оператор Л, який відображає DA в Я.
Прикладами /(- лінеалов можуть служити всі наведені в § 1 приклади частково впорядкованих множин.
Зауваження 18.2. Якщо функції лінеала М задовольняють додатковим умовам,а саме умовам і (а) 0 або й (&) 0 або одночасно і (а) О, і (Ь) О, то для цих спеціальних випадків виходять відповідні окремі випадки тільки що виведених оцінок.
Визначення 6.1. Якщо для лінеала 8 (ф) існує /- ортогональне розкладання (6.1), то 8називається разложима лінеалом; у противному випадку 8 називається нерозкладним лінеалом.
У всякому розкладанні (1.15) довільного лінеала 8 де 8 - його ізотропний лінеал, 8i є максимальним (у 8) невироджених лінеалом.
Перш ніж навести прикладнезамкнутого максимального позитивного лінеала, нагадаємо одну лему загального характеру, якої нижче доведеться неодноразово користуватися.
На основі (17.6) на лінеале D були звичайним чином визначені норма u А і відстань рл. Вони знову є розширеннями норми і Аі відстані РА (і, v), визначених спочатку на DA за допомогою (17.4), на повне безліч D. Лінеал D з метрикою рл називається простором НА. Це простір повно в метриці рл; отже, воно є Гільбертовим простором. Як уже зазначалося, його елементиє, з одного боку, елементами лінеала DA (всюди щільного в Ял), з іншого-елементами Df. Df є елементом Я, не приналежним Dл, хоча в той же час є межею в Н деякої послідовності ип, фундаментальною в SA. Елементи з Df можуть мати самий різнийхарактер. Наприклад, у поширеному випадку диференціальних операторів другого порядку, де в якості Я вибирається, як правило, L2 (G) l) і де лінеал функцій, неперервних зі своїми приватними похідними першого і другого порядку в замкнутій області G і задовольняютьрозглянутим граничним умовам, береться в якості DA щодо елементів Df ми можемо в загальному сказати тільки те, що вони володіють так званими узагальненими приватними похідними першого порядку, квадратично інтегровною в області G. Пізніше, коли буде визначенопростір WG), можна буде характеризувати елементи НА більш докладно.
Pавномерно дефінітние (регулярні) лінеали і підпростори.
Нехай, для визначеності, лінеал 8 позитивний. Оскільки форма[х, у ]па 8 є позитивно визначеною ([х, х ]0 для всіх (8) ж 8), то її можна прийняти - за нове скалярний добуток на 8 перетворивши цим самим 8 у (взагалі кажучи) предгільбертово простір.
З (2.1) видно, що лінеали ЬPі Lp визначаються формулами (2.2), є власними для операторів П Т 1 і Г Г 1 відповідно.
Довести, що всі максимальні рівномірно дефінітние лінеали замкнуті, і отримати для них принцип максимальності (СР
Із практичної точки зору знаходження екстремального лінеала, наприклад, системи власних функцій, може виявитися складнішим, ніж рішення вихідної задачі.
Доведіть, що будь ізоморфізм лінеала Vect (n) на лінеал R є координатним изоморфизмом, певним деяким базисом.
Займемося тепер іншим приватним випадком семіде-фіпітних лінеалов - нейтральними лінеаламі і () в просторі Крейна.
Оператор А линеен і DA - лінеал, щільний в Я.
Визначення 1.14. У разі 6 серпня лінеал 8 називається невироджених, в іншому випадку - ви-народженим.
Слідство 9.3. У просторі Пх всякий позитивний лінеал рівномірно позитивний.
Індекс N служить тільки для позначення нового лінеала і нової норми.
При переході до розгляду нейтральних розширень нейтральних лінеалов нам (у відповідності зі сказаним вище слідом за доказом пропозиції 8.3) знадобляться ще теорема 8.2 а також пе сформульований нами аналог 8.7 пропозиції 8.7 для непозитивно лінеалов.
Позитивні та негативні лінеали об'єднуються загальною назвою дефінітние лінеали.
Використовувати як С, наприклад, максимальний позитивний лінеал з прикладу 4.12 а потім, знову застосувавши лему 4.11 побудувати Ct з С.
Але це означає, що лінійні розмірності лінеалов й і 8 - не перевищують лінійної розмірності лінеала Й2 а тому вони не більш ніж Рахункової, що неможливо, бо їх пряма сума 8 4 - 8 - S 8i 82 ізоморфна лінеалу Si більш високої розмірності.
Прикладами (але далеко не єдиними) вироджених лінеалов є все (8)) семідефінітние лінеали, відмінні від дефінітних.
Визначення 10.1. Предгільбертово простір, утворене елементами лінеала D зі скалярним добутком (10.48) і метрикою (10.59), називається простором НА.
Лінійне простір також називають векторним простором і лінеалом.
Лінеал М, на якому визначена норма, що володіє властивостями (7.8) - (7.11), називається лінійним нормованим простором.
Лінеал, натягнутий наперший п власних функцій оператора В, подібного А, буде екстремальним по порядку.
Лінеал DA за припущенням щільний в Я. Отже, з (9.17) випливає, що елемент AuQ - f ортогонален в Я всім елементам множини, що є щільним в Я.
Позитивні танегативні лінеали об'єднуються загальною назвою дефінітние лінеали.
Вводимо лінеал Lz, що складається з елементів виду хP(А) г0 деP(Я) - довільний поліном.
Всі Скінченновимірні дефінітние лінеали рівномірно дефінітни.
Всі невід'ємні лінеалипростору Пх конечномерное.
Обидва лінеала Q і R містять безліч CJ00) (G), елементи якого з очевидністю задовольняють даним умовам.
Відображення лінеала Vect (n) в себе (де, як завжди, п 123) прийнято називати операторами.
Теорія ссмідефіпітних ідефінітних лінеалов і підпросторів (зокрема, поняття внутрішньої метрики і рівномірної дефіцитності, регулярних і сингулярних лінеалов), розвинена в § § 4 - 6 для просторів Крейна, в значній мірі зберігає силу і для - просторів і, в особливості, дляG-просторів.
У лінеале Vect (n), п, 2 3 існує п лінійно незалежних векторів, тоді як будь сімейство, що складається з більшого числа векторів, лінійно залежно.
Слідство 4.2. Лінеали і чP8 в умовах теореми 4.1 замкнуті або незамкнуті одночасно.
Слідство 4.8. Максимальний позитивний лінеал 8 у разі своєї замкнутості є максимальним ненегативним лінеалом.
Аналогічно визначаються максимальні невід'ємні, максимальні негативні, максимальні непозитивно, максимальнінейтральні і максимальні невироджені лінеали.
Pазложеніе (1.15) довільного лінеала 8 (з 6) на ізотропний (8) і невироджений (8 лінеали породжує природне запитання про можливість подальшого розкладання невиродженого лінеала 8i, якщо він індефінітен, впряму суму позитивного і негативного лінеалов. Не заглиблюючись тут у цю важку проблему, породило велику літературу (див. нижче § 6), встановимо поки лише декілька порівняно простих фактів.
Визначимо на лінеале S (V) нове (коммутатівное.
Для тогощоб лінеал 8 (сг) був проекційно повним, необхідно, щоб він був замкнутим: 8 8i Зокрема, підпростори 8 і 8Ш можуть бути проекційно повними тільки одночасно.
Нехай С - максимальний лінеал з і тому (див. 3.5) замкнений. P-8 Виберемо по вектору х і х - (х Наг II 0)відповідно. Залишається розглянути нейтральний лінеал З Lin C, х С (С 8), щоб прийти до протиріччя з максимальною нейтральністю С.
Визначення 4.15. Якщо максимальний нейтральний лінеал С є максимальним ненегативним і максимальним непозитивноодночасно, то він називається гіпермаксімальним нейтральним.
Кожен з класів лінеалов в, описаних у попередніх пунктах, містить деякі спеціальні лінеали, що представляють для нас надалі особливий інтерес.
Поняття проекційної повноти лінеалавведено незалежно шайби[1]і в окремому випадку І. Іохвідовим[21](Див.[VI ]), Якому належить і терміп проекційна полпота.
Через позначимо замикання лінеалов & (з: б) але нормі 11 - 11 - відповідно.
Звідси випливає, що лінеал 32 //замкнутий, тобто єподпроотра. Тому простір X разлагеется в пряму оумму підпросторів ІЦP) Я i (ji) lX - lfi (P У - (3) За теоремою 0.4.2. Ця пряма оумг а являетол топологічної.
Звідси виводиться, що лінеали Тг.
У цьому просторі задані лінеал DA, а також щільний в Я іпозитивний (або позитивно певний) оператор Л, який відображає DA в Я.
Прикладами /(- лінеалов можуть служити всі наведені в § 1 приклади частково впорядкованих множин.
Зауваження 18.2. Якщо функції лінеала М задовольняють додатковим умовам,а саме умовам і (а) 0 або й (&) 0 або одночасно і (а) О, і (Ь) О, то для цих спеціальних випадків виходять відповідні окремі випадки тільки що виведених оцінок.
Визначення 6.1. Якщо для лінеала 8 (ф) існує /- ортогональне розкладання (6.1), то 8називається разложима лінеалом; у противному випадку 8 називається нерозкладним лінеалом.
У всякому розкладанні (1.15) довільного лінеала 8 де 8 - його ізотропний лінеал, 8i є максимальним (у 8) невироджених лінеалом.
Перш ніж навести прикладнезамкнутого максимального позитивного лінеала, нагадаємо одну лему загального характеру, якої нижче доведеться неодноразово користуватися.
На основі (17.6) на лінеале D були звичайним чином визначені норма u А і відстань рл. Вони знову є розширеннями норми і Аі відстані РА (і, v), визначених спочатку на DA за допомогою (17.4), на повне безліч D. Лінеал D з метрикою рл називається простором НА. Це простір повно в метриці рл; отже, воно є Гільбертовим простором. Як уже зазначалося, його елементиє, з одного боку, елементами лінеала DA (всюди щільного в Ял), з іншого-елементами Df. Df є елементом Я, не приналежним Dл, хоча в той же час є межею в Н деякої послідовності ип, фундаментальною в SA. Елементи з Df можуть мати самий різнийхарактер. Наприклад, у поширеному випадку диференціальних операторів другого порядку, де в якості Я вибирається, як правило, L2 (G) l) і де лінеал функцій, неперервних зі своїми приватними похідними першого і другого порядку в замкнутій області G і задовольняютьрозглянутим граничним умовам, береться в якості DA щодо елементів Df ми можемо в загальному сказати тільки те, що вони володіють так званими узагальненими приватними похідними першого порядку, квадратично інтегровною в області G. Пізніше, коли буде визначенопростір WG), можна буде характеризувати елементи НА більш докладно.
Pавномерно дефінітние (регулярні) лінеали і підпростори.
Нехай, для визначеності, лінеал 8 позитивний. Оскільки форма[х, у ]па 8 є позитивно визначеною ([х, х ]0 для всіх (8) ж 8), то її можна прийняти - за нове скалярний добуток на 8 перетворивши цим самим 8 у (взагалі кажучи) предгільбертово простір.
З (2.1) видно, що лінеали ЬPі Lp визначаються формулами (2.2), є власними для операторів П Т 1 і Г Г 1 відповідно.
Довести, що всі максимальні рівномірно дефінітние лінеали замкнуті, і отримати для них принцип максимальності (СР
Із практичної точки зору знаходження екстремального лінеала, наприклад, системи власних функцій, може виявитися складнішим, ніж рішення вихідної задачі.
Доведіть, що будь ізоморфізм лінеала Vect (n) на лінеал R є координатним изоморфизмом, певним деяким базисом.
Займемося тепер іншим приватним випадком семіде-фіпітних лінеалов - нейтральними лінеаламі і () в просторі Крейна.
Оператор А линеен і DA - лінеал, щільний в Я.
Визначення 1.14. У разі 6 серпня лінеал 8 називається невироджених, в іншому випадку - ви-народженим.
Слідство 9.3. У просторі Пх всякий позитивний лінеал рівномірно позитивний.
Індекс N служить тільки для позначення нового лінеала і нової норми.
При переході до розгляду нейтральних розширень нейтральних лінеалов нам (у відповідності зі сказаним вище слідом за доказом пропозиції 8.3) знадобляться ще теорема 8.2 а також пе сформульований нами аналог 8.7 пропозиції 8.7 для непозитивно лінеалов.
Позитивні та негативні лінеали об'єднуються загальною назвою дефінітние лінеали.
Використовувати як С, наприклад, максимальний позитивний лінеал з прикладу 4.12 а потім, знову застосувавши лему 4.11 побудувати Ct з С.
Але це означає, що лінійні розмірності лінеалов й і 8 - не перевищують лінійної розмірності лінеала Й2 а тому вони не більш ніж Рахункової, що неможливо, бо їх пряма сума 8 4 - 8 - S 8i 82 ізоморфна лінеалу Si більш високої розмірності.
Прикладами (але далеко не єдиними) вироджених лінеалов є все (8)) семідефінітние лінеали, відмінні від дефінітних.
Визначення 10.1. Предгільбертово простір, утворене елементами лінеала D зі скалярним добутком (10.48) і метрикою (10.59), називається простором НА.
Лінійне простір також називають векторним простором і лінеалом.