А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Я-теорема - Больцман
Я-теорема Больцмана дуже важлива, так як виявляє фундаментальне властивість рівняння Больцмана - незворотність: величина Я завжди зменшується, навіть коли вона не йде в навколишній простір (знак рівності в (9.7) або в (910)) при відсутності обміну енергією між газом і його оточенням.
Я-теорема Больцмана для газу в термостаті, Докл.
Я-теорема Больцмана не є наслідком законів механіки системи частинок. При її виведенні істотно використовуються статистичні поняття, наприклад середнє число зіткнень і ін. Я-теорема тому має імовірнісний характер. Вона являє собою кількісну формулювання закону зростання ентропії для деяких процесів, що відбуваються в ідеальному газі.
Я-теоремою Больцмана тільки для ідеальногазових систем, де термодинамічні ймовірності частин системи є незалежними і де тому термодинамічна ймовірність стану системи в цілому може бути визначена як добуток ймовірностей стану окремих частин системи.
У цьому полягає Я-теорема Больцмана.
Ми обговоримо тепер Я-теорему Больцмана в світлі наших розглядів.
Цей результат висловлює знамениту Я-теорему Больцмана.
Це співвідношення носить назву Я-теореми Больцмана. Функціонал Я з протилежним знаком збігається з ентропією системи, так що співвідношення (1.6) підтверджує закон зростання ентропії для даної системи.
Цей результат є Я-теорему Больцмана при описі еволюції системи за допомогою рівнянь для мноточастічних функцій розподілу.
Математичної формулюванням такого стану речей є Я-теорема Больцмана.
Для вирішення цього питання необхідно звернутися до Я-теоремі Больцмана.
Слід зупинитися також на запереченні Цермело, висунутому проти Я-теореми Больцмана. Однак, згідно з Я-теоремі, ентропія може тільки зростати. Отже, робить висновок Цермело, рівняння Больцмана суперечить механіці.
З нерівностей (9.4) і (9.6) виведемо дві класичні формулювання знаменитої Я-теореми Больцмана.
Якщо всі попередні кроки зробити строгими, ми отримаємо цілком задовільний висновок Я-теореми Больцмана.
Тут же лише зазначимо, що можливо і відповідне узагальнення Я-теореми Больцмана при переході на рівень опису за допомогою багаточасткових функцій розподілу.
Третя глава присвячена граничним умовам. У зв'язку з цим обговорюються явища, що відбуваються при взаємодії газу з поверхнею, і роль, яку вони грають при доказі Я-теореми Больцмана. У четвертому розділі розглядаються лінійні рівняння переносу, особливо лінеаризоване рівняння Больцмана, рівняння переносу нейтронів і випромінювання, а також лінійні модельні рівняння. Основна увага приділяється загальним аспектам цих завдань і їх рішення. У п'ятому розділі обговорюються граничні випадки бесстолкновітел'-ного і майже континуальної течій. Шоста глава присвячена аналітичному рішенням лінійних кінетичних модельних рівнянь з додатком до ряду задач про течіях газу і поширенні звуку в розріджених газах.
Необхідно підкреслити, що ця теорема має не динамічний, а статистичний (імовірнісний) характер. Справа в тому, що кінетичне рівняння Больцмана визначає зміна спів-часом середньої або найбільш імовірною щільності числа частинок f (q, p, t), тому Я-теорема Больцмана не означає, що величина Я (t) для даної маси газу повинна обов'язково спадати протягом кожного короткого інтервалу, але стверджує лише, що її спадання ймовірніше, ніж зростання при наближенні газу до рівноважного стану.
Взагалі кажучи, головне завдання нерівноважної статистичної механіки полягає в тому, щоб вивести кінетичні рівняння або рівняння нерівноважноїтермодинаміки, виходячи з рівняння Ліувілля. Найбільш вражаючою і навіть парадоксальною особливістю цього завдання є те, що ми хочемо вивести незворотні в часі макроскопічні рівняння з оборотного рівняння Ліувілля. Парадоксальність ситуації в теорії нерівноважних процесів була помічена дуже давно. Як приклади нагадаємо відомий парадокс оборотності Лошмідта[119]і парадокс повернення Цермело[168], Які були висунуті проти Я-теореми Больцмана в кінетичної теорії газів. Проблему незворотності добре розумів Гіббс[13], Коли обговорював зростання ентропії внаслідок перемішування в фазовому просторі.
Я-теорема Больцмана для газу в термостаті, Докл.
Я-теорема Больцмана не є наслідком законів механіки системи частинок. При її виведенні істотно використовуються статистичні поняття, наприклад середнє число зіткнень і ін. Я-теорема тому має імовірнісний характер. Вона являє собою кількісну формулювання закону зростання ентропії для деяких процесів, що відбуваються в ідеальному газі.
Я-теоремою Больцмана тільки для ідеальногазових систем, де термодинамічні ймовірності частин системи є незалежними і де тому термодинамічна ймовірність стану системи в цілому може бути визначена як добуток ймовірностей стану окремих частин системи.
У цьому полягає Я-теорема Больцмана.
Ми обговоримо тепер Я-теорему Больцмана в світлі наших розглядів.
Цей результат висловлює знамениту Я-теорему Больцмана.
Це співвідношення носить назву Я-теореми Больцмана. Функціонал Я з протилежним знаком збігається з ентропією системи, так що співвідношення (1.6) підтверджує закон зростання ентропії для даної системи.
Цей результат є Я-теорему Больцмана при описі еволюції системи за допомогою рівнянь для мноточастічних функцій розподілу.
Математичної формулюванням такого стану речей є Я-теорема Больцмана.
Для вирішення цього питання необхідно звернутися до Я-теоремі Больцмана.
Слід зупинитися також на запереченні Цермело, висунутому проти Я-теореми Больцмана. Однак, згідно з Я-теоремі, ентропія може тільки зростати. Отже, робить висновок Цермело, рівняння Больцмана суперечить механіці.
З нерівностей (9.4) і (9.6) виведемо дві класичні формулювання знаменитої Я-теореми Больцмана.
Якщо всі попередні кроки зробити строгими, ми отримаємо цілком задовільний висновок Я-теореми Больцмана.
Тут же лише зазначимо, що можливо і відповідне узагальнення Я-теореми Больцмана при переході на рівень опису за допомогою багаточасткових функцій розподілу.
Третя глава присвячена граничним умовам. У зв'язку з цим обговорюються явища, що відбуваються при взаємодії газу з поверхнею, і роль, яку вони грають при доказі Я-теореми Больцмана. У четвертому розділі розглядаються лінійні рівняння переносу, особливо лінеаризоване рівняння Больцмана, рівняння переносу нейтронів і випромінювання, а також лінійні модельні рівняння. Основна увага приділяється загальним аспектам цих завдань і їх рішення. У п'ятому розділі обговорюються граничні випадки бесстолкновітел'-ного і майже континуальної течій. Шоста глава присвячена аналітичному рішенням лінійних кінетичних модельних рівнянь з додатком до ряду задач про течіях газу і поширенні звуку в розріджених газах.
Необхідно підкреслити, що ця теорема має не динамічний, а статистичний (імовірнісний) характер. Справа в тому, що кінетичне рівняння Больцмана визначає зміна спів-часом середньої або найбільш імовірною щільності числа частинок f (q, p, t), тому Я-теорема Больцмана не означає, що величина Я (t) для даної маси газу повинна обов'язково спадати протягом кожного короткого інтервалу, але стверджує лише, що її спадання ймовірніше, ніж зростання при наближенні газу до рівноважного стану.
Взагалі кажучи, головне завдання нерівноважної статистичної механіки полягає в тому, щоб вивести кінетичні рівняння або рівняння нерівноважноїтермодинаміки, виходячи з рівняння Ліувілля. Найбільш вражаючою і навіть парадоксальною особливістю цього завдання є те, що ми хочемо вивести незворотні в часі макроскопічні рівняння з оборотного рівняння Ліувілля. Парадоксальність ситуації в теорії нерівноважних процесів була помічена дуже давно. Як приклади нагадаємо відомий парадокс оборотності Лошмідта[119]і парадокс повернення Цермело[168], Які були висунуті проти Я-теореми Больцмана в кінетичної теорії газів. Проблему незворотності добре розумів Гіббс[13], Коли обговорював зростання ентропії внаслідок перемішування в фазовому просторі.