А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Умовний екстремум
Умовний екстремум цієї функції може бути знайдений методом Лагранжа.
Умовний екстремум функції (6.8) при умовах (6.9) і (6.10) в деяких випадках (початкова точка Л12 на рис. 6.5 а і початкові точки М3 і Л14 на рис. 6.5 б, в, г)відповідає ічіоУопл УЧ.
До оптимізації по част - Ч - Умови працездатному критерієм ності всіх інших вихідних параметрів включаються. Умовний екстремум функції у (W) буде знайдений на кордоні області працездатності (деяка точка А на рис. 3) внаслідокзробленого припущення про конфліктності умов працездатності. Але з фізичної точки зору точка А не може бути визнана найкращою, оскільки велика вірогідність виходу отображающей точки за межі області УО.
Відшукання умовного екстремуму - значнобільш складне завдання, ніж визначення безумовного екстремуму. Тому зазвичай пошук умовного екстремуму зводять до відшукання безумовного екстремуму шляхом еквівалентної заміни вихідного функціоналу разом з обмеженнями на деякий спеціальним чином підібранийфункціонал, безумовний екстремум якого збігається з умовним екстремумів вихідного функціоналу. Надалі будемо припускати, що система заданих обмежень не суперечлива, а заданий функціонал має один екстремум.
Знаходження умовного екстремумунабагато ускладнюється, якщо він знаходиться на нелінійної кордоні. Так як в реальній ситуації необхідно організувати пошук як усередині допустимої області, так і на кордоні, загальний алгоритм пошуку доцільно представляти як сукупність відповідних двох правил.
Знаходження умовного екстремуму набагато ускладнюється, якщо він знаходиться на нелінійної кордоні.
Визначення умовного екстремуму функціонала при обмеженнях змішаного типу зручно проводити за методом штрафних функцій, для чого попередньо всі обмеженнятипу нерівностей заміняються еквівалентними обмеженнями у формі рівностей.
Точка умовного екстремуму функції /є стаціонарною точкою функції Лагранжа.
Зображення вось - Визначимо тепер вагові коефіцієнти. Пошук умовного екстремуму функції s2 (WkJпри наявності обмежень (22.6) проводиться з використанням методу Лагранжа.
Обчислення умовного екстремуму інтеграла дії Слудський зводить до обчислення безумовного екстремуму за способом невизначених множників Лагранжа, причому невизначений множниквизначає за способомPодрігеса за допомогою рівнянь, що відносяться до меж інтеграла.
Обчислення умовного екстремуму інтеграла дії Слудський зводить до обчислення безумовного екстремуму за способом невизначених множників Лагранжа, причому невизначениймножник А визначає за способомPодрігеса за допомогою рівнянь, що відносяться до меж інтеграла.
Можна описувати умовний екстремум і методом перебору всіх комбінацій незалежних змінних, квантуя змінні деяким довільним чином. Всі комбінаціїнезалежних змінних можна перебрати на обчислювальній машині, підставляючи їх у рівняння регресії. При цьому координати умовного екстремуму будуть знайдені з точністю, обмеженою інтервалом квантування.
R має умовний екстремум.
Завдання наумовний екстремум для функцій трьох змінних допускають більшу різноманітність.
Завдання на умовний екстремум найзручніше вирішуються методом, аналогічним методу невизначених множників Лагранжа, яким вирішуються завдання на умовний екстремум функцій.
Rмає умовний екстремум.
R має умовний екстремум, так і значення множників кь.
Завдання на умовний екстремум для функцій трьох змінних допускають більшу різноманітність.
Пошук умовного екстремуму методом проекції градієнта приобмеженнях-нерівностях. Траєкторія пошуку умовного екстремуму зображена жирною суцільною лінією. З вихідної точки Xq здійснюється рух у напрямку антіградіента цільової функції до тих пір, поки не відбудеться порушення обмеження.
Для дослідженняумовного екстремуму застосуємо метод постійних множників Лагранжа.
Тоді точка умовного екстремуму є такою точкою поверхні, в якій функція приймає найбільше або найменше значення в порівнянні з її значеннями у всіх прилеглих точках цієїж поверхні.
Шуканими точками умовного екстремуму можуть бути тільки ті, координати ДГ, у, z яких є рішеннями цієї системи.
До дослідження умовних екстремумів призводить завдання визначення глобальних екстремумів в заданій області при вивченніповедінки функції на її кордоні.
Тоді точка умовного екстремуму є такою точкою поверхні, в якій функція приймає найбільше або найменше значення в порівнянні з її значеннями у всіх прилеглих точках цієї ж поверхні.
Завдання відшуканняумовного екстремуму функцій відрізняються від звичайних задач відшукання екстремуму функцій (або, як іноді кажуть, задач відшукання безумовного екстремуму) тим, що в перших значеннях аргументів (в даному випадку величин р /) розглянутої функції не єнезалежними: вони пов'язані деякими співвідношеннями, що обмежують область їх можливої ??зміни. У завданнях другого типу подібних обмежень на значення аргументів не існує.
Сформульована задача на умовний екстремум називається задачею Лагранжа зголономні зв'язками.
Pассмотрім задачу на умовний екстремум, коли рівняння зв'язку містять похідні.
Типовою задачею на умовний екстремум є задача про так званих геодезичних лініях: лініях найменшої довжини, що зв'язують дві заданіточки на деякій поверхні.
Варіаційними задачами на умовний екстремум (або завданнями на пов'язаний екстремум) називають завдання, в яких потрібно знайти екстремум функціоналу, причому на функції, які є аргументами цього функціонала, накладаютьсядеякі зв'язки.
Ця задача на умовний екстремум вирішується методом множників Лагранжа, суть якого полягає в наступному.
Перетворення задачі на умовний екстремум в задачі на безумовний може здійснюватися й іншими способами, вибір якихзалежить від складності та трудомісткості обчислень.
Pешается завдання пошуку умовного екстремуму.
Прямий метод знаходження умовного екстремуму рідко буває ефективним з огляду на труднощі дозволу рівнянь зв'язків щодо якої-небудь групи змінних.
Визначимо тепер точку умовного екстремуму, користуючись методом множників Лагранжа.
Викладений спосіб відшукання умовного екстремуму швидше являє геометричну ілюстрацію сутності завдання на умовний екстремум, а не метод, який можна рекомендувати для використання.
Достатніх умов для умовного екстремуму через їх складності ми не розглядаємо.
Це достатня умова умовного екстремуму, однак, не досить загальне, і його не вистачає для дослідження багатьох задач. Для цього розкладемо функцію Ф в околиці зазначеної точки д: (0 за формулою Тейлора, беручи члени до другого порядку включно.
Використовуючи для відшукання умовного екстремуму функції S (p -) метод невизначених множників Лагранжа і практично повністю повторюючи викладення розділу 1.4 отримуємо шукане вираз для рівноважного розподілу ймовірностей[ср
До ілюстрації особливостей роботи методів спрямованого пошуку. Однак при визначенні умовного екстремуму функції мети в допустимій області зміни параметрів, який, як правило, не збігається з її абсолютним екстремумів, як, наприклад, на рис . 5.155.16 нерівність (5.45) може не виконуватися. Тому в якості більш універсального умови закінчення пошуку за методом градієнта використовується наступне: якщо в обраному напрямку не вдається по кожному параметру виконати робочий крок, який дає поліпшення функції мети і за значенням перевищує е ( відповідний, наприклад, відрізку розбиття Лх.
Загальна некласична завдання на умовний екстремум, сформульована вище, розпадається на ряд приватних завдань, що мають вельми важливе практичне додаток і спеціальні методи рішення.
Методи рішення задач на умовний екстремум можуть бути розбиті на дві великі групи: методи зведення вихідної задачі до послідовності задач на безумовний екстремум і методи зведення до послідовності інших, більш простих екстремальних задач з обмеженнями.
Класичним прикладом задачі на умовний екстремум (з го-лономной зв'язком) є завдання визначення геодезичних ліній на поверхні .
Отримуємо типову задачу на умовний екстремум.
Для вирішення завдання на умовний екстремум пропонується поєднувати стохастичну апроксимацію з методом проектування градієнта або з методом штрафних функцій.
Зведення задачі Лагранжа на умовний екстремум до задачі на безумовний екстремум, коли інтеграл (1.1 ) з самого початку заданий тільки на безлічі до.
Умовний екстремум функції (6.8) при умовах (6.9) і (6.10) в деяких випадках (початкова точка Л12 на рис. 6.5 а і початкові точки М3 і Л14 на рис. 6.5 б, в, г)відповідає ічіоУопл УЧ.
До оптимізації по част - Ч - Умови працездатному критерієм ності всіх інших вихідних параметрів включаються. Умовний екстремум функції у (W) буде знайдений на кордоні області працездатності (деяка точка А на рис. 3) внаслідокзробленого припущення про конфліктності умов працездатності. Але з фізичної точки зору точка А не може бути визнана найкращою, оскільки велика вірогідність виходу отображающей точки за межі області УО.
Відшукання умовного екстремуму - значнобільш складне завдання, ніж визначення безумовного екстремуму. Тому зазвичай пошук умовного екстремуму зводять до відшукання безумовного екстремуму шляхом еквівалентної заміни вихідного функціоналу разом з обмеженнями на деякий спеціальним чином підібранийфункціонал, безумовний екстремум якого збігається з умовним екстремумів вихідного функціоналу. Надалі будемо припускати, що система заданих обмежень не суперечлива, а заданий функціонал має один екстремум.
Знаходження умовного екстремумунабагато ускладнюється, якщо він знаходиться на нелінійної кордоні. Так як в реальній ситуації необхідно організувати пошук як усередині допустимої області, так і на кордоні, загальний алгоритм пошуку доцільно представляти як сукупність відповідних двох правил.
Знаходження умовного екстремуму набагато ускладнюється, якщо він знаходиться на нелінійної кордоні.
Визначення умовного екстремуму функціонала при обмеженнях змішаного типу зручно проводити за методом штрафних функцій, для чого попередньо всі обмеженнятипу нерівностей заміняються еквівалентними обмеженнями у формі рівностей.
Точка умовного екстремуму функції /є стаціонарною точкою функції Лагранжа.
Зображення вось - Визначимо тепер вагові коефіцієнти. Пошук умовного екстремуму функції s2 (WkJпри наявності обмежень (22.6) проводиться з використанням методу Лагранжа.
Обчислення умовного екстремуму інтеграла дії Слудський зводить до обчислення безумовного екстремуму за способом невизначених множників Лагранжа, причому невизначений множниквизначає за способомPодрігеса за допомогою рівнянь, що відносяться до меж інтеграла.
Обчислення умовного екстремуму інтеграла дії Слудський зводить до обчислення безумовного екстремуму за способом невизначених множників Лагранжа, причому невизначениймножник А визначає за способомPодрігеса за допомогою рівнянь, що відносяться до меж інтеграла.
Можна описувати умовний екстремум і методом перебору всіх комбінацій незалежних змінних, квантуя змінні деяким довільним чином. Всі комбінаціїнезалежних змінних можна перебрати на обчислювальній машині, підставляючи їх у рівняння регресії. При цьому координати умовного екстремуму будуть знайдені з точністю, обмеженою інтервалом квантування.
R має умовний екстремум.
Завдання наумовний екстремум для функцій трьох змінних допускають більшу різноманітність.
Завдання на умовний екстремум найзручніше вирішуються методом, аналогічним методу невизначених множників Лагранжа, яким вирішуються завдання на умовний екстремум функцій.
Rмає умовний екстремум.
R має умовний екстремум, так і значення множників кь.
Завдання на умовний екстремум для функцій трьох змінних допускають більшу різноманітність.
Пошук умовного екстремуму методом проекції градієнта приобмеженнях-нерівностях. Траєкторія пошуку умовного екстремуму зображена жирною суцільною лінією. З вихідної точки Xq здійснюється рух у напрямку антіградіента цільової функції до тих пір, поки не відбудеться порушення обмеження.
Для дослідженняумовного екстремуму застосуємо метод постійних множників Лагранжа.
Тоді точка умовного екстремуму є такою точкою поверхні, в якій функція приймає найбільше або найменше значення в порівнянні з її значеннями у всіх прилеглих точках цієїж поверхні.
Шуканими точками умовного екстремуму можуть бути тільки ті, координати ДГ, у, z яких є рішеннями цієї системи.
До дослідження умовних екстремумів призводить завдання визначення глобальних екстремумів в заданій області при вивченніповедінки функції на її кордоні.
Тоді точка умовного екстремуму є такою точкою поверхні, в якій функція приймає найбільше або найменше значення в порівнянні з її значеннями у всіх прилеглих точках цієї ж поверхні.
Завдання відшуканняумовного екстремуму функцій відрізняються від звичайних задач відшукання екстремуму функцій (або, як іноді кажуть, задач відшукання безумовного екстремуму) тим, що в перших значеннях аргументів (в даному випадку величин р /) розглянутої функції не єнезалежними: вони пов'язані деякими співвідношеннями, що обмежують область їх можливої ??зміни. У завданнях другого типу подібних обмежень на значення аргументів не існує.
Сформульована задача на умовний екстремум називається задачею Лагранжа зголономні зв'язками.
Pассмотрім задачу на умовний екстремум, коли рівняння зв'язку містять похідні.
Типовою задачею на умовний екстремум є задача про так званих геодезичних лініях: лініях найменшої довжини, що зв'язують дві заданіточки на деякій поверхні.
Варіаційними задачами на умовний екстремум (або завданнями на пов'язаний екстремум) називають завдання, в яких потрібно знайти екстремум функціоналу, причому на функції, які є аргументами цього функціонала, накладаютьсядеякі зв'язки.
Ця задача на умовний екстремум вирішується методом множників Лагранжа, суть якого полягає в наступному.
Перетворення задачі на умовний екстремум в задачі на безумовний може здійснюватися й іншими способами, вибір якихзалежить від складності та трудомісткості обчислень.
Pешается завдання пошуку умовного екстремуму.
Прямий метод знаходження умовного екстремуму рідко буває ефективним з огляду на труднощі дозволу рівнянь зв'язків щодо якої-небудь групи змінних.
Визначимо тепер точку умовного екстремуму, користуючись методом множників Лагранжа.
Викладений спосіб відшукання умовного екстремуму швидше являє геометричну ілюстрацію сутності завдання на умовний екстремум, а не метод, який можна рекомендувати для використання.
Достатніх умов для умовного екстремуму через їх складності ми не розглядаємо.
Це достатня умова умовного екстремуму, однак, не досить загальне, і його не вистачає для дослідження багатьох задач. Для цього розкладемо функцію Ф в околиці зазначеної точки д: (0 за формулою Тейлора, беручи члени до другого порядку включно.
Використовуючи для відшукання умовного екстремуму функції S (p -) метод невизначених множників Лагранжа і практично повністю повторюючи викладення розділу 1.4 отримуємо шукане вираз для рівноважного розподілу ймовірностей[ср
До ілюстрації особливостей роботи методів спрямованого пошуку. Однак при визначенні умовного екстремуму функції мети в допустимій області зміни параметрів, який, як правило, не збігається з її абсолютним екстремумів, як, наприклад, на рис . 5.155.16 нерівність (5.45) може не виконуватися. Тому в якості більш універсального умови закінчення пошуку за методом градієнта використовується наступне: якщо в обраному напрямку не вдається по кожному параметру виконати робочий крок, який дає поліпшення функції мети і за значенням перевищує е ( відповідний, наприклад, відрізку розбиття Лх.
Загальна некласична завдання на умовний екстремум, сформульована вище, розпадається на ряд приватних завдань, що мають вельми важливе практичне додаток і спеціальні методи рішення.
Методи рішення задач на умовний екстремум можуть бути розбиті на дві великі групи: методи зведення вихідної задачі до послідовності задач на безумовний екстремум і методи зведення до послідовності інших, більш простих екстремальних задач з обмеженнями.
Класичним прикладом задачі на умовний екстремум (з го-лономной зв'язком) є завдання визначення геодезичних ліній на поверхні .
Отримуємо типову задачу на умовний екстремум.
Для вирішення завдання на умовний екстремум пропонується поєднувати стохастичну апроксимацію з методом проектування градієнта або з методом штрафних функцій.
Зведення задачі Лагранжа на умовний екстремум до задачі на безумовний екстремум, коли інтеграл (1.1 ) з самого початку заданий тільки на безлічі до.