А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Дійсна матриця
Дійсна матриця може не мати дійсних власних значень.
Дана дійсна матриця розміру /гхт, в якій не всі елементи дорівнюють нулю. Отримати нову матрицю шляхом ділення всіх елементів даноїматриці на її найбільший по модулю елемент.
Дана дійсна матриця розміру яхт, всі елементи якої різні. У кожному рядку вибирається елемент з найменшим значенням, потім серед цих чисел вибирається найбільше.
Для дійсної матриці Апослідовність обчислень наступна.
Знайти всі дійсні матриці М порядку п, у яких всі елементи ненегативні і існує обернена матриця М 1 також з невід'ємними елементами.
Визначення 23.11. Дійсна матриця С, що задовольняєрівності (3), називається ортогональною. Комплексна матриця С, яка задовольнить умові (4), називається унітарною.
Власні вектори дійсної матриці А з різними власними значеннями в загальному випадку комплексні і не володіють властивістюортогональності. Однак, залучаючи власні вектори транспонованої матриці А, можна отримати так звані співвідношення біортогональності, які для випадку симетричної матриці еквівалентні звичайним співвідношенням ортогональності.
На практицідійсну матрицю Н у формі Хессенберга зазвичай отримують з матриці А, використовуючи одну з трьох процедур elmhes, dirhes або orthes (алг.
Теорема 24.20. Всяка невироджена дійсна матриця А порядку п є твір ортогональної і симетричної матриць.
Тут ai - невироджена дійсна матриця розміру mXm, відповідна зазначеним елементарним перетворенням; CTI - матриця розміру ry m і рангу г; 0 - нульова матриця розміру (т - г) хт.
Очевидно, для дійсної матриці найбільшу за модулем власне значенняXj дійсно. Зауважимо, що такий випадок має місце, якщо матриця А-дійсна і елементи її позитивні (гл.
Гі i є дійсною матрицею.
Так як А - дійсна матриця, то Ax (t) і Ay (t) являють собою дійсні вектор-функції.
Добре відомо, що дійсну матрицю А можна за допомогою перетворень подібності А САС - привести до блочно-діагонального вигляду, коли на діагоналі стоять блоки наступного виду.
Властивість унітарності аналогічно властивості ортогональності дійсних матриць.
Процедура orthes призначена для приведення дійсної матриці до верхньої формі Хессенберга за допомогою елементарних ортогональних перетворень.
Процедура elmhes призначена для приведення довільної дійсної матриці до верхньої форміХессенберга за допомогою дійсних стійких елементарних перетворень подібності.
Процедури розв'язання систем рівнянь з дійсними матрицями були проведені при зверненні головного мінору гільбертовому матриці сьомого порядку на обчислювальній машині KDF9працюючої з числами з 39-розрядної мантиси.
С, які пов'язані з вихідними дійсними матрицями А розміру т X п і В розміру т X р наступним співвідношенням U AV diag (q) і UjB С.
Звідси випливає, що якщо А - дійсна матриця (або комплексна матриця, у якоїелементи головної діагоналі і коефіцієнти її характеристичного полінома дійсні) і її круги Гершгоріна всі попарно не перетинаються, то всі характери стіческіе числа матриці А дійсні.
Для відшукання першого власного значення Х: дійснійматриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді більш вигідним.
Процедура hqr призначена для відшукання всіх власних значень дійсної матриці, заданої у верхній формі Хессенберга. У випадку довільної дійсноїматриці її слід перетворити до такого виду за допомогою однієї з процедур elmhes, dirties або orthes (алг.
У цьому параграфі необхідно ввести дійсну канонічну форму дійсної матриці А.
Якщо матриця А невід'ємна, то можна знайти дійснуматрицю L, задовольняє співвідношенню (1), але вона буде виродженої і, взагалі кажучи, неєдиним.
Однак навіть у тому випадку, коли AJ - дійсна матриця, деякі з власних значень можуть бути комплексними. Тоді в перетворенні (1) необхідновикористовувати комплексні значення ks, і матриця As 1 взагалі кажучи, стає комплексною. Теоретично таку трудність можна подолати, виконуючи два кроки виду (1) із зсувами ks і k, відповідно. Тоді при точному обчисленні матриця As 2 повинна бути дійсною.
У разі (III), якщо Х - дійсна матриця, то X Xi - f - t Y є рішенням тоді і тільки тоді, коли Y коммутативна з А.
Стало також ясно, що повільна збіжність дійсної процедури для дійсних матриць з комплексними власними значеннями недозволяє використовувати її для матриць великого порядку. Описана тут комплексна процедура, як правило, ефективніше дійсною.
Можна показати, що теорема 24.20 залишається справедливою і для будь виродженої дійсної матриці А.
Повернемося ще дорівності (1.26), яке було справедливим при дійсних матрицях і параметрах пучків.
В останніх трьох теоремах матриці не можуть бути завжди дійсними; дійсні матриці перетворять дійсні послідовності обов'язково в дійсні,тоді як ол може не бути дійсною.
А існує унітарна матриця U така, що і-г Аі - діагональна дійсна матриця.
Пакет програм АPАС призначений для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з дійсними матрицямидовільного виду. У випадку систем з квадратними матрицями (невиродженими в межах машинної точності) пакет повинен забезпечити обчислення класичного рішення та оцінку його достовірності. Для систем з прямокутними матрицями довільного виду і рангу (у томучислі з квадратними виродженими або погано обумовленими) передбачено обчислення узагальненого рішення в сенсі найменших квадратів або його деякої проекції; дається деяка оцінка точності.
А існує унітарна матриця U така, що U - 1AU - діагональнадійсна матриця.
Теорема Леві - Деспланка в її оригінальній формі - для деякого класу дійсних матриць - була доведена Леві в 1881 р. і узагальнена Деспланком в 1887 р. У літературі вона відома під назвою теореми Адамара. Цей результат маєчудову історію. Перш ніж його опублікував Адамар в 1903 р., він був отриманий при тих же обмеженнях, при яких його встановив Леві, Мінковським (1900 р.), і в цьому вигляді він відомий і зараз як теорема Минковского. Pезультат цей регулярно з'являвся в літературі аж до1949 р., коли робота Ольги Таусскі поклала кінець його періодичним перевідкриття.
Трикутній розкладанню з комплексними матрицями можна поставити у відповідність трикутне розкладання з дійсними матрицями L і D за умови, що діагональні елементиматриці D негативні.
Оскільки не існує уявлення, в якому всім трьом компонентам моменту імпульсу відповідають дійсні матриці, така система відноситься до класу CUE. На рис. 4.1 у представлена ??функція розподілу міжрівневих відстаней для цьоговипадку. Видно, що статистика тут близька до розподілу Вігнера для GUE.
Таким чином, умова (5.41) є необхідним, якщо (з С) - дійсна матриця.
Процедура hqr2 визначає всі власні значення і власні вектори (дійсні ікомплексні) дійсної матриці А, наведеною до форми Хессенберга Н за допомогою процедур elmhes, dirhes або orthes (алг.
Однак ця факторизація не ефективна для реалізації на ЕОМ в разі, коли А - дійсна матриця, так як при обчисленні матриці S можливий вихід вкомплексну арифметику.
Нехай L - евклідового площину (точніше, лінійний простір лежать в ній векторів), G-підгрупа дійсних матриць другого порядку, визначники яких рівні по модулю одиниці.
Якщо А - симетрична матриця, то і А -симетрична матриця - якщо А і Т - дійсні матриці, то й А-дійсна матриця.
Це означає, що в системах з порушеною симетрією по відношенню до зміни знаку часу оператор Гамільтона неможливо уявити дійсної матрицею.
У дійсному випадку, коли А - симетрії, матриця, схема (2) відповідає розкладанню AS DS з дійсною матрицею S і дещо спрощується. Істотне спрощення схеми (2) відбувається, коли А - позитивно певна матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки е тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В, Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А В В . В якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
У]0[Z, Х ]АПХ а12У,[Z, У ]а21Х а22У, де[а-у ]- Дійсна матриця, що має комплексні, але не чисто уявні власні значення.
Зі співвідношення (6) випливає, що матриця Q призводить твір матриць, позначене через М, до трикутного вигляду; цей твір є дійсною матрицею, якщо ks і ks 1 дійсні або комплексно сполученні. Звідси випливає, що Q - дійсна матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки е тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В, Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А В В . В якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки з тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В. Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А - В В. У якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
Механізм роботи третьої частини програмного комплексу наступний. З дійсної матриці випадкових процесів формується комплексна матриця. Це дозволяє зменшити час роботи ШПФ (програма FFFTM) майже в два рази.
Процедура hqr призначена для відшукання всіх власних значень дійсної матриці, заданої у верхній формі Хессенберга. У випадку довільної дійсної матриці її слід перетворити до такого виду за допомогою однієї з процедур elmhes, dirties або orthes (алг.
Дана дійсна матриця розміру /гхт, в якій не всі елементи дорівнюють нулю. Отримати нову матрицю шляхом ділення всіх елементів даноїматриці на її найбільший по модулю елемент.
Дана дійсна матриця розміру яхт, всі елементи якої різні. У кожному рядку вибирається елемент з найменшим значенням, потім серед цих чисел вибирається найбільше.
Для дійсної матриці Апослідовність обчислень наступна.
Знайти всі дійсні матриці М порядку п, у яких всі елементи ненегативні і існує обернена матриця М 1 також з невід'ємними елементами.
Визначення 23.11. Дійсна матриця С, що задовольняєрівності (3), називається ортогональною. Комплексна матриця С, яка задовольнить умові (4), називається унітарною.
Власні вектори дійсної матриці А з різними власними значеннями в загальному випадку комплексні і не володіють властивістюортогональності. Однак, залучаючи власні вектори транспонованої матриці А, можна отримати так звані співвідношення біортогональності, які для випадку симетричної матриці еквівалентні звичайним співвідношенням ортогональності.
На практицідійсну матрицю Н у формі Хессенберга зазвичай отримують з матриці А, використовуючи одну з трьох процедур elmhes, dirhes або orthes (алг.
Теорема 24.20. Всяка невироджена дійсна матриця А порядку п є твір ортогональної і симетричної матриць.
Тут ai - невироджена дійсна матриця розміру mXm, відповідна зазначеним елементарним перетворенням; CTI - матриця розміру ry m і рангу г; 0 - нульова матриця розміру (т - г) хт.
Очевидно, для дійсної матриці найбільшу за модулем власне значенняXj дійсно. Зауважимо, що такий випадок має місце, якщо матриця А-дійсна і елементи її позитивні (гл.
Гі i є дійсною матрицею.
Так як А - дійсна матриця, то Ax (t) і Ay (t) являють собою дійсні вектор-функції.
Добре відомо, що дійсну матрицю А можна за допомогою перетворень подібності А САС - привести до блочно-діагонального вигляду, коли на діагоналі стоять блоки наступного виду.
Властивість унітарності аналогічно властивості ортогональності дійсних матриць.
Процедура orthes призначена для приведення дійсної матриці до верхньої формі Хессенберга за допомогою елементарних ортогональних перетворень.
Процедура elmhes призначена для приведення довільної дійсної матриці до верхньої форміХессенберга за допомогою дійсних стійких елементарних перетворень подібності.
Процедури розв'язання систем рівнянь з дійсними матрицями були проведені при зверненні головного мінору гільбертовому матриці сьомого порядку на обчислювальній машині KDF9працюючої з числами з 39-розрядної мантиси.
С, які пов'язані з вихідними дійсними матрицями А розміру т X п і В розміру т X р наступним співвідношенням U AV diag (q) і UjB С.
Звідси випливає, що якщо А - дійсна матриця (або комплексна матриця, у якоїелементи головної діагоналі і коефіцієнти її характеристичного полінома дійсні) і її круги Гершгоріна всі попарно не перетинаються, то всі характери стіческіе числа матриці А дійсні.
Для відшукання першого власного значення Х: дійснійматриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді більш вигідним.
Процедура hqr призначена для відшукання всіх власних значень дійсної матриці, заданої у верхній формі Хессенберга. У випадку довільної дійсноїматриці її слід перетворити до такого виду за допомогою однієї з процедур elmhes, dirties або orthes (алг.
У цьому параграфі необхідно ввести дійсну канонічну форму дійсної матриці А.
Якщо матриця А невід'ємна, то можна знайти дійснуматрицю L, задовольняє співвідношенню (1), але вона буде виродженої і, взагалі кажучи, неєдиним.
Однак навіть у тому випадку, коли AJ - дійсна матриця, деякі з власних значень можуть бути комплексними. Тоді в перетворенні (1) необхідновикористовувати комплексні значення ks, і матриця As 1 взагалі кажучи, стає комплексною. Теоретично таку трудність можна подолати, виконуючи два кроки виду (1) із зсувами ks і k, відповідно. Тоді при точному обчисленні матриця As 2 повинна бути дійсною.
У разі (III), якщо Х - дійсна матриця, то X Xi - f - t Y є рішенням тоді і тільки тоді, коли Y коммутативна з А.
Стало також ясно, що повільна збіжність дійсної процедури для дійсних матриць з комплексними власними значеннями недозволяє використовувати її для матриць великого порядку. Описана тут комплексна процедура, як правило, ефективніше дійсною.
Можна показати, що теорема 24.20 залишається справедливою і для будь виродженої дійсної матриці А.
Повернемося ще дорівності (1.26), яке було справедливим при дійсних матрицях і параметрах пучків.
В останніх трьох теоремах матриці не можуть бути завжди дійсними; дійсні матриці перетворять дійсні послідовності обов'язково в дійсні,тоді як ол може не бути дійсною.
А існує унітарна матриця U така, що і-г Аі - діагональна дійсна матриця.
Пакет програм АPАС призначений для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь з дійсними матрицямидовільного виду. У випадку систем з квадратними матрицями (невиродженими в межах машинної точності) пакет повинен забезпечити обчислення класичного рішення та оцінку його достовірності. Для систем з прямокутними матрицями довільного виду і рангу (у томучислі з квадратними виродженими або погано обумовленими) передбачено обчислення узагальненого рішення в сенсі найменших квадратів або його деякої проекції; дається деяка оцінка точності.
А існує унітарна матриця U така, що U - 1AU - діагональнадійсна матриця.
Теорема Леві - Деспланка в її оригінальній формі - для деякого класу дійсних матриць - була доведена Леві в 1881 р. і узагальнена Деспланком в 1887 р. У літературі вона відома під назвою теореми Адамара. Цей результат маєчудову історію. Перш ніж його опублікував Адамар в 1903 р., він був отриманий при тих же обмеженнях, при яких його встановив Леві, Мінковським (1900 р.), і в цьому вигляді він відомий і зараз як теорема Минковского. Pезультат цей регулярно з'являвся в літературі аж до1949 р., коли робота Ольги Таусскі поклала кінець його періодичним перевідкриття.
Трикутній розкладанню з комплексними матрицями можна поставити у відповідність трикутне розкладання з дійсними матрицями L і D за умови, що діагональні елементиматриці D негативні.
Оскільки не існує уявлення, в якому всім трьом компонентам моменту імпульсу відповідають дійсні матриці, така система відноситься до класу CUE. На рис. 4.1 у представлена ??функція розподілу міжрівневих відстаней для цьоговипадку. Видно, що статистика тут близька до розподілу Вігнера для GUE.
Таким чином, умова (5.41) є необхідним, якщо (з С) - дійсна матриця.
Процедура hqr2 визначає всі власні значення і власні вектори (дійсні ікомплексні) дійсної матриці А, наведеною до форми Хессенберга Н за допомогою процедур elmhes, dirhes або orthes (алг.
Однак ця факторизація не ефективна для реалізації на ЕОМ в разі, коли А - дійсна матриця, так як при обчисленні матриці S можливий вихід вкомплексну арифметику.
Нехай L - евклідового площину (точніше, лінійний простір лежать в ній векторів), G-підгрупа дійсних матриць другого порядку, визначники яких рівні по модулю одиниці.
Якщо А - симетрична матриця, то і А -симетрична матриця - якщо А і Т - дійсні матриці, то й А-дійсна матриця.
Це означає, що в системах з порушеною симетрією по відношенню до зміни знаку часу оператор Гамільтона неможливо уявити дійсної матрицею.
У дійсному випадку, коли А - симетрії, матриця, схема (2) відповідає розкладанню AS DS з дійсною матрицею S і дещо спрощується. Істотне спрощення схеми (2) відбувається, коли А - позитивно певна матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки е тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В, Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А В В . В якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
У]0[Z, Х ]АПХ а12У,[Z, У ]а21Х а22У, де[а-у ]- Дійсна матриця, що має комплексні, але не чисто уявні власні значення.
Зі співвідношення (6) випливає, що матриця Q призводить твір матриць, позначене через М, до трикутного вигляду; цей твір є дійсною матрицею, якщо ks і ks 1 дійсні або комплексно сполученні. Звідси випливає, що Q - дійсна матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки е тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В, Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А В В . В якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
Матриця А є неотрицательной ермітових матрицею в тому і тільки з тому випадку, якщо існує така матриця В, що АВ В. Дійсна матриця А є неотріцателной симетричної матрицею в тому і тільки в тому випадку, якщо існує така дійсна матриця В, що А - В В. У якому з цих випадків матриця А позитивно визначена, якщо В, а значить і А, - невироджена матриця.
Механізм роботи третьої частини програмного комплексу наступний. З дійсної матриці випадкових процесів формується комплексна матриця. Це дозволяє зменшити час роботи ШПФ (програма FFFTM) майже в два рази.
Процедура hqr призначена для відшукання всіх власних значень дійсної матриці, заданої у верхній формі Хессенберга. У випадку довільної дійсної матриці її слід перетворити до такого виду за допомогою однієї з процедур elmhes, dirties або orthes (алг.