А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Аксіоматична система

Аксіоматична система може з'являтися у дво вельми різних контекстах. Перш за все, вона може бути призначена для аксіоматизації вже відомої теорії. Саме так і буде для обчислення висловлювань: вводяться намиаксіоми лише дублюють вже певну семантику, а поняття тавтології і теореми повинні співпасти. З іншого боку, безліч аксіом може послужити відправною точкою для нової теорії. Саме так було з теорією груп. Нарешті відзначимо, що існуютьпроміжні випадки. Найбільш відомий з них стосується теорії множин: аксіоматична система внесла поправку в інтуїтивну теорію.

Порівнюючи аксіоматичні системи для PL і PrL, можна помітити, що аксіоми і правило для PL містяться серед аксіом і правил для PrL.Однак, логіка висловлювань має справу з висловлюваннями, тоді як логіка предикатів розглядає більш складні об'єкти - формули логіки предикатів.

Є повна аксіоматична система для Т - залежностей над довільними відносинами. Ця система коректнадля кінцевих відносин, але, згідно попередньої теореми, неповна. Одна з аксіом, звана поповненням, відповідає твердженням леми 14.7. Наведемо тут ще одну аксіому, залишаючи іншу частину системи і доказ її повноти в якості упр.

Поняттяаксіоматичної системи дуже старо. У цьому контексті побудовані зазначеним способом загальнозначущі вирази називаються теоремами. Доказом (або висновком) теореми називається послідовність з аксіом, правил виводу і вже доведених теорем, що дозволяєотримати дану теорему.

Адекватність описаної аксіоматичної системи встановлюється легко, як і у випадку обчислення висловлювань. Можна також встановити повноту, але доказ відповідного факту є значно тоншим. Можна інтуїтивнопереконатися в повноті системи, вивівши в ній правила уніфікації та резолюцій.

Побудова аксіоматичних систем першої групи спрямовано на таке обмеження аксіом згортання, яке забезпечує найбільш природний спосіб формалізації звичайних математичнихдоказів і в той же час дозволяє уникнути відомих парадоксів.

У аксіоматичних системах, як правило, докази є більш важкими і складними.

Лукасевича; аксіоматичні системи суворої імплікації К.

Лукасевича; аксіоматичнісистеми суворої імплікації К.

При побудові аксіоматичних систем в області логіки і математики необхідно прагнути до того, щоб вони володіли всіма властивостями, якими володіє система Лукасевича. Особливо важливою властивістю є несуперечність,оскільки суперечлива система начисто позбавлена ??якого б то не було пізнавального значення: легко показати, що в суперечливій системі доказовою будь осмислене твердження, записане в термінах даної системи.

Будь-яка модель даної аксіоматичноїсистеми має групу автоморфізмів, і графи не є винятком. Було відмічено, що за певних умов групу графа-композиції можна охарактеризувати за допомогою груп складових графів. У цій главі представлені результати про існування графа ззаданої групою і даними структурними властивостями. Глава завершується розглядом графів, симетричних щодо вершин і ребер.

Так як наша аксіоматична система містить правило Modus Ponens, вірно твердження, зворотне теоремі дедукції.

При формальномупобудові аксіоматичної системи вже не ставиться вимога вибирати тільки інтуїтивно очевидні аксіоми, для яких заздалегідь задана область якi характеризуються ними об'єктів. Аксіоми вводяться формально, як опис деякої системи відносин: терміни, що фігурують ваксіомах, спочатку визначаються тільки через їх ставлення один до одного. Іншого, незалежного, визначення зазначені поняття спочатку не мають.

Класична механіка являє собою аксіоматичну систему. Поняття аксіоматичної системи єобщематематіческім і полягає в наступному.

З іншого боку, поняття аксіоматичної системи числення висловів цікаво само по собі. Поряд з класичною логікою висловлювань були розроблені різні альтернативні теорії, що опинилися корисними вдеяких контекстах.

Несуперечність побудованих в даний час аксіоматичних систем ДЛП теорії множин (система Цермело - Френкеля (див. § 13), система Куайна та ін) залишається поки під питанням.

Позначаючи звичайним чином через ZFC аксіоматичнусистему теорії множин Цермело-Френкеля, що включає аксіому вибору, автори пишуть в 1979 р.: Докази, проведені в ZFG, задовольняють вимогам строгості сучасної математики[1, с. Так что, по мнению названных авторов ( да и не только их), рассуждения, содержащие обращения к аксиоме выбора, сегодня вполне корректны.

Аксиомы классической механики не образуют замкнутую, полную и независимую аксиоматическую систему, что, безусловно, является недостатком теоретической механики.

Исчисление предикатов, как и всякая аксиоматическая система, содержит символы, из которых составляются формулы. Затем среди всех формул выделяются формулы, называемые выводимыми. Выделение выводимых формул в исчислении предикатов, так же как и в исчислении высказываний, осуществляется путем указания некоторой конечной совокупности формул, которые называются аксиомами, и указанием правил вывода, позволяющих из выводимых формул получать новые выводимые формулы.

Теорема 2.3. Введенная в § 2.1.3 аксиоматическая система полна.

Геделем было показано, что любая достаточно мощная аксиоматическая система ( классическая механика к таким системам относится) не может быть полной, т.е. она допускает истинное недоказуемое высказывание.

Можно предполагать существование и других, более адекватных аксиоматических систем, решающих ту же задачу, но этот вопрос уже выходит за рамки данной работы.

Доказательство следующей теоремы о выводе в аксиоматической системе выходит за рамки этой книги.

Немонотонные логики Мак-Дермотта и Доила являются универсальными аксиоматическими системами, рамки которых аналогичны модальным системам необходимости и возможности, пополненные правилом вывода выполнимых утверждений. В этих логиках имеем формулы вида р, - р и Мр ( р возможна), истинность которых соответствует факту, что р доказуема, опровергаема и возможна.

Эта концепция возникла в результате обобщения концепции аксиоматической системы. Так же, как и аксиоматическая, гипотетико-де-дуктивная система отвечает всем стандартам дедуктивной организации знания.

Точнее, некоторое выражение независимо от - аксиоматической системы, если его нельзя вывести с помощью этой системы. В минимальной системе каждая аксиома независима от остальной системы. Вопрос о независимости постулата о параллельных в аксиоматической системе Евклида неотступно преследовал весь математический мир в течение двух тысяч лет. Наконец, его независимость в прошлом веке была доказана изящно и полностью. Это было сделано путем построения математических моделей, в которых истинны все геометрические аксиомы, за исключением названного постулата.

Средствами математической логики доказывается, что в рамках обычных аксиоматических систем теории множеств нельзя дать однозначный ответ на эти вопросы. Равенство 2N K1 называется континуум-гипотезой и обозначается СН. Гедель показал[10, 9], Що рівність 21 не суперечить звичайним аксіомам теорії множин. Гіпотеза: техрт для всіх нескінченних кардиналів т - називається узагальненою континуум-гіпотезою.

Всякий раз, коли ви стикаєтеся з деякою аксіоматичної системою, хтось інший повідомляє вам, якими властивостями він наділив цю систему.

У другій половині минулогосторіччя виникла тенденція до формалізації аксіоматичних систем. Ця тенденція передбачає абстрагування від інтуїтивного змісту теоретичних положень. Початкові поняття вже не роз'яснюються незалежно від аксіом. При цьому вони втрачають статусбезпосередньо очевидних пропозицій.

Такий тип доказу (який, виходячи із згаданої аксіоматичної системи, приводить до необхідного результату) називається доказом у сенсі Гільберта. Аксіоматична система, розглянута в цьому параграфі,не містить аксіом, зате використовує чимало правил виводу. Тип докази, пов'язаний з такою системою, називається доказом у сенсі Гьонц.

Важливість пропозіціональних тавтологію Для дедуктивних міркувань підказує нам побудова формальнихаксіоматичних систем, що є точним описом цього відділу логіки.

Важливість пропозіціональних тавтологію для дедуктивних міркувань підказує нам побудова формальних аксіоматичних систем, що є точним описом цього відділу логіки.

Доказ теореми 2.3.6 а також теорем коректності та повноти аксіоматичної системи з визначення 2.3.3 з рівністю або без рівності, виходить за рамки цієї книги.

Це правило висновку, доданий до наших схемами аксіом, дає аксіоматичну систему. Системазалишається адекватною, так як наше правило виведення зберігає общезначімость.

Наші школярі люблять це, заперечують мені, вони понаторелі в аксіоматичної системі і не визнають іншого; вони відхиляють полустрогость і хочуть ocfзваться в системі, де так є так, ні їсти ні, ащо понад те го, то від лукавого, Це ще гірше, сказав би я.

Логіка висловлювань, подібно іншим математичним системам, може бути представлена ??як аксіоматична система з логічними аксіомами і правилами виведення.

Такі зв'язки досліджувалися ще Аристотелем вйого знаменитих Аналітиках, де викладалася сувора формальна аксіоматична система, мабуть, перша в історії науки, названа силлогистикой. У силлогистикой розглядаються твердження деяких простих типів, названі категоричними судженнями, ірозроблені правила виведення одних суджень у якості логічних наслідків інших. Ці правила оформлені у вигляді силогізмів, що допускають чисто формальне застосування.

Щоб було зрозуміло значення результатів, отриманих Геделем, згадаємо, що першою аксіоматичноїсистемою була геометрія Евкліда (III в. В основі евклідової геометрії лежить сукупність визначень і аксіом, що відображають найпростіші геометричні властивості, підтверджені багатовіковим людським досвідом.

Коли формули спочатку виводять, а потім відкидають,втрачається проста ітеративна структура класичних аксіоматичних систем (§ 2.1.2), що дозволяє будувати і перераховувати безлічі можливих висновків.

Інше визначення теореми дано в § 2.1.1: теорема є формула, виведена у фіксованій аксіоматичноїсистемі. По теоремі 2.4 два цих визначення еквівалентні за умови, що обрана система є адекватною і повною аксіоматичної системою числення предикатів, до якої додано безліч аксіом конкретної теорії.

До того ж більша частина цікавлять нас еквівалентностей встановлювалася спочатку поза зв'язку з будь-аксіоматичної системою теорії множин.

Точно так само, як і в PL, символ h позначає виводимість формул в аксіоматичної системі.

У контексті PrL ми можемо працювати тільки з тими правильними формулами, які виводяться в аксіоматичної системі PrL. Наступна теорема дає нам список найбільш часто використовуваних формул. Ці формули виражають комутативність кванторів і дистрибутивність кванторів щодо логічних зв'язок. Як показано в теоремі, ці властивості виконуються не завжди.

ДИНАМІЧНА ЛОГІКА, алгоритмічна логіка, програмна логіка, - розділ теоретичного програмування, в рамках якого досліджуються аксіоматичні системи, що представляють засоби для завдання семантики програмування мов, а також для програм синтезу і програм верифікації.

Значення теоретико-модельних нормальних форм стає особливо ясним, якщо розглянути зв'язок, який існує між формулами обчислення предикатів і різними аксіоматичними системами.

Разом з тим переважна кількість математиків, що працюють в області теорії множин та її застосувань, не користуються небудь з аксіоматичних систем, продовжуючи в цьому традиції математиків XIX в.

Такий шлях Гільберт бачив у фінітних формалізації математичних теорій, тобто в побудові для розглянутої вихідної неформальній або інтуїтивною математичної теорії відповідної фінітних формальної аксіоматичної системи, в якій будуть виведені всі ті і тільки ті твердження, які є теоремами нашої теорії.

Однак у тридцять першому році Гедель опублікував роботу, що підірвала основи гільбертовому програми Ця робота показала не тільки наявність неза-полнімих дірок в аксіоматичної системі, запропонованійРАссель і Уайт-хедом, але і те, що жодна аксіоматична система не може породити всі істинні висловлювання теорії чисел, якщо вона не є суперечливою Нарешті, Гедель показав, наскільки марна надія довести несуперечність системи ОМ якби такий доказ було знайдено тільки за допомогою методів, використовуваних в ОМ - і це одна з найдивовижніших наслідків Геделевской роботи - самі ОМ виявилися б суперечливі.