А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Ядро - інтегральний оператор

Ядра інтегрального оператора (736), що використовується в контактних задачах для пружного півпростору (або полуплоскости), являють собою функцію, яка описує переміщення кордону півпростору в точці (ж, у) в результаті дії на кордон півпростору в точці (х у) нормальної сили p ( xyt) dx dy, тобто залежну від відстані між розглянутими точками.

Ядра інтегрального оператора (736), що використовується в контактних задачах для пружного півпростору (або полуплоскости), являють собою функцію, яка описує переміщення кордону півпростору в точці (х, у) в результаті дії на кордон півпростору в точці (х у) нормальної сили p (x y t) dx dy, тобто залежну від відстані між розглянутими точками.

Таким чином, ядра інтегральних операторів М (т) і М-1 (ц) просто визначаються самим фундаментальним рішенням хвильових рівнянь. Розглянемо тепер конкретні хвильові задачі.

Точне представлення символу ядра інтегрального оператора застосовується в разі, коли він поряд з полюсами має точки розгалуження на дійсній осі (шарувато-неоднорідне полупространство), що не дозволяє будувати прийнятні апроксимації. Це обумовлює необхідність використання в процесі реалізації методу точних, але громіздких і незручних для чисельної реалізації уявлень символу ядра, що веде до визначеного підвищення витрат обчислювальних ресурсів і в деякій мірі знижує ефективність методу.

Замість рівняння (112) для ядра інтегрального оператора (110) Ф зручніше розглядати безпосередньо рівняння для поверхневої концентрації і локального дифузійного потоку - г величин, що мають ясний фізичний зміст.

При вирішенні цього завдання звичайно-різницевий аналог ядра інтегрального оператора будувався виходячи з кусочно-постійної апроксимації функції, яка задає розподіл температури на внутрішній поверхні, Взято сітка з кроком Ах 10 мм, на якій температурний вплив послідовно на кожному інтервалі сітки приймалося постійним і рівним Т0 const при нульовому значенні температури на всій решті частини поверхні.

У завданнях інтерпретації непрямих даних необхідно завдання ядра інтегрального оператора. Ядро може здаватися різними способами: аналітично, таблично, таблично із застосуванням тих чи інших методів інтерполяції. Тому доцільно формування масиву, що задає ядро, здійснювати в основній програмі користувача тими засобами, які доступні і зручні в конкретному завданні, і передавати його підпрограми в якості фактичного параметра.

Функція д (х у]є ядром інтегрального оператора, який зв'язує деформації пласта з тиском в ньому. Функція K (x t) називається ядром інтегрального оператора А.

Наслідком викладеного загального методу явлются теореми про подання ядер інтегральних операторів другого та третього розділів. Він дозволяє зрозуміти природу отриманих раніше розкладів і будувати вирішення складніших завдань для систем штампів, оскільки знаходження необхідного ортопроекторов не складає труднощів. Відповідні приклади будуть дані в наступному параграфі.

Функція К (х, t) називається ядром інтегрального оператора А.

Функція К (s, t) називається ядром інтегрального оператора U. Легко бачити, що ядро Я-майже всюди звичайно.

Функція г - r (s t) назьшается ядром інтегрального оператора А.

До першої групи належать миттєво пружні константи матеріалу і параметри ядер інтегральних операторів вязкоупру-гості. У разі композиційних в'язко-пружних матеріалів необхідно додатково знати такі структурні параметри, як об'ємне зміст воло кін, механічні та реологічні константи пов'язує і волокон.

Послідовне з'єднання ключ-екстраполятор.

Звідки видно, що T (s, p) збігається з ядром інтегрального оператора, що визначає дискретне перетворення Лапласа по перетворенню Лапласа безперервного сигналу, що і слід було очікувати.

Дослідження властивостей динамічної жорсткості проводиться на основі вивчення поведінки нулів і полюсів символу ядра інтегрального оператора, безпосереднім чином впливають на динамічну жорсткість середовища, як в комплексній області, так і на дійсній осі, аналізу особливостей їх виходу на речову вісь.

По-друге, в процесі регуляризації може використовуватися або точне, або наближене представлення символу ядра інтегрального оператора, що залежить від його властивостей, які визначаються типом завдання.

Метод вивчення GFPS, який буде приведений в цьому розділі, грунтується на властивості позитивності ядра інтегрального оператора.

Пропоноване в даній роботі узагальнення методу фіктивного поглинання засноване на застосуванні в його рамках численних процедур, що дозволяє використовувати точне уявлення символу ядра інтегрального оператора і опустити необхідний при традиційній реалізації методу етап апроксимації. Тим самим, зберігаються всі динамічні особливості символу ядра, в тому числі точки розгалуження, що призводить до більш повного обліку динамічних властивостей завдання, і, отже, до підвищення точності одержуваного в результаті рішення.

Інший класичний спосіб вирішення інтегральних рівнянь, застосовуваний у разі завдань (1.2), (1.4), полягає в заміні До (Х, г) - ядра інтегрального оператора на вироджені.

Природно очікувати, що оператор (932) допускає представлення (933) в тому випадку, коли вироджені ядра (935) в деякому сенсі сходяться до функції K (t, s), яка є ядром інтегрального оператора.

Якщо ядро інтегрального оператора в рівнянні (12.5) має форму (227), то рівняння (12.5) перетворюється до виду (12.9), рішення якого легко записати в квадратурі.

Такий вид найбільш зручний при теоретичному дослідженні. Функція g (t) є ядром інтегрального оператора. Однак для визначення результату дії оператора А на довільну вхідну функцію і (0 співвідношення (2277 а) мало придатне оскільки інтеграл в правій частині при складному вигляді g (t) і u (t) обчислити не вдається. Метод onpej поділу v (t ) полягає в наступному.

Перехідна функція h (t лінійного стаціонарного об'єкта. Величина заштрихованої площі дорівнює значенню інерційності процесу. Такий вид найбільш зручний при теоретичному дослідженні. Функція g (t) є ядром інтегрального оператора. Однак для визначення результату дії оператора А на довільну вхідну функцію і (t) співвідношення (2277 а) мало придатне оскільки інтеграл в правій частині при складному вигляді g (t) H u (t) обчислити не вдається. Метод визначення v (t) полягає в наступному.

Якщо при tQ величина e (t) Q, то нижня межа інтегрування в рівнянні (115) буде дорівнює нулю. функція f (t) називається ядром інтегрального оператора.

Узагальнення методу засноване на застосуванні в його рамках численних процедур. Такий підхід дозволяє використовувати точне уявлення символу ядра інтегрального оператора і опустити необхідний в традиційною схемою методу фіктивного поглинання[15, 39]етап апроксимації. Тим самим враховуються всі динамічні особливості символу ядра, в тому числі точки розгалуження, що призводить до більш повного обліку динамічних властивостей завдання, і, отже, до підвищення точності одержуваного в результаті рішення. Остання обставина грає визначальну роль для ефективного дослідження динаміки контактних взаємодій напружених середовищ.

Масив SI (середньоквадратичних похибок вимірювання) задається так само, як зазначено в попередньому пункті. Далі слід сформувати масив XX значень змінної t, при яких задано ядро інтегрального оператора, і вказати їх число КХ. Елементи масиву XX повинні бути впорядковані за зростанням.

Викладений в попередньому розділі метод вирішення одновимірних інтегральних рівнянь узагальнюється на двовимірні, які виникають при дослідженні просторових контактних задач для шарувато-неоднорідного півпростору. Як уже зазначалося, характерною особливістю цих завдань є наявність у символу ядра інтегрального оператора (поряд з речовими нулями і полюсами) точок розгалуження на дійсній осі.

Для наближеного рішення рівнянь ( 44), (46) можна використовувати розглянутий вище метод заміни ядра інтегрального рівняння на близьке вироджене. Слід зауважити, що оскільки в рівняннях (44), (46) ядро інтегрального оператора залежить від різниці аргументів, то можна використовувати більш простий спосіб побудови виродженого ядра на основі повних ортонормованих систем функції, ніж в разі ядра загального вигляду. Розглянемо будь-якої елементТ в матриці-функції, що є ядром інтегрального оператора В.
 По-перше, процес регуляризації звільняється від обмежень, зумовлених вимогами функціональної коммутативности[11 39 и др. ]до застосовуваних в побудовах матрицями. Використовувані в пропонованому підході матриці-функції мають просту структуру і повинні лише зберігати асимптотичні властивості символу ядра інтегрального оператора. Тим самим істотно розширюється клас придатних для використання в методі фіктивного поглинання матриць - функцій, що дозволяє підбирати з них матриці, дозволяють з більшою точністю апроксимувати символ ядра.

У ряді випадків, наприклад для рівняння переносу, алгоритми методу Монте-Карло можна отримати на основі ймовірнісної інтерпретації ядра інтегрального оператора. З іншого боку, розглядаючи моделювання траєкторій частинок як алгоритм рішення відповідного інтегрального рівняння, можна побудувати ефективні модифікації методу Монте-Карло для задач теорії переносу. Що входить до рівняння інтеграл може бути інтегралом Лебега - Стілтьєса, тим самим в розгляд включаються системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Буде показано також, що шляхом конструювання спеціальних інтегральних рівнянь можна побудувати мон-ті-карловские алгоритми вирішення деяких крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу. Розглянуто алгоритми методу Монте-Карло для оцінки максимального власного числа інтегрального оператора.

Пізніше це спостереження набуло досить широке значення і зіграло велику роль у розвитку теорії еліптичних лінійних диференціальних і псевдодіфференціальних операторів. Нехай є два Гільбертових простору HI, HI і Нетер, за сучасною термінологією Фредгольма, оператор A: HI - Я2 тобто замкнутий обмежений лінійний оператор з конечномірні ядром A (h) 0 h Кегали (не плутати з поняттям ядра інтегрального оператора.

Розгалужений патрубок в посудині (а і сіткова область (б. Такий метод відповідає рішенню некоректної задачі визначення напружень на спільному кордоні двох підобластей з інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, що вимагає застосування методу регуляризації. Нестійкість нерегулярізованного рішення зростає зі збільшенням дискретизації області контакту, особливо для тривимірних задач, коли в зоні сполучення відносно велике число невідомих, які визначаються при чисельному рішенні цього рівняння. Ядро інтегрального оператора для нього дорівнює різниці відповідних ядер операторів сполучених подобластей.

Для наближеного рішення рівнянь (44), (46) можна використовувати розглянутий вище метод заміни ядра інтегрального рівняння на близьке вироджене. Слід зауважити, що оскільки в рівняннях (44), (46) ядро інтегрального оператора залежить від різниці аргументів, то можна використовувати більш простий спосіб побудови виродженого ядра на основі повних ортонормованих систем функції, ніж в разі ядра загального вигляду. Розглянемо будь-якої елементТ в матриці-функції, що є ядром інтегрального оператора В.

При використанні вихідної інформації у вигляді тензора напружень, як і в випадку відомих переміщень, можливо визначення шуканого вектора напружень не по всій сукупності компонент тензора напружень, а по окремих з них. Така можливість може бути реалізована за умови однозначної розв'язності відповідного рівняння або системи рівнянь. У практичних розрахунках встановлення єдиності рішення зазвичай грунтується на аналізі ядер інтегральних операторів, що є функціями геометричної форми тіла і взаємного розташування точок інтегрування і вимірювань. У разі існування не єдиного рішення, в припущенні, що вихідні дані задовольняють умовам можливості розв'язання, завдання зводиться до знаходження нормального рішення системи інтегральних рівнянь (або рівняння), що представляє собою вектор-функцію, норма якого мінімальна. Нормальне рішення визначається однозначно. 
При використанні вихідної інформації у вигляді тензора напружень, як і в випадку відомих переміщень, можливо визначення шуканого вектора напружень не по всій сукупності компонент тензора напружень, а по окремих з них. Така можливість може бути реалізована за умови однозначної розв'язності відповідного рівняння або системи рівнянь. У практичних розрахунках встановлення єдиності рішення зазвичай грунтується на аналізі ядер інтегральних операторів, є функціями геометричної форми тіла і взаємного розташування точок інтегрування і вимірювань. У разі існування не єдиного рішення, в припущенні, що вихідні дані задовольняють умовам можливості розв'язання, завдання зводиться до знаходження нормального рішення системи інтегральних рівнянь (або рівняння), що представляє собою вектор-функцію, норма якого мінімальна.

Інша частина цього параграфа присвячена різним вживанням попередніх теорем і наслідків ( а також їх узагальнень на необмежені оператори; см. нижче теорему 8 і наслідок 9) до конкретних операторів. Наш план полягає в наступному. Спочатку ми доведемо ці нерівності для інтегральних операторів (див. Нижче лемму 5), що досить просто, бо тут все зводиться до оцінок норм ядер інтегральних операторів. Потім, використовуючи отримані нерівності, ми застосуємо теорему 1 до повчального, хоча і дещо штучного нагоди: до до операторів множення на функції, спектральні заходи яких абсолютно неперервні щодо двовимірної заходи Лебега. Теоремою 10 закінчується елементарна, ілюстративна частина цього параграфа.

Ці функціональні рівняння після застосування до них одностороннього перетворення Лапласа приводять до інтегрального рівняння з дійсним симетричним ядром щодо невідомої щільності інтегрального уявлення. Якщо контур L не містить кутових точок і взагалі досить гладкий, то ядро рівняння, певне для обох змінних на всій нескінченній прямій, є фредголь-мовим. Ядра інтегральних операторів, що входять в рішення задачі, не беруться, правда, в елементарних функціях, але їх завжди можна апроксимувати з достатньою точністю простими кусочно-аналітичними функціями. У названій вище роботі С. М. Белоносова[2]розглянуто з доведенням до чисельних розрахунків приклад клина, коли до однієї з його граней на деякій відстані від вершини прикладена зосереджена навантаження. Аналогічна задача була також вирішена в статті Годфрі (Godfrey[1 ]) За допомогою перетворення Мелліна.

З принципу стислих відображень випливає і єдність розв'язку. Збіжність є особливо швидкої, якщо зв'язку напруг і деформацій близькі до співвідношень у вигляді суми ітегральних згорток. Але і для довільної їх зв'язку в разі малих об'ємних сил і малих (там, де вони задані) поверхневих сил їх збіжність швидка. При цьому ядра інтегральних операторів за часом можуть бути неразностнимі і можуть враховувати нелінійність спадковості.

Тому, якщо матриця елементів г - отримана, подальший хід вирішення нічим не відрізняється від схеми відновлення регресії. Програми, спеціально призначені для задач відновлення залежностей за результатами непрямого експерименту, розраховані на випадок, коли як відновлювана залежність, так і спостерігається є функціями одного неременного. При цьому операції інтегрування для визначення елементів гц включені в програмне забезпечення. Дослідник повинен задати для програми ядро інтегрального оператора і результати спостереження - аргументи і значення спостережуваної залежності. Програма використовує стандартні системи функцій розкладання - поліноми Чебишева і фундаментальні сплайни.

Процес перенесення зазвичай прийнято описувати інтегро-диференціальним рівнянням Больцмана. Для цілей стохастичного моделювання більш зручно користуватися системою інтегральних рівнянь типу рівняння Пайерлса, що описують процес переходу від одного акту взаємодії до іншого. Відповідна система рівнянь (П) вводиться в першому розділі статті. Через рішення цієї системи безпосередньо виражаються такі величини, як щільність числа розсіяння, поглинання і поділів, щільність потоку частинок і т.п. Більш складні характеристики процесу, наприклад, період реактора або дифузійна довжина, безпосередньо через рішення системи (П) не беруться. Відповідна міра в просторі траєкторій природно задається ядрами інтегральних операторів системи.

Дослідження динамічного контактної взаємодії жорстких штампів з попереднього напруження тілами і пошук закономірностей цієї взаємодії створюють теоретичну основу для розвитку принципово нових методів діагностики і контролю напруженого стану пружних тіл, що знаходяться в умовах великих силових впливів. Середовища припускає сжимаемой, спочатку ізотропної, що має пружний потенціал. Цей же метод був використаний в роботі В. В. Калинчука, І. В. Лисенко, І. Б. Полякової[37]для дослідження особливостей взаємодії осціллірующімі штампа з неоднорідним важким підставою і в роботі Т. І. Белянковой, В. В. Калинчука, І. Б. Полякової[25]при дослідженні процесів збудження пружних хвиль в двошарових напружених середовищах. У роботах В. А. Бабешко, В. В. Калинчука, О. А. Малахової[7, 8]були розглянуті динамічні контактні задачі для пружного шару з нестисливого матеріалу. Основною особливістю цього класу задач є наявність у символу ядра інтегрального оператора дворазового нуля на початку координат. Для дослідження цих завдань в[7]отримав подальший розвиток запропонований в[28]метод розв'язання інтегральних рівнянь.