А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Ядро - Гільберт

Ядро Гільберта також пов'язано з теорією аналітичних функцій.

Ядра Гільберта і Коші досить просто пов'язані між собою. Нехай L - простий замкнутий контур, гладкий і з безперервною кривизною.

Цим рівняння з ядром Гільберта відрізняється від рівняння з ядром Коші, яке у відповідному випадку завжди нерозв'язною.

Для інтеграла з ядром Гільберта (923) використовують наступну квадратурну формулу.

для інтеграла з ядром Гільберта (924) використовують наступну квадратурну формулу.

Ядра класу L2 називаються ядрами Гільберта - Шмідта.

Такі інтеграли називають інтегралами з ядром Гільберта.

Зауважимо: твердження даного слідства для ядер Гільберта - Шмідта, замість карлемановскіх, невірно.

К (s, t) називають ядром Гільберта - Шмідта, а породжуваний їм оператор К - інтегральним оператором Гільберта - Шмідта.

К (s, t) є ядром Гільберта - Шмідта.

Гельдера, називається характеристичним особливим рівнянням з ядром Гільберта. Якщо c (s) - - О, воно називається однорідним, в іншому випадку неоднорідним.

Гільберта, а вираз ctg - називається ядром Гільберта.

Гельдера, називається характеристичним особливим рівнянням з ядром Гільберта.

Воно є окремим випадком повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта, яке розглядається в пп.

Умова (476) означає, що взаємна спектральна щільність є ядро Гільберта - Шмідта. З виразів (477) і (478) випливає, що це ядро ермітовим і неотрицательно певне. Згідно з теоремою Мерсера (див. Розд. . W (T, 6) - сингулярне (з ядром Гільберта) і регулярне ядра, М (т, 6) /С ((про (т), з (6)) і N (т, 6) L ((o (t), (o (6)); шукана функція г) (т) /((про (т)) (о /(т) і права частина р (6) р (зі (6)) - 2я періодичні функції класу Я. 
Рівняння (21) є окремим випадком характеристичного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта (див. Пп. Рівняння в формі (14) також називають повним сингулярним інтегральним рівнянням з ядром Гільберта. Це є відома формула Гільберта, і ядро перетворення (127 ) природно назвати ядром Гільберта. Зауважимо, що в лівій частині формули (132) ми, як і в інтегралі Фур'є, не маємо права змінювати порядок інтегрування.

Це є відома формула Гільберта, і ядро перетворення (145) природно назвати ядром Гільберта. Фур'є, не маємо права змінювати порядку інтегрування.

Тільки що отримані результати справедливі в припущенні, що /(ь) є ермітовим ядром Гільберта - Шмідта, тобто підпорядковується умові (257) (пор.

Симетричні формули (6.6), (6.7) звуться формул звернення Гільберта, а вираз ctg - - називається ядром Гільберта.

З доведеної теореми випливає, що в разі квазірегулярних оператора резольвента будь-якого самосопряженних розширення L оператора L визначається ядром Гільберта - Шмідта і є тому цілком безперервним оператором.

Як характеристичне особливе інтегральне рівняння з ядром Копт пов'язано з крайової завданням Рімана, так і характеристичне рівняння (31.1) з ядром Гільберта ще більш безпосередньо пов'язано із завданням Гільберта.

Як характеристичне особливе інтегральне рівняння з ядром Коші пов'язане з крайової завданням Рімана, так і характеристичне рівняння (31.1) з ядром Гільберта ще більш безпосередньо пов'язано із завданням Гільберта.

Як характеристичне інтегральне рівняння з ядром Коші пов'язано з крайової завданням Рімана, так і характеристичне рівняння (43) з ядром Гільберта аналітично безпосередньо приводиться до задачі Гільберта.

З формул (917), (918) робимо висновок, що так само, як і в попередньому прикладі, LJJ 1 - інтегральний оператор Вольтерра з ядром Гільберта - Шмідта.

Метод рішення[7]плоскої задачі зі зчепленням для прямокутника грунтується на уявленні функції напруги Ері поруч Фур'є і отриманні з граничних умов сингулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта. В результаті задача зводиться до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь. У задачі[20]про взаємодію зчеплених по торця циліндра і шару отримано рівняння з позитивним оператором щодо контактного напруги, що дозволяє потім за допомогою методу Рітца звести задачу також до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь.

У цьому розділі ми розглянемо другу основну крайову задачу теорії аналітичних функцій, так звану задачу Гільберта, а також тісно пов'язані з нею особливі інтегральні рівняння з ядром Гільберта. На закінчення буде дано додаток завдання Гільберта до вирішення крайових задач для Полігармонічні і поліаналітіческіх функцій.

У цьому розділі ми розглянемо другу основну крайову задачу теорії аналітичних функцій, так звану задачу Гільберта, а також тісно пов'язані з нею особливі інтегральні рівняння з ядром Гільберта. На закінчення буде дано додаток завдання Гільберта до вирішення крайових задач для Полігармонічні і поліаналітіческпх функцій.

Очевидно, що рівняння (216) можна розглядати в просторі Z (- 1 1) з вагою if (), де воно являє собою інтегральне рівняння з ядром Гільберта - Шмідта, яке, більш того, є позитивно певним ядром.

З огляду на, що комплексний параметр містить два дійсних, а комплексне умова можливості розв'язання рівносильне двом дійсним, робимо висновок, що при v ф 0 якісні результати дослідження характеристичного рівняння з ядром Гільберта повністю збігаються з відповідними результатами для характеристичного рівняння з ядром Коші.

З огляду на, що комплексний параметр містить два дійсних, а комплексне умова можливості розв'язання рівносильне двом дійсним, робимо висновок, що при i /ф 0 якісні результати дослідження характеристичного рівняння з ядром Гільберта повністю збігаються з відповідними результатами для характеристичного рівняння з ядром Коші.

Отже, рівняння (11) і (12) мають одні і ті ж рішення, і; інтегральне рівняння третього роду (1) еквівалентно інтегрального рівняння першого роду (12) з ядром Гільберта - Шмідта.

Це були, мабуть, перші особливі рівняння, що стали відомими математикам. Повну теорію рівняння з ядром Гільберта дав, як на це вже вказувалося, Нетер в багато разів цитованої роботі.

Звідси випливає, що умова (3115) дозволяє визначити один з коефіцієнтів АІ, ри, п ми отримуємо результат. Однорідне характеристичне особливе інтегральне рівняння з ядром Гільберта (31.5), індекс якого до 0 має точно 2и лінійно незалежних рішень.

Завдання значення інтеграла виділяє єдине рішення. Тому будемо припускати, що рівняння з ядром Гільберта при відомому значенні інтеграла має єдине рішення.

Зауважу, що сукупність всіх міркувань і операцій, необхідних для того, щоб пристосувати рішення задачі Рімана до вирішення завдання Гільберта, особливо маючи на увазі використання останньої для вивчення спеціальних інтегральних рівнянь з ядром Гільберта, що не менше, ніж та, яка необхідна для безпосереднього вирішення завдання Гільберта.

Питання про умови іптегралиюсті оператора був поставлений в 1935 р Дж. Велика кількість робіт присвячена завданню уявлення операторів в інтегральної формі з ядрами, що задовольняють різним умовам. У цих роботах знайдені критерії представимости лінійних операторів в інтегральної формі з ядрами, які є широким узагальненням ядер Гільберта - Шмідта.

Завдання 7.1. Чи завжди два обмежених ядра перемножаеми. Наприклад, припустимо, що X, Y, Z - простору з мірою, k - обмежене ядро на yxz, а и і й - елементи L. Якщо А визначено у вигляді h (x, у) і (х) v (y), то А - ядро Гільберта - Шмідта, але А і k НЕ перемножаеми. Приклади таких k, і та v легко підібрати. Вони, однак, не дають відповідь на всі мають сенс питання. Так, наприклад, чи потрібно згортка двох перемножуєте обмежених ядер є обмеженим ядром.

Спосіб зведення задачі Гільберта до задачі Рімана, викладений у цьому пункті, має ту перевагу перед першим способом, що він не спирається на явне рішення цих задач. Тому спосіб цей може бути використаний і в тому випадку, коли таких явних рішень не існує, наприклад, у відповідних завданнях з багатьма невідомими функціями (див., Наприклад, Н. П. Віку а[3], Стор. Зауважу, що сукупність всіх міркувань і операцій, необхідних для того, щоб пристосувати рішення задачі Рімана до вирішення завдання Гільберта, особливо маючи на увазі використання останньої для вивчення спеціальних інтегральних рівнянь з ядром Гільберта, що не менше, ніж та, яка необхідна для безпосереднього вирішення завдання Гільберта. .