А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Ендоморфізм - абелева група

Ендоморфізм абельовой групи тоді і тільки тоді є квазіпроекціей, коли існує деяка проекція, що має з даними ендоморфізм однакові образ і ядро.

Кільце ендоморфізм абельовой групи є тілом тоді і тільки тоді, коли ця група ізоморфна Q або Z /Zp, де р - просте число.

Кільце ендоморфізм абельовой групи самоін'ектівно справа тоді і тільки тоді, коли G D A, де D - делимая група, а А - скорочена цілком характеристична сервантная підгрупа прямого твори прямих сум ізоморфних циклічних р-груп, причому в разі, коли D. Кільце ендоморфізм періодичної абелевих групи А виявляється нетерових ліворуч або праворуч тоді і тільки тоді, коли А - пряма сума кінцевого числа коцікліче-ських груп (група с називається коцікліческой, якщо існує такий елемент з е с, що всякий гомоморфізм ф: с - - В, де ф (с) 0 є мономорфізму), - см. [92], § 111; Іванов А. В. /Абелеві групи і модулі.

Нехай група ендоморфізм абельовой групи А є повна група.

Це кільце називається кільцем ендоморфізм абельовой групи.

Довести, що група ендоморфізм абельовой групи з кінцевим числом породжують є група з кінцевим числом породжують.

Це кільце називається кільцем ендоморфізм абельовой групи.

Наведена нижче теорема є узагальненням добре відомого факту щодо ендоморфізм абелевих груп.

До і ш к и н а[I ]вивчає кільця ендоморфізм р-примітивних абелевих груп кінцевого рангу без крутіння. За р-адических матриці, яка задає дану групу, будується кільце ендоморфізм цієї групи як деякий кільце матриць, елементи яких-р-ічние дробу.

Для подальшого відзначимо, що Лієв кільце, відповідне в зазначеному сенсі кільцю ендоморфізм абельовой групи G, ми будемо називати Лієвим кільцем ендоморфізм цієї абельовой групи.

Для подальшого відзначимо, що Лієв кільце, відповідне в зазначеному сенсі кільцю ендоморфізм абельовой групи G, ми будемо називати Лієвим кільцем ендоморфізм цієї абельовой групи.

На закінчення згадаємо роботи Селі[130]і Маурера[131- 133], В яких топологізіруется кільце ендоморфізм абельовой групи.

Відображення А - А: а - га для будь-якого цілого числа г є ендоморфізм абельовой групи А.

Таким чином, гомоморфізми будь-якої групи G (легко перевірити, що в якості G тут можна було б взяти не групу, а будь-яку алгебру, однотипну з групою) в абелеву групу G становить по додаванню абелеву групу. Зокрема, ендоморфізм абельовой групи G складають по додаванню, що визначається рівністю (12), абелеву групу. Замість з тим, відповідно до § 3 вони складають напівгрупу з одиницею по множенню в сенсі множення перетворень.

Таким чином, гомоморфізми будь-якої групи G (легко перевірити, що в якості G тут можна було б взяти не групу, а будь-яку алгебру, однотипну з групою) в абелеву групу G становить по додаванню абелеву групу. Зокрема, ендоморфізм абельовой групи G складають по додаванню, що визначається рівністю (12), абелеву групу. Разом з тим, відповідно до § 3 вони складають напівгрупу з одиницею по множенню в сенсі множення перетворень.

Це поняття було виправдано в § 9 ири допомогою кілець ендоморфізм абелевих груп, які виникли з огляду на те, що гомоморфізм будь-якої групи (насправді навіть будь-алгебри, однотипної з групою) в абелеву групу складають по додаванню гомоморфізмів абелеву групу.

Це поняття було виправдано в § 9 за допомогою кілець ендоморфізм абелевих груп, які виникли з огляду на те, що гомоморфізм будь-якої групи (насправді навіть будь-алгебри, однотипної з групою) в абелеву групу складають по додаванню гомоморфізмів абелеву групу.

Ізоморфне відображення групи О на себе називається автоморфізмом, а гомоморфності відображення в себе - ендоморфізм цієї групи. Автоморфізм ф називається внутрішнім, якщо існує елемент х з Про таку, що aq x - lax для будь-якого а з G, і зовнішнім - в іншому випадку. Все ендоморфізм абельовой групи G утворюють кільце, якщо складання ендоморфізм визначити рівністю про ((р - - ф) аф - - - аф, а множення - так само, як для автоморфізмів. Цей результат передоказал Фейт[18], Що довів також, що в кільці з умовою мінімальності для головних лівих ідеалів збігаються радикали Бера і Джекобсон. Він, зокрема, показав, що джекобсоновскій радикал таких кілець локально Ніль-Потенте. Сас ж[21]довів, що виконання умови мінімальності для головних лівих ідеалів в кільці А всіх ендоморфізм абельовой групи G рівносильно кожному з наступних властивостей: 1) G /C 5 де /С-кінцева група, a S - пряма сума кінцевого числа примірників адитивної групи раціональних чисел; 2) А задовольняє умові мінімальності для лівих ідеалів. На закінчення відзначимо, що умова мінімальності для головних правих ідеалів рівносильно деяким гомологическом властивостями[22](Див. Стор. У цьому питанні істотну роль грають напівлінійних перетворення, і ми зупинимося на них трохи докладніше. Якщо цей модуль розглядати як пару (теж ліву) (L, G), то відповідно до загальних розглядами другого розділу ендоморфізм такий пари - це відображення р (т, а) таке, що: (а: G - G - Ga - ендоморфізм абельовой групи G, (j, L - Z /LT - ендоморфізм кільця L і, крім того, (а) № сР при будь-яких X.

Саме в такий аксіоматичній науці, як загальна алгебра, не потрібно великого розуму для того, щоб створювати нові об'єкти вивчення. для цього мало вказати приклади, навіть важливі, що вводяться понять. Поняття групи не може бути виправдана тим, що існують симетричні групи на довільних множинах, а тим, що симетричними групами і їх підгрупами з точністю до ізоморфізму вичерпуються всі групи. Поняття асоціативного кільця може бути виправдана тим, що існують кільця лінійних перетворень, а лише тим, що кільцями ендоморфізм абелевих груп і їх подкольца вичерпуються всі асоціативні кільця. Можливі й інші способи виправдання вводяться нових понять, по вони повинні бути настільки ж переконливими.