А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Еліпсоїд - нібито

Еліпсоїд Якобі збігається тоді з однією з форм еліпсоїда Маклорена. Ця гранична форма, з - фіг - 87-ження на фіг.

Маклорена і еліпсоїд Якобі.

Зміни екваторіального радіуса. е для твердотільних обертових політропи з показником п 3. Позначення ті ж, що на (Aikawa Т. Sci. Rep. Tohoku Univ. (15413 1971. Як було показано в попередньому розділі, послідовність еліпсоїдів Якобі відгалужується від послідовності сфероидов Маклорена п О в точці т ть 0 +1375; після цієї точки осесиметричні фігури набувають вікову нестійкість.

Маклорена з а /с - Ь /с і еліпсоїди Якобі з ОФ'.

Повна енергія E-T W як функція моменту кількості руху для сфероидов Маклорена і еліпсоїдів Якобі. Величина а пов'язана з трьома головними півосями, йг (йг. З 1/3 причому для сфероида а Ь. Для деяких конфігурацій вказана величина ексцентриситету, визначеного за формулою. показана точка біфуркації (е 081267 і точка виникнення динамічної нестійкості (е 095289. Мода Якобі, яка деформує сфероид Маклорена, перетворюючи його в еліпсоїд Якобі, і яка нестійка при наявності в'язкості, стабілізується гравітаційним випромінюванням. Мода Дедекинда, нестійкість якої пов'язана з гравітаційним випромінюванням, стабілізується в'язкістю. Можна так підібрати співвідношення між в'язкістю і гравітаційним випромінюванням, що їхні капітали на послідовності Маклорена будуть стійкими до точки динамічної нестійкості.

Найпростішими фігурами рівноваги самограві-тірующіх тел при твердотільному обертанні є сфероїди маклер-на і еліпсоїди Якобі (див. Розд. У класичному формулюванню Пуанкаре розглядається повільна еволюція твердотільних обертового вузького сфероида уздовж послідовності сфероидов Маклорена, а потім уздовж послідовності еліпсоїдів Якобі. Причиною цього переходу вважається гравітаційне стиснення початкової маси, а тертя передбачається досить великим для підтримки твердотільного обертання. Дотримуючись Джинсу (головному наступнику цієї моделі), припустимо, що має місце вікове збільшення моменту кількості руху при збереженні однорідної щільності - формально це еквівалентно поступового збільшення щільності при постійному моменті кількості руху.

Відзначимо, що цей трек грає ту ж роль, що і послідовність еліпсоїдів Якобі в класичному підході. але оскільки ці рівноважні фігури не лежать в точності на лінії Маклорена, вони ніколи не досягають точки динамічної нестійкості т 7 на послідовності сфероидов Маклорена. Отже, вони завжди еволюціонують в кельвіновской шкалою (до, залишаючись при цьому на самій нижній послідовності еліпсоїдів Рімана або поблизу неї. Найбільший інтерес привернув до себе випадок першої біфуркації, яка має місце в серії еліпсоїдів Якобі. Квадрат кутової швидкості (в одиницях тгСр для послідовностей сфероидов Маклорена і еліпсоїдів Якобі. По осі абсцис відкладений ексцентриситет, визначений за формулою. (За книгою Чандрасекара. Звідси випливає, що вище точки біфуркації сфероїди Маклорена повинні бути нестійкими і переходити в еліпсоїди Якобі. Згідно Чандрасекару, в точці т ть від послідовності сфероидов Маклорена відгалужуються дві послідовності еліпсоїдів: еліпсоїди Якобі і еліпсоїди Дедекинда, тобто . однорідні конфігурації, стаціонарні в інерціаль-ної системі відліку, які зберігають свою еліпсоїдальної форму за рахунок внутрішніх рухів з однорідної завихрення навколо найменшою віссю (див.[28]до гл. Однак, як показали Фрідман і Шуц, все невязкую обертаються зірки мають вікової нестійкістю через гравітаційного випромінювання щодо деяких мод з кутовою залежністю exp (/wp), але тільки для мод m 2 при повільному обертанні.

У картині, викладеної вище, вирішальне значення має в'язкість, яка перетворює стискується сфероид Маклорена в еліпсоїд Якобі в точці біфуркації г ть.

Момент кількості руху[в единицах ( GM3 1 /2 ]для послідовностей сфероидов Маклорена і еліпсоїдів Якобі[параметр а пов'язаний з трьома головними півосями, (&. 1/3 причому для сфероида аЬ. В обох випадках по осі абсцис відкладений ексцентриситет, визначений за формулою. (За книгою Чандра-Секара.

оскільки насправді С0 є кратним коренем при T /W 01375 то в тій же еліпсоїди Я до обі стають динамічно нестійкими якраз в тій точці, де від послідовності еліпсоїдів Якобі відгалужується послідовність грушовидних фігур. До сих пір нікому не вдалося довести або спростувати, що подовжена грушоподібна фігура, один кінець якої товщі іншого, розпадається в результаті на дві рт слушні маси, що обертаються навколо один одного. Для цього треба було б провести повністю нелінійне нестаціонарне дослідження еволюції грушоподібної фігури, справжня межа якої в кожен момент не відома.

Результати Маклорена здавалися настільки простими і переконливими, що пройшло близько ста років, поки нібито не виявив, що існують і інші рівноважні фігури - еліпсоїди. Еліпсоїди Якобі також обертаються рівномірно і не мають внутрішніми рухами. Коли момент імпульсу сфероида Маклорена зростає, він може перетворитися в еліпсоїд Якобі. Це точка біфуркації послідовності Маклорена. Послідовність Якобн теж розгалужується і утворюється грушоподібні рівноважні фігури, відкриті Пуанкаре і досліджені Дарвнном, Ляпуновим, Джинсом і Картаном.

У цій статті стверджується, що біфуркація має місце при О2 зі[пор. Хоча в точці, де послідовність еліпсоїдів Якобі відгалужується від послідовності сфероидов Маклорена, справа йде саме так.

Оскільки насправді С0 є кратним коренем при T /W 01375 то в тій же точці від послідовності Маклорена крім еліпсоїдів Якобі відгалужується ще одна послідовність рівноважних конфігурацій: еліпсоїди Дедекинда. Вони мають ту ж форму, що і еліпсоїди Якобі, але їх форма стаціонарна: еліптична поверхню підтримується циркуляцією рідини всередині тіла.

Точки Р, Q позначають місця, в яких еліпсоїди Якобі стають нестійкими.

Якщо я Ь, ми маємо сфероїди Маклорена. Якщо а Ь, умова рівності нулю інтеграла дає еліпсоїди Якобі.

Заслугою Пуанкаре було створення загальної теорії рівноваги і стійкості еліпсоідальних форм, йому ж належить поняття фігур біфуркації. Зокрема, він довів існування грушовидних фігур, які відгалужуються від послідовності еліпсоїдів Якобі. Треба сказати, що роком раніше, в 1884 р, ці грушоподібні фігури були відкриті Ляпуновим. На жаль, результати російського математика залишалися майже невідомими західним вченим, до тих пір поки його роботи не були перекладені на французьку мову на прохання самого Пуанкаре. Відкриття цих фігур Ляпунова - Пуанкаре стало стимулом для численних досліджень, оскільки виникло припущення, що в кінцевому рахунку вони можуть розпадатися на два окремих тіла, що обертаються одна навколо іншої. Критичний розбір цієї теорії ми дамо в розд.

Квадрат кутової швидкості О2 уздовж послідовностей сфероидов Маклорена (суцільна лінія і еліпсоїдів Якобі (штрихова лінія в залежності від ставлення т K /W. Одиницею вимірювання О2 служить 2vGp. (Див. Також додаток Г. | Повний момент кількості руху J уздовж послідовностей сфероидов Маклорена (суцільна лінія і еліпсоїдів Якобі (штрихова лінія в залежності від ставлення р Перше рішення визначає сфероїди Маклорена (пор. У додатку Г наведені чисельні значення для окремих членів послідовностей сфероидов Маклорена і еліпсоїдів Якобі. згодом справжню роль вікової нестійкості вивчали Прес і Тюкольскі: вони проинтегрировал рівняння Нав'є - Стокса в припущенні, що деформації еліпсоїдального. З їх чисельних результатів вимальовується послідовна картина: за точкою г ть нестисливої сфероид Маклорена повільно і монотонно деформується в еліпсоїд Якобі.

Найпростішими фігурами рівноваги самограві-тірующіх тел при твердотільному обертанні є сфероїди маклер-на і еліпсоїди Якобі (див. Розд. У класичному формулюванню Пуанкаре розглядається повільна еволюція твердотільних обертового вузького сфероида уздовж послідовності сфероидов Маклорена, а потім уздовж послідовності еліпсоїдів Якобі. Причиною цього переходу вважається гравітаційне стиснення вихідної маси, а тертя передбачається досить великим для підтримки твердотільного обертання. Дотримуючись Джинсу (головному наступнику цієї моделі), припустимо, що має місце вікове збільшення моменту кількості руху при збереженні однорідної щільності - формально це еквівалентно поступового збільшення щільності при постійному моменті кількості руху.

На рис. 10.3 зображено поведінку частот а 2 і а 2 Уздовж послідовності сфероидов Маклорена по Лебовіц. Частота а 2 звертається в нуль при И2 з, тобто в точці т ть, де від послідовності сфероидов Маклорена відгалужується послідовність еліпсоїдів Якобі. Крім того, при И2 2СО, тобто за точкою 770 2738 обидві частоти стають комплексними; звідси ясно, що мода з частотою І є межею колебательной нестійкості (див., проте, розд. Два критичних сфероида, відповідні т ть і т - 7 зображені на рис. 10.4. У разі нестискуваних сфероидов нестійкість тессеральних і зональних мод, які також розглядалися в розд.

При ог0 поряд зі сфероїдом Маклорена існує й інша рівноважна конфігурація. Насправді 7Y1 І7101375 є точкою біфуркації, в якій від послідовності Маклорена відгалужується інша послідовність рівноважних конфігурацій. Ця нова послідовність складається з еліпсоїдів Якобі, що обертаються однорідних тіл з еліпсоїдальної поверхнею.

Результати Маклорена здавалися настільки простими і переконливими, що пройшло близько ста років, поки нібито не виявив, що існують і інші рівноважні фігури - еліпсоїди. Еліпсоїди Якобі також обертаються рівномірно і не мають внутрішніми рухами. Коли момент імпульсу сфероида Маклорена зростає, він може перетворитися в еліпсоїд Якобі. Це точка біфуркації послідовності Маклорена. Послідовність Якобн теж розгалужується і утворюється грушоподібні рівноважні фігури, відкриті Пуанкаре і досліджені Дарвнном, Ляпуновим, Джинсом і Картаном.

У зв'язку з цим особливої уваги заслуговують сфероїди Маклорена, оскільки з безперервним зростанням відносини т від т 0 до т 0 5 вони змінюються від кулі до нескінченно тонкого диска. Таким чином, ця послідовність твердотільних обертових однорідних сфероидов не обривати. Однак точка г ть 0 тисячі триста сімдесят п'ять відповідає точці біфуркації, від якої відгалужуються твердотільних обертаються еліпсоїди з точною симетрією відповідними площинами, тобто еліпсоїди Якобі.

У 1834 р Карл Якобі (1804 - 1851) зробив нове важливе відкриття, виявивши, що допустимими фігурами рівноваги бувають не тільки конфігурації з осьової симетрією. Якобі навів переконливі свідчення на користь того, що однією з форм відносної рівноваги у обертових тіл може бути однорідний еліпсоїд з трьома нерівними осями. На той час було вже відомо, що зі збільшенням кількості руху від нуля до нескінченності сфероїди Маклорена видозмінюються від сфери до нескінченно тонкого диска. Що ж стосується еліпсоїдів Якобі, форма яких змінюється від конфігурації з осьової симетрією до нескінченно довгою спиці, то Лиувилль встановив, що вони можуть являти собою фігури рівноваги, тільки якщо момент кількості руху перевищує певну межу.

Згодом справжню роль вікової нестійкості вивчали Прес і Тюкольскі: вони проинтегрировал рівняння Нав'є - Стокса в припущенні, що деформації еліпсоїдального. З їх чисельних результатів вимальовується послідовна картина: за точкою г ть нестисливої сфероид Маклорена повільно і монотонно деформується в еліпсоїд Якобі. На рис. 10.5 і 10.6 показано, як в'язкий сфероид Маклорена поступово переходить в еліпсоїд Якобі з такими ж масою, об'ємом і моментом кількості двженія.

З рівняння (23) відразу випливає, що поки Т відрізняється від нуля, сума Т ДК 6 W повинна безперервно зменшуватися. Якщо повна механічна енергія До Л - W абсолютно мінімальна, то ДК д W завжди позитивно, звідси і Г, і & К 6W повинні прагнути до нуля, і система в кінцевому рахунку повернеться до свого рівноважного стану. Навпаки, якщо сума До W не їсти абсолютний мінімум, то ЬК д W убуває, значить, Г повільно зростає з часом до тих пір, поки конфігурація не прийде в сусіднє стан відносної рівноваги, що має вікової нестійкістю. Саме так поводяться сфероїди Маклорена при т ть, оскільки повна механічна енергія До W еліпсоїда Якобі менше, ніж у його осесім-метричних аналога з таким же моментом кількості руху.

У зв'язку з цим особливої уваги заслуговують сфероїди Маклорена, оскільки з безперервним зростанням відносини т від т 0 до т 0 5 вони змінюються від кулі до нескінченно тонкого диска. Таким чином, ця послідовність твердотільних обертових однорідних сфероидов не обривати. Однак точка г ть 0 тисячі триста сімдесят п'ять відповідає точці біфуркації, від якої відгалужуються твердотільних обертаються еліпсоїди з точною симетрією відповідними площинами, тобто еліпсоїди Якобі. Тому за точкою т ть все сфероїди Маклорена мають вікової нестійкістю. Це означає, що якщо тільки діє в'язке тертя, то вони повільно еволюціонують до послідовності еліпсоїдів Якобі. Реакція гравітаційного випромінювання, як і в'язкість, призводить до вікової нестійкості за точкою т гь, але взаємодія в'язкого тертя з реакцією гравітаційного випромінювання може, принаймні частково, придушити цю нестійкість.