А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Елементи - алгебра

Елементи алгебри 51 і є тими формальними експоненціаламі, які тільки що згадувалися.

Елементи алгебри про називаються числами Кліффорда.

Елементи алгебри - лінійні оператори, що представляють фізичні спостерігаються, не повинні розглядатися як щось жорстко заданий, таке як диференціальні оператори, що діють на розумні функції. Швидше за цей алгебраїчний символ позначає щось, певне тільки його співвідношенням з іншими такими ж символами, виражене в термінах математичних операцій, в яких ці символи беруть участь. Тому окремо взятий алгебраіческлй символ беззмістовний; його властивості виникають тільки завдяки співвідношенням між ним і всіма іншими символами, і чим більше (незалежних) співвідношень накладається, тим більше специфікованими стають властивості математичного об'єкта. Сенс алгебраїчного символу виникає в контексті використання алгебраїчного мови як цілого.

Елементи алгебри Л (х) представляють повний набір флуктуїрующих величин. Такі величини ми називаємо сильно флуктуирующими.

Елементи борі-Левскі алгебри називаються борелевская множинами.

Елементи алгебри ТЬп є лінійними комбінаціями образів (при природній проекції V - V /Va) діаграм. У такій ситуації ми будемо припускати, що всі діаграми, що входять в лінійну комбінацію, піддаються одній і тій же операції.

елементи алгебри S (L) можна розглядати як поліноміальні функції на просторі L зі значеннями в полі Ж: елементу fe L ставиться у відповідність він сам як функціонал на L, а твором елементів в S (L) і їх лінійної комбінації - твір і лінійна комбінація відповідних функцій . Не цілком очевидно, що різні елементи S (L) розрізняються також як функції на L. Ми залишаємо це питання читачеві як вправа. Для симетричних алгебр над кінцевими полями, які ми введемо нижче, це вже не так: наприклад, функція хР - х тотожно дорівнює нулю в поле Ж з р елементів.

Елементи алгебри Буля, взагалі кажучи, не є числами.

Всі елементи алгебри - напів (пропозиція 4 § 8 гл. Маємо sPiUPvP, UP - напів ендоморфізм, VP - /- нільпо-тентной ендоморфізм і v & перестановочен з UP. Якщо всі елементи алгебри Лі Е ad - нильпотентних, то алгебра Е нильпотентна .

Якщо всі елементи алгебри А нильпотентних, то саму алгебру ми будемо називати слабо нілиготентной.

За умовою всі елементи алгебри L є ad - нильпотентних. Тому алгебра ad Legl (L) задовольняє умові теореми 3.3. (Можна вважати, що L O. При цьому алгебра L /Z (L), очевидно, складається з ad - Ніль-потентность елементів і має меншу розмірність, ніж L. Індукція по розмірності алгебри L показує, що алгебра L /Z (L ) нильпотентна.

звідси випливає, що елементи алгебри ty (А) суть рівномірні межі полиномов на / С.

При п - 2т елементи алгебри С (Q) з нульовим слідом утворюють просту Лі р а. AN, N2m - 1; її градуювання має високий ступінь симетрії; зокрема, всі градуюються підпростору рівноправні.

Припустимо, що все полуприем елементи алгебри Лі g центральні.

У цьому сенсі майже всі елементи алгебри і регулярні. Регулярні елементи утворюють відкрите безліч в сенсі алгебраїчної геометрії.

A, Ux і Vx - елементи алгебри обмежених лінійних операторів в Я, є продовженнями по безперервності умножений панелі з обох сторін х в А. Слабке замикання сімейства операторів Uх (відповідно V) є алгеброю Неймана в //; вона називала. А і позначається U (А) (відповідно V (A)); U (А) і V (A) є коммутантам один одного; це - полуконечние алгебри Неймана.

За умовою, сліди матриць, що представляють елементи алгебри o /SR, відомі.

За умовою, сліди матриць, що представляють елементи алгебри відомі.

Воно, очевидно, виконується, коли елементи алгебри А є перетвореннями якогось безлічі і як множення береться суперпозиція перетворень. Можна показати, що будь-яка асоціативна алгебра ізоморфна деякій алгебри лінійних перетворень відповідного векторного простору.

Контраваріантниє - валентні косі тензори, що розглядаються як елементи алгебри Грассмана, називаються контра-варіантних А-векторами або контраваріантнимі полівекторамі. Число k називають порядком полівектора. Елемент Про називається нульовим полівектором.

Функція в алгебрі логіки - вираз, що містить елементи алгебри логіки а, і, з і ін., Пов'язані операціями, визначеними в цій алгебрі.

Кожна подалгебра Л булевої алгебри Д містить одиничний V і нульовий Л елементи алгебри А.

Це найбільш слабка топологія, або тип збіжності, при якому всі елементи алгебри є безперервними операторами. 
Кожна подалгебра А булевої алгебри Л містить одиничний V і нульовий Л елементи алгебри А.

Чи очевидно: 3f є підпростір в Зй, замкнутий щодо множення на елементи алгебри.

Зауважимо, що якщо подання групи унітарно, то в силу (6) елементи алгебри Лі є ермітовим операторами.

Слідство 8.1. Якщо А - оператор виду (8.1), а Ф, я) - елементи алгебри, які представляють собою функції з непересічними носіями, то оператор: Н8 - Hs-a цілком неперервний.

РРФСР Тетяна Євгенівна Доцевіч, яка ще в 6О - ті роки в математичних класах 110-й новосибірської школи застосовувала при вивченні математики елементи алгебри логіки, алгоритмізації, використовувала електронно-обчислювальну техніку на уроці.

Якщо g - алгебра Лі компактної підгрупи групи GL (V), де V - конечномерное векторний простір над полем дійсних чисел, то всі елементи алгебри g полуприем.

 Якщо G - непріводімим здійсненне лінійна алгебраїчна група, то ми покажемо, що існують дві її підгрупи N і А, які мають такі властивості: обидві вони не приводиться; N - нормальний дільник в G (А цією властивістю, взагалі кажучи, не володіє); елементи алгебри Лі групи N суть нільпотентні елементи алгебри Лі групи G група А абелева, і її елементи полуприем; кожен елемент групи G уявімо, і до того ж єдиним чином, у вигляді твору елемента з N на елемент з А. 
У § 0.7 ми бачили, що вільну асоціативну алгебру k X на множині X над полем k можна визначити як полугрупповую алгебру вільної напівгрупи Sx над k слабкий алгоритм, що виконується у вільній алгебрі, можна вважати аналогом умови (iii) теореми 6.1. Використовуючи цю теорему, ми покажемо, що однорідні елементи алгебри k X утворюють вільну напівгрупу. Надалі будемо вважати безліч X лінійно впорядкованим і впорядкуємо одночлени від X різної довжини по їх довжині, а одночлени однакової довжини-лексикографічно.

Елементи алгебри є лінійними кому - у бинации базисних елементів-генераторів. Зазвичай число генераторів звичайно. Генератори алгебри Лі утворюють набір осн.

Тоді елементи алгебри (ЙР) (д) нильпотентних.

Алгебра R називається алгебраїчної, якщо всі її елементи алгебри. Якщо всі елементи алгебри R над полем Ф є корінням многочленів над Ф, ступеня яких обмежені в сукупності, то кажуть, що R - алгебраїчна алгебра обмеженій мірі. Алгебраїчної алгеброю обмеженій мірі виявляється будь-яка скінченновимірна алгебра над будь-яким полем. Проблема Куроша: чи всяка алгебраїчна алгебра над полем локально кінцева.

Обчислення висловлювань є однією з можливих інтерпретацій булевої алгебри, і в цьому напрямку може бути проведений ряд корисних аналогій. Висловлювання можуть розглядатися як елементи алгебри, а твір, сума, доповнення можуть бути інтерпретовані як кон'юнкція, диз'юнкція і заперечення. Якщо на додаток до сказаного знак рівності в алгебрі розглядати аналогічним знаку еквівалентності в логіці, то все аксіоми і теореми булевої алгебри перетворюються в логічно істинні висловлювання в обчисленні висловлювань.

В силу 1.1 існує така операція взяття нутрощі Г в В, що клас С0 всіх відкритих елементів з В () є подбазой топологічної алгебри В. Так як клас С0 містить нульовий і одиничний елементи алгебри В і Ь Ь2 Ой при Ь, & 2 С0 клас е 0 є навіть базою для В (див. стор.

Обидва вони (або будь-яка їх лінійна комбінація) ермітовим і можуть бути пов'язані з класичною динамічної функцією Ьас. Отже, нам необхідно мати однозначне правило, яке вказує, як будувати елементи алгебри. необхідно чітко уявляти собі, що подібне правило постулюється, і тому не має сенсу намагатися довести будь-які твердження щодо нього. Це не завжди достатньо ясно видно з літератури.

О і видання може не мати однозначної відповіді або навіть[не иметь решения вовсе. Множество описанных выше величин называется алгеброй[9], а групові величини суть елементи алгебри -, треба бути обережними і не плутати їх з елементами групи (див. гл.

Вираз (або формула) виду ww де w і wf - однорідні елементи алгебри W, називається елементарною Ж - формулою.

В силу останнього властивості (нильпотентних) в такій теорії не можна безпосередньо розглядати системи з більш ніж р частинок, але можна розглядати дек. Інша узагальнення параполей ґрунтується на аналогічній конструкції, де в якості од беруться елементи неассоціатівное алгебри октоніонов. В цьому випадку однозначно фіксується порядок П, (колір) р з, однак виникає проблема побудови гильбертова простору векторів станів.

Якщо в V вибрати базис, узгоджений з прапором F, то в ньому елементи алгебри n (F) буде досить верхніми трикутними матрицями з нулями на головною діагоналі.

У теорії алгебр з замиканням елементи булевих алгебр грають роль, аналогічну підмножини топологічного простору. Однак можлива й інша точка зору; булеву алгебру 31 можна інтерпретувати як топологічний простір, а елементи алгебри 91 - як точки цього простору.

Зокрема, фіксуючи /1 і варіюючи /, знаходимо, що група Urt нильпотентна. Її алгебра Лі і збігається з безліччю всіх верхніх трикутних матриць з нульовою діагоналлю; таким чином, елементи алгебри і є нильпотентних матрицями.

Перш ніж перейти до викладу предмета, природно, озирнувшись на Алгебру, убедітьсяс що не існує ніякого розриву між цим курсом і попереднім навчанням. Потім розглядають рішення рівнянь і систем рівнянь першого ступеня, нарешті переходять до рівнянь будь-якого ступеня. Елементи Алгебри мають, таким чином, головним предметом - властивості раціональних і цілих функцій однієї змінної, і вони призводять канализ (виділено Ерміт, -), тобто до загального вивчення функцій.

Через це властивості а називається оператором знищення, а cfi - оператором народження. Обидва вони часто називаються сходовими операторами. Всі елементи алгебри гармонічного осцилятора, є функціями від я і о1 визначені на елементах цієї ортонормованій системи.

При цьому група G Aut 2) діє не тільки в F, а й на булевої алгебри ф всіх станів. Це означає, що G діє в даному універсальному автоматі як група автоморфізмів. Ця дія не змінює елементи алгебри запитів U.

Нехай М - - деяка асоціативна алгебра, - алгебра лінійних перетворень простору V. Гомоморфізм /: Js - - gl (F) називається поданням алгебри з &. Якщо заданий гомоморфізм /, то елементи алгебри я.

В силу И існує така операція взяття нутрощі. В, що клас G (, всіх відкритих елементів з В є подбазой топологічної алгебри В. Так як клас G0 містить нульовий і одиничний елементи алгебри В до btf]b2 Ga при Ь Ь2 GO, клас G0 є навіть базою для В (див. Стор . За визначенням л є об'єднання всіх b GQ таких, що Ь а. З іншого боку, 10а є найбільший елемент b G0 такий, що Ь а (див. зауваження після затвердження (3) на стор.

Тим самим exp TN - узагальнена точка групи (G (S)) L і N належить алгебрі Лі групи (G (S)) L. Але з пропозиції 2 ми вбачаємо, що всі елементи алгебри Лі групи (G (S)) L полуприем, так що в цьому випадку N 0 що і доводить наше твердження.