А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Ціла крива
Будь-яка ціла крива f: C-Pn, не яка перетинає п - - 2 гіперплоскостей в загальному положенні, виродилися.
Цілі криві нижнього порядку Х 0 5 мають ряд спеціальних властивостей в розподілі значень.
Для цілих кривих малого нижнього порядку величини позитивних відхилень мають ряд додаткових властивостей.
Нехай дана невироджена ціла крива]: С - Р і q п 2 гіперплоскостей D /с Р п в загальному положенні.
паралельно теорії цілих кривих будується теорія я-значних алгеброідних функцій.
Таким чином, ціла крива G (z) є відображення G: C - CP. Усюди далі будемо вважати, що хоча б дві компоненти G (z) функції gk (z) і gv (z) є лінійно незалежними цілими функціями.
Теорія розподілу значень цілих кривих знаходить також застосування при дослідженні властивостей рішень деяких функціональних рівнянь.
З властивостей величин протяжений цілих кривих слід ще таке властивість їх величин дефектів.
Неванлінни, а для цілих кривих нескінченного нижнього порядку величини позитивних відхилень мають свої спеціальними властивостями (див., Напр. Подальші міркування фактично повторюють випадок цілих кривих з лінійно незалежними компонентами. Використовуючи далі результати з теорії цілих кривих[24], Приходимо до такого висновку.
Слід підкреслити, що існування цілої кривої нерухомих точок РГ ще не означає автоматично, що різним нерухомим точкам цієї кривої будуть відповідати різні показники. Так, наприклад, в разі розглянутої вище лінійної РГ параметр з[см. (8.3), (8.8) ]може приймати довільні значення, в результаті чого ми будемо отримувати різні нерухомі точки, яким, проте, будуть Відповідати одні й ті ж показники.
К, 0 Л оо існує ціла крива G0 (z) нижнього порядку К, для якої безліч DBO (GO) містить рахунок-ве безліч векторів.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідженню властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Таким чином, зростання характеристичної функції цілої кривої і всіх її приєднаних кривих в істотному (якщо знехтувати безліччю кінцевої логарифмічною заходи і величинами порядку In Г (г)) однаковий.
Тоді фундаментальна система рішень рівнянь (429) являє собою трансцендентну цілу криву. Крім того, безліч //, 1 /п щ (г) ф 0 не зводиться до порожнього.
У монографії розглянуті основи класичної теорії розподілу значень цілих кривих і сучасний стан цієї теорії. Знайдена зв'язок між цілими кривими і п - значними алгеброіднимв функціями. викладено застосування теорії цілих кривих і алгеброідних функцій до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь.
G) 0) називається безліччю позитивних відхилень цілої кривої G (z) щодо фіксованої допустимої системи векторів А.
Теорема 3.7. Нехай G (z) - довільна р - мірна ціла крива.
У книзі викладено сучасний стан аналітичної теорії зростання і розподілу значень цілих кривих. Дано додаток теорії цілих кривих до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Так, як у вітчизняній математичної літературі відсутні роботи з аналітичної теорії цілих кривих і їх додатків, можна сподіватися, що дана монографія, що представляє собою продовження роботи[20], Заповнить цю прогалину.
Величину зі (a, G) також будемо називати протяжністю цілої кривої G (z) щодо вектора а.
З теореми 1.7 про зв'язок між характеристиками зростання і розподілу значень n - Значних алгеброідних функцій і цілих кривих і з результатів даної глави безпосередньо випливають відповідні затвердження для n - значних алгеброідних функцій. Ці твердження будемо формулювати у вигляді теорем із зазначенням відповідного факту для цілих кривих, з якого вони слідують.
Стало бути, тепер поверхню сімейства стосується обвідної, взагалі кажучи, в одній точці, а не вздовж цілої кривої, як це було у однопара-метричного сімейства поверхонь.
З допомогою характеристики Г (г, G), як і в разі мероморфних функцій, визначається порядок зростання цілої кривої G (z) p і її нижній порядок зростання К.
Будемо говорити, що С гіпереліптичних або квазі-гіпереліптичних (скорочено будемо також писати (д) гіпереліптичних), якщо вона є цілою кривої над полем, причому її нормалізація С - або має рід нуль або один, або при деякому сепарабельном морфізма ступеня 2 відображається на раціональну криву.
отримане нерівність і завершує доказ леми 2.6. Тепер у нас є весь допоміжний матеріал для доказу основної теореми 2.3 що характеризує величину протягу цілої кривої.
Теорема 4.4. Нехай f (z) - п-значна алгеброідная при г Ф оо функція, Gf (z) - асоційована з нею ціла крива.
Описана аналогія не повинна, звичайно, затуляти і фізичного відмінності обох явищ: в разі фазового переходу другого роду ми маємо справу з цілою кривої точок переходу, що розділяє (в площині Р, Т) області існування двох фаз різної симетрії. Критична ж точка являє собою ізольовану точку (точку закінчення кривої рівноваги) на фазовій діаграмі двох фаз однакової симетрії.
Описана аналогія не повинна, звичайно, затуляти і фізичного відмінності обох явищ: в разі фазового переходу другого роду ми маємо справу з цілою кривої точок переходу, що розділяє (в площині РТ) областііснування двох фаз різної симетрії. Критична ж точка являє собою ізольовану точку (точку закінчення кривої рівноваги) на фазовій діаграмі двох фаз однакової симетрії.
Але там, де С перетинає чотиривимірний простір /С однорідних кубик, що виділяється умовою аЬс0 це перетин в типовому випадку буде відбуватися по цілій кривої; дійсно, в семімерном просторі перетинання двох чотиривимірних об'єктів повинно бути одномірним. Подивимося, як проходить ця крива D по /С.
Первинні оптичні осі, так само як і вторинні, лежать в площині ХГ і утворюють нормалі тих дотичних площин, які торкаються поверхні хвилі по цілій кривої. Кут між первинними оптичними осями згідно (283) біль - - х ше, ніж між вторинними. Крива торкання являє собою край описаної в кінці § 61 воронки, що зустрічає площину креслення в точках Л і В, а взагалі йде перпендикулярно до площини креслення.
В останні роки основні положення теорії розподілу значень і теорії зростання мероморфних функцій поширені на більш складні математичні об'єкти: цілі криві, л-значні алгеброідние функції, плюрі-субгармоніческіх функції, мінімальні поверхні, квазіконформне відображення і ін. Як і в разі мероморфних функцій, виділяємо три основних напрямки в вивченні асимптотичних властивостей цілих кривих.
У книзі викладено сучасний стан аналітичної теорії зростання і розподілу значень цілих кривих. Дано додаток теорії цілих кривих до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Так, як у вітчизняній математичної літературі відсутні роботи з аналітичної теорії цілих кривих і їх додатків, можна сподіватися, що дана монографія, що представляє собою продовження роботи[20], Заповнить цю прогалину.
У монографії розглянуті основи класичної теорії розподілу значень цілих кривих і сучасний стан цієї теорії. знайдена зв'язок між цілими кривими і п - значними алгеброіднимв функціями. Викладено застосування теорії цілих кривих і алгеброідних функцій до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь.
Чи не зменшуючи спільності, можна вважати, що Л0 містить більше р векторів. Так як G (z) - ціла крива з ю-лінійно залежними компонентами, то серед її компонент існує лише р-о лінійно незалежних компонент, а інші виражаються лінійно через ці лінійно незалежні компоненти.
В чолі 5 описані основи теорії зростання голоморфних кривих на комплексних компактних многовидах. Однак ми знаходимо кращим аналітичний підхід в теорії цілих кривих. Усюди в тексті /С означають не обов'язково рівні між собою абсолютні позитивні постійні, а букви З - позитивні постійні, залежні від розглянутих функцій. Якщо маються на увазі різні постійні, то вони забезпечені індексами.
З теореми 1.7 про зв'язок між характеристиками зростання і розподілу значень n - значних алгеброідних функцій і цілих кривих і з результатів даної глави безпосередньо випливають відповідні затвердження для n - значних алгеброідних функцій. Ці твердження будемо формулювати у вигляді теорем із зазначенням відповідного факту для цілих кривих, з якого вони слідують.
Теорія розподілу значень р-мірних цілих кривих розроблялася в середині 30 - х і на початку 40 - х років нашого століття в працях А. Після появи основопо лага праці впродовж 30 років були відсутні роботи по теорії цілих кривих.
Таким чином, приходимо до протиріччя з тим, що G (z) - ціла крива з со-лйнейно залежними компонентами.
Так як n - значні алгеброідние функції утворюють ширший клаві, ніж клас мероморфних функцій, то представляє ІНТЕРЕОМ вивчити характер росту і розподілу значень я-значньх алге-броідних рішень диференціальних рівнянь з тієї ж точки зору, е якій досліджуються мероморфних рішення диференціальних рівнянь. В цьому розділі, в одного боку, досліджуємо зростання і розподіл значень я-значних алгеброідних рішень диференціальних рівнянь, а з іншого боку-закономірність зростання цілих кривих, компоненти яких утворюють фундаментальну систему розв'язків лінійних диференціальних рівнянь з цілими коефіцієнтами.
У всякому разі, труднощі, пов'язані з цією відмінністю, значно менше, ніж труднощі безпосереднього дослідження фазових траєкторій в околиці не точки, а цілої кривої. На цьому і ґрунтується ефективність методу точкових відображень.
Це перш за все вивчення класичних характеристик розподілу значень, в яких дана крива збігається з заданим вектором. Такий характеристикою є значення неванлінновского дефекту. Іншим описом асимптотичної поведінки цілої кривої є характеристика швидкості її наближення до певного значення.
Аналогічно будемо говорити, що р-мірна ціла крива G (z) має екстремальне протяг щодо а. До має екстремальне протяг щодо (р - 1) - го вектора з деякою допустимої системи А. Довести, що для такої цілої кривої безліч DA (G) (відносно цієї ж допустимої системи А) містить не більше р векторів.
Якщо ж G (z) має кінцевий порядок зростання р, а порядок деякої компоненти gkn (z) нескінченний, то в цьому випадку можна вказати цілу функцію /i (z), для якої кожна з функцій ф (г) gk (z) exp h (z) має кінцевий порядок. Тому система функцій q (z) JUi є фундаментальною системою розв'язків рівняння виду (458) з поліноміальними коефіцієнтами. З точки зору зростання і розподілу значень цілі криві G (г)[gk ( z) nkl и Н ( z) ( Фл ( г) пм gk ( z) exp A ( z)) Li эквивалентные в том смысле, что их соответствующие характеристики роста и распределения значений совпадают.
В книге изложено современное состояние аналитической теории роста и распределения значений целых кривых. Дано приложение теории целых кривых к аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, как в отечественной математической литературе отсутствуют работы по аналитической теории целых кривых и их приложений, можно надеяться, что данная монография, представляющая собой продолжение работы[20], Заповнить цю прогалину.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідження властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Для загальних класів монотонних безперервних необмежених функцій піки Поліа першого роду були введені в 1965 р А. Йому належить поняття піків Полія другого роду для монотонних функцій. Багато асимптотичні властивості /7-мірних цілих кривих виводяться з відповідних властивостей піків Поліа їх характеристичних функцій.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідження властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Цілі криві нижнього порядку Х 0 5 мають ряд спеціальних властивостей в розподілі значень.
Для цілих кривих малого нижнього порядку величини позитивних відхилень мають ряд додаткових властивостей.
Нехай дана невироджена ціла крива]: С - Р і q п 2 гіперплоскостей D /с Р п в загальному положенні.
паралельно теорії цілих кривих будується теорія я-значних алгеброідних функцій.
Таким чином, ціла крива G (z) є відображення G: C - CP. Усюди далі будемо вважати, що хоча б дві компоненти G (z) функції gk (z) і gv (z) є лінійно незалежними цілими функціями.
Теорія розподілу значень цілих кривих знаходить також застосування при дослідженні властивостей рішень деяких функціональних рівнянь.
З властивостей величин протяжений цілих кривих слід ще таке властивість їх величин дефектів.
Неванлінни, а для цілих кривих нескінченного нижнього порядку величини позитивних відхилень мають свої спеціальними властивостями (див., Напр. Подальші міркування фактично повторюють випадок цілих кривих з лінійно незалежними компонентами. Використовуючи далі результати з теорії цілих кривих[24], Приходимо до такого висновку.
Слід підкреслити, що існування цілої кривої нерухомих точок РГ ще не означає автоматично, що різним нерухомим точкам цієї кривої будуть відповідати різні показники. Так, наприклад, в разі розглянутої вище лінійної РГ параметр з[см. (8.3), (8.8) ]може приймати довільні значення, в результаті чого ми будемо отримувати різні нерухомі точки, яким, проте, будуть Відповідати одні й ті ж показники.
К, 0 Л оо існує ціла крива G0 (z) нижнього порядку К, для якої безліч DBO (GO) містить рахунок-ве безліч векторів.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідженню властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Таким чином, зростання характеристичної функції цілої кривої і всіх її приєднаних кривих в істотному (якщо знехтувати безліччю кінцевої логарифмічною заходи і величинами порядку In Г (г)) однаковий.
Тоді фундаментальна система рішень рівнянь (429) являє собою трансцендентну цілу криву. Крім того, безліч //, 1 /п щ (г) ф 0 не зводиться до порожнього.
У монографії розглянуті основи класичної теорії розподілу значень цілих кривих і сучасний стан цієї теорії. Знайдена зв'язок між цілими кривими і п - значними алгеброіднимв функціями. викладено застосування теорії цілих кривих і алгеброідних функцій до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь.
G) 0) називається безліччю позитивних відхилень цілої кривої G (z) щодо фіксованої допустимої системи векторів А.
Теорема 3.7. Нехай G (z) - довільна р - мірна ціла крива.
У книзі викладено сучасний стан аналітичної теорії зростання і розподілу значень цілих кривих. Дано додаток теорії цілих кривих до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Так, як у вітчизняній математичної літературі відсутні роботи з аналітичної теорії цілих кривих і їх додатків, можна сподіватися, що дана монографія, що представляє собою продовження роботи[20], Заповнить цю прогалину.
Величину зі (a, G) також будемо називати протяжністю цілої кривої G (z) щодо вектора а.
З теореми 1.7 про зв'язок між характеристиками зростання і розподілу значень n - Значних алгеброідних функцій і цілих кривих і з результатів даної глави безпосередньо випливають відповідні затвердження для n - значних алгеброідних функцій. Ці твердження будемо формулювати у вигляді теорем із зазначенням відповідного факту для цілих кривих, з якого вони слідують.
Стало бути, тепер поверхню сімейства стосується обвідної, взагалі кажучи, в одній точці, а не вздовж цілої кривої, як це було у однопара-метричного сімейства поверхонь.
З допомогою характеристики Г (г, G), як і в разі мероморфних функцій, визначається порядок зростання цілої кривої G (z) p і її нижній порядок зростання К.
Будемо говорити, що С гіпереліптичних або квазі-гіпереліптичних (скорочено будемо також писати (д) гіпереліптичних), якщо вона є цілою кривої над полем, причому її нормалізація С - або має рід нуль або один, або при деякому сепарабельном морфізма ступеня 2 відображається на раціональну криву.
отримане нерівність і завершує доказ леми 2.6. Тепер у нас є весь допоміжний матеріал для доказу основної теореми 2.3 що характеризує величину протягу цілої кривої.
Теорема 4.4. Нехай f (z) - п-значна алгеброідная при г Ф оо функція, Gf (z) - асоційована з нею ціла крива.
Описана аналогія не повинна, звичайно, затуляти і фізичного відмінності обох явищ: в разі фазового переходу другого роду ми маємо справу з цілою кривої точок переходу, що розділяє (в площині Р, Т) області існування двох фаз різної симетрії. Критична ж точка являє собою ізольовану точку (точку закінчення кривої рівноваги) на фазовій діаграмі двох фаз однакової симетрії.
Описана аналогія не повинна, звичайно, затуляти і фізичного відмінності обох явищ: в разі фазового переходу другого роду ми маємо справу з цілою кривої точок переходу, що розділяє (в площині РТ) областііснування двох фаз різної симетрії. Критична ж точка являє собою ізольовану точку (точку закінчення кривої рівноваги) на фазовій діаграмі двох фаз однакової симетрії.
Але там, де С перетинає чотиривимірний простір /С однорідних кубик, що виділяється умовою аЬс0 це перетин в типовому випадку буде відбуватися по цілій кривої; дійсно, в семімерном просторі перетинання двох чотиривимірних об'єктів повинно бути одномірним. Подивимося, як проходить ця крива D по /С.
Первинні оптичні осі, так само як і вторинні, лежать в площині ХГ і утворюють нормалі тих дотичних площин, які торкаються поверхні хвилі по цілій кривої. Кут між первинними оптичними осями згідно (283) біль - - х ше, ніж між вторинними. Крива торкання являє собою край описаної в кінці § 61 воронки, що зустрічає площину креслення в точках Л і В, а взагалі йде перпендикулярно до площини креслення.
В останні роки основні положення теорії розподілу значень і теорії зростання мероморфних функцій поширені на більш складні математичні об'єкти: цілі криві, л-значні алгеброідние функції, плюрі-субгармоніческіх функції, мінімальні поверхні, квазіконформне відображення і ін. Як і в разі мероморфних функцій, виділяємо три основних напрямки в вивченні асимптотичних властивостей цілих кривих.
У книзі викладено сучасний стан аналітичної теорії зростання і розподілу значень цілих кривих. Дано додаток теорії цілих кривих до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь. Так, як у вітчизняній математичної літературі відсутні роботи з аналітичної теорії цілих кривих і їх додатків, можна сподіватися, що дана монографія, що представляє собою продовження роботи[20], Заповнить цю прогалину.
У монографії розглянуті основи класичної теорії розподілу значень цілих кривих і сучасний стан цієї теорії. знайдена зв'язок між цілими кривими і п - значними алгеброіднимв функціями. Викладено застосування теорії цілих кривих і алгеброідних функцій до аналітичної теорії звичайних диференціальних рівнянь.
Чи не зменшуючи спільності, можна вважати, що Л0 містить більше р векторів. Так як G (z) - ціла крива з ю-лінійно залежними компонентами, то серед її компонент існує лише р-о лінійно незалежних компонент, а інші виражаються лінійно через ці лінійно незалежні компоненти.
В чолі 5 описані основи теорії зростання голоморфних кривих на комплексних компактних многовидах. Однак ми знаходимо кращим аналітичний підхід в теорії цілих кривих. Усюди в тексті /С означають не обов'язково рівні між собою абсолютні позитивні постійні, а букви З - позитивні постійні, залежні від розглянутих функцій. Якщо маються на увазі різні постійні, то вони забезпечені індексами.
З теореми 1.7 про зв'язок між характеристиками зростання і розподілу значень n - значних алгеброідних функцій і цілих кривих і з результатів даної глави безпосередньо випливають відповідні затвердження для n - значних алгеброідних функцій. Ці твердження будемо формулювати у вигляді теорем із зазначенням відповідного факту для цілих кривих, з якого вони слідують.
Теорія розподілу значень р-мірних цілих кривих розроблялася в середині 30 - х і на початку 40 - х років нашого століття в працях А. Після появи основопо лага праці впродовж 30 років були відсутні роботи по теорії цілих кривих.
Таким чином, приходимо до протиріччя з тим, що G (z) - ціла крива з со-лйнейно залежними компонентами.
Так як n - значні алгеброідние функції утворюють ширший клаві, ніж клас мероморфних функцій, то представляє ІНТЕРЕОМ вивчити характер росту і розподілу значень я-значньх алге-броідних рішень диференціальних рівнянь з тієї ж точки зору, е якій досліджуються мероморфних рішення диференціальних рівнянь. В цьому розділі, в одного боку, досліджуємо зростання і розподіл значень я-значних алгеброідних рішень диференціальних рівнянь, а з іншого боку-закономірність зростання цілих кривих, компоненти яких утворюють фундаментальну систему розв'язків лінійних диференціальних рівнянь з цілими коефіцієнтами.
У всякому разі, труднощі, пов'язані з цією відмінністю, значно менше, ніж труднощі безпосереднього дослідження фазових траєкторій в околиці не точки, а цілої кривої. На цьому і ґрунтується ефективність методу точкових відображень.
Це перш за все вивчення класичних характеристик розподілу значень, в яких дана крива збігається з заданим вектором. Такий характеристикою є значення неванлінновского дефекту. Іншим описом асимптотичної поведінки цілої кривої є характеристика швидкості її наближення до певного значення.
Аналогічно будемо говорити, що р-мірна ціла крива G (z) має екстремальне протяг щодо а. До має екстремальне протяг щодо (р - 1) - го вектора з деякою допустимої системи А. Довести, що для такої цілої кривої безліч DA (G) (відносно цієї ж допустимої системи А) містить не більше р векторів.
Якщо ж G (z) має кінцевий порядок зростання р, а порядок деякої компоненти gkn (z) нескінченний, то в цьому випадку можна вказати цілу функцію /i (z), для якої кожна з функцій ф (г) gk (z) exp h (z) має кінцевий порядок. Тому система функцій q (z) JUi є фундаментальною системою розв'язків рівняння виду (458) з поліноміальними коефіцієнтами. З точки зору зростання і розподілу значень цілі криві G (г)[gk ( z) nkl и Н ( z) ( Фл ( г) пм gk ( z) exp A ( z)) Li эквивалентные в том смысле, что их соответствующие характеристики роста и распределения значений совпадают.
В книге изложено современное состояние аналитической теории роста и распределения значений целых кривых. Дано приложение теории целых кривых к аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, как в отечественной математической литературе отсутствуют работы по аналитической теории целых кривых и их приложений, можно надеяться, что данная монография, представляющая собой продолжение работы[20], Заповнить цю прогалину.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідження властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.
Для загальних класів монотонних безперервних необмежених функцій піки Поліа першого роду були введені в 1965 р А. Йому належить поняття піків Полія другого роду для монотонних функцій. Багато асимптотичні властивості /7-мірних цілих кривих виводяться з відповідних властивостей піків Поліа їх характеристичних функцій.
Нарешті, останній напрям асимптотичної поведінки цілої кривої - характеристика масивності тих множин, за допомогою яких здійснюється її наближення до даного значення. У разі мероморфних функцій відповідна характеристика була вперше введена в 1973 р А. Берн-Штейном[42]і названа протяжністю. У розділі 2 вводиться поняття протягу для цілої кривої, вивчені властивості протяжений. У розділі 5 застосовані отримані результати про протяжність до дослідження властивостей дефектів голоморфних кривих. Глава 4 містить в основному нові результати за додатком теорії цілих кривих до аналітичної теорії диференціальних рівнянь. Деякі результати публікуються вперше. Це відноситься до матеріалу про асимптотических властивості рішень лінійних диференціальних рівнянь з поліноміальними коефіцієнтами.