А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Функціонал Кастільяно
Функціонал Кастільяно у функціях напруг ЕК1 (г з) - найбільш зручна для розрахунків форма.
Функціонал Кастільяно в напружених Прим (о) отримано з функціоналу Лагранжа Ел 2 (і є) за наступною схемою (перетворення Фрідріхса, см. Гл. Інші різновиди функціоналу Кастільяно (табл. 4.2) можуть бути отримані з Прим (М, Т) за допомогою спільного рішення (129) рівнянь рівноваги (124) і заміни змінних в (М, Т) - е, ц (Л1 7) ц або перетворенням Фрідріхса з функціоналів Лагранжа (таб. Кілька зв'язкових ділянок поверхні зі статичними граничними умовами, а одинзв'язного пружне тіло А (з верхній і нижній гранях задані напруги, бічні грані складають зв'язний ділянку поверхні із заданими переміщеннями, В - абсолютно жорстке тіло. б просторово-многосвязной пружне тіло (тіло з порожниною. Здавалося б, функціонал Кастільяно повинен мати, як і в аналогічній задачі теорії оболонок (§ 2.3 а), специфічні умови стаціонарності, які погоджували б значення довільних функцій на різних ділянках.
Функціонал (4249) називається функціоналом Кастільяно; звичайним чином доводиться, що його стаціонарне значення є максимум і цей максимум единствен.
Функціонал (876) називається функціоналом Кастільяно. При варіюванні цього функціоналу необхідно мати на увазі, що рівняння (841) і граничні умови (846) передбачаються виконаними.
Все функціонали Лагранжа в точці стаціонарності мають мінімум, функціонали Кастільяно - максимум.
Як видно з табл. 3.2 умови стаціонарності різних варіантів функціоналу Кастільяно - рівняння нерозривності в обсязі і деформаційні граничні умови на поверхні.
Граничні умови для оболонки, при яких на ділянках із заданими зусиллями можуть бути визначені функції напружень, а Різниця функцій напружень в точках А і В визначається головним вектором і головним моментом зовнішніх сил, прикладених до підкріпленому ділянці ЛВ. б різницю функцій напружень в точках А і В визначається з умов рівноваги і симетрії. Рівняння нерозривності контуру отвору були виведені авторами[5.3]в якості умов стаціонарності функціоналу Кастільяно.
Функціонал Елз (е) легко перетворюється в повний функціонал ЕПЗ (е, р) і функціонал Кастільяно ЕК1 (ф) у функціях напружень, які можна отримати і з Ед2 або Ел4 але обхідним шляхом.
Рівняння рівноваги (1.6) має й інші спільні рішення[3.3, 3.9], Які можуть служити основою для інших різновидів функціоналу Кастільяно у функціях напружень.
Звідси випливає, що всі варіанти функціоналу Лагранжа в точці стаціонарності мають умовний мінімум, а всі варіанти функціоналу Кастільяно - умовний максимум. Умовна екстремальність функціоналів Зл4 і ЗК4 слід, з того, що вони отримані відповідно з Ел і з ЗКА заміною змінних.
Наприклад, для багатозв'язних оболонок зі статичними граничними умовами необхідно враховувати рівняння нерозривності контуру, які є умовами-стаціонарності функціоналу Кастільяно і додатковими умовами - для функціоналу Лагранжа.
Функціонал (20) легко отримати з (18) за допомогою перетворення Фрідріхса (так само, як функціонал Кастільяно з Лагранжа, гл. Висловивши ці константи через величини if, в і варіюючи останні, можна виявити, що серед умов стаціонарності функціоналу Кастільяно є рівняння нерозривності контуру виду (15), де деформації повинні бути виражені через зусилля або функції напружень.
Лагранжа, крім 3Л4 (і, в, ц, Т, М), опуклі вниз, а всі різновиди функціоналу Кастільяно (табл. 4.2), крім ЗК 4 (С, М, Т, ц, в) опуклі вгору, функціонали 3Л4 і ЗК4 не опуклі ні вниз, ні вгору.
Рівності (16) і (17) показують, що при використанні кожного із загальних рішень Максвелла або Морера умовами стаціонарності функціоналу Кастільяно є різні системи з трьох рівнянь нерозривності і відповідних деформаційних граничних умов. Використання інших загальних рішень призводить до невідповідності між варіаційної і диференціальної формулюваннями завдання[5.3]; це питання потребує подальшого дослідження.
Величина 5К, що дорівнює сумі додаткової енергії деформації тіла і потенціалу реактивних сил на поверхні 5 що відчуває примусові переміщення, називається функціоналом Кастільяно або додатковою енергією деформованого тіла.
При перетворенні Фрідріхса (12) додаткові умови (геометричні рівняння) і умови стаціонарності (статичні рівняння) функціоналу Лагранжа переходять відповідно до умов стаціонарності і додаткові умови функціоналу Кастільяно. Фрідріхса, і § 3.2 в, в якому міститься аналогічна схема для функціоналів Лагранжа в деформаціях і Кастільяно у функціях напружень.
Два зв'язкових ділянки контуру оболонки з заданими. Нижче ми побачимо, що особливі властивості про - - просторово-багатозв'язних тіл пов'язані з рівняннями рівноваги н умовами стаціонарності функціоналу Лаграіжа, а по-поверхнево-багатозв'язних - з рівняннями нерозривності і умовами стаціонарності функціоналу Кастільяно.
Наприклад, для завдання розрахунку оболонки з чисто статичними граничними умовами функціонал Лагранжа Ел (і), представлений в табл. 4.1 не має додаткових умов; для цієї ж завдання функціонал Кастільяно Зк яр) не має контурного інтеграла, але має додаткові умови, зазначені в табл. 4.2; а статико-геометричний аналог даного функціоналу Лагранжа, який має контурний інтеграл і не має додаткових умов, відноситься до задачі розрахунку оболонки з чисто геометричними граничними умовами.
Інший приклад дають завдання розрахунку багатозв'язних оболонок, розібрані в гл. Функціонал Кастільяно для многосвязной оболонки при статичних граничних умовах має в якості однієї з умов стаціонарності рівняння нерозривності контуру отвору; його аналог - функціонал Лагранжа - має в якості умов стаціонарності рівняння рівноваги контуру отвору, але для задачі з деформаційними граничними умовами. Цей приклад показує, що варіаційна форма статико-геометричної аналогії дозволяє глибше побачити зв'язок рівнянь і знайти її між співвідношеннями, які раніше здавалися непов'язаними.
Принцип Кастільяно в інтегральної формі висловлює умови спільності деформацій тіла. Якщо функціонал Кастільяно висловити тільки через напруги Ек Ек (а), то відповідають йому рівняння Ейлера дадуть для постійних об'ємних сил вже знайомі нам рівняння Бельтрамі (242) - умови спільності деформацій, виражені через напруги.
З різних варіантів функціоналів Кастільяно можна отримати повні функціонали, аналогічні табл. 3.4 умови стаціонарності яких включають відсутність статичних і кінематичних розривів на поверхні D і які тут не наводяться.
Кастільяно ЕК) - ЗКЗ, Ец5 Ем на підставі § 3 гл. Функціонал Е м, отриманий з неопуклого варіанту функціоналу Кастільяно ЕК4 має в точці стаціонарності максимин, але не міні-макс, що відповідає § 3 гл.
Функціонали ЕК1 ЕК4 виражені через всі компоненти використовуваних тензорів ф л, е і представлені в тензорною формі. У декартовій і деяких інших системах координат існують різновиди функціоналу Кастільяно, в яких аргументами є не всі, а лише частина компонентів тензорів функцій напружень, напруг і деформацій.
У разі многосвязной оболонки (рис. 536), коли обидва кінці навантаженого ділянки збігаються, К і Е є задані дисторсии. При відсутності дисторсии К0 Е О, і функціонал Кастільяно не відрізняється за виглядом від табл. 4.2. Але наведене міркування показує, що величини 1 з, 6 (все одно потрібно варіювати, і в результаті виходять однорідні рівняння нерозривності контуру. . Щоб пояснити подібне явище, слід знову звернутися до варіаційної формулюванні стандартної гібридної моделі. Як у помин їв вісь в попередньому параграфі, вихідний функціонал (2.8) є звичайний функціонал Кастільяно.
Звернення в нуль першої варіації функціоналу означає лише, що функціонал приймає стаціонарне значення, яке може бути максимальним або мінімальним або ні тим ні іншим. Однак принципи Лагранжа і Кастільяно екстремальні: функціонал Лагранжа при 5JL 0 набуває максимального значення, а функціонал Кастільяно - мінімальне.
Функціонал Кастільяно в напружених Прим (о) отримано з функціоналу Лагранжа Ел 2 (і є) за наступною схемою (перетворення Фрідріхса, см. Гл. Інші різновиди функціоналу Кастільяно (табл. 4.2) можуть бути отримані з Прим (М, Т) за допомогою спільного рішення (129) рівнянь рівноваги (124) і заміни змінних в (М, Т) - е, ц (Л1 7) ц або перетворенням Фрідріхса з функціоналів Лагранжа (таб. Кілька зв'язкових ділянок поверхні зі статичними граничними умовами, а одинзв'язного пружне тіло А (з верхній і нижній гранях задані напруги, бічні грані складають зв'язний ділянку поверхні із заданими переміщеннями, В - абсолютно жорстке тіло. б просторово-многосвязной пружне тіло (тіло з порожниною. Здавалося б, функціонал Кастільяно повинен мати, як і в аналогічній задачі теорії оболонок (§ 2.3 а), специфічні умови стаціонарності, які погоджували б значення довільних функцій на різних ділянках.
Функціонал (4249) називається функціоналом Кастільяно; звичайним чином доводиться, що його стаціонарне значення є максимум і цей максимум единствен.
Функціонал (876) називається функціоналом Кастільяно. При варіюванні цього функціоналу необхідно мати на увазі, що рівняння (841) і граничні умови (846) передбачаються виконаними.
Все функціонали Лагранжа в точці стаціонарності мають мінімум, функціонали Кастільяно - максимум.
Як видно з табл. 3.2 умови стаціонарності різних варіантів функціоналу Кастільяно - рівняння нерозривності в обсязі і деформаційні граничні умови на поверхні.
Граничні умови для оболонки, при яких на ділянках із заданими зусиллями можуть бути визначені функції напружень, а Різниця функцій напружень в точках А і В визначається головним вектором і головним моментом зовнішніх сил, прикладених до підкріпленому ділянці ЛВ. б різницю функцій напружень в точках А і В визначається з умов рівноваги і симетрії. Рівняння нерозривності контуру отвору були виведені авторами[5.3]в якості умов стаціонарності функціоналу Кастільяно.
Функціонал Елз (е) легко перетворюється в повний функціонал ЕПЗ (е, р) і функціонал Кастільяно ЕК1 (ф) у функціях напружень, які можна отримати і з Ед2 або Ел4 але обхідним шляхом.
Рівняння рівноваги (1.6) має й інші спільні рішення[3.3, 3.9], Які можуть служити основою для інших різновидів функціоналу Кастільяно у функціях напружень.
Звідси випливає, що всі варіанти функціоналу Лагранжа в точці стаціонарності мають умовний мінімум, а всі варіанти функціоналу Кастільяно - умовний максимум. Умовна екстремальність функціоналів Зл4 і ЗК4 слід, з того, що вони отримані відповідно з Ел і з ЗКА заміною змінних.
Наприклад, для багатозв'язних оболонок зі статичними граничними умовами необхідно враховувати рівняння нерозривності контуру, які є умовами-стаціонарності функціоналу Кастільяно і додатковими умовами - для функціоналу Лагранжа.
Функціонал (20) легко отримати з (18) за допомогою перетворення Фрідріхса (так само, як функціонал Кастільяно з Лагранжа, гл. Висловивши ці константи через величини if, в і варіюючи останні, можна виявити, що серед умов стаціонарності функціоналу Кастільяно є рівняння нерозривності контуру виду (15), де деформації повинні бути виражені через зусилля або функції напружень.
Лагранжа, крім 3Л4 (і, в, ц, Т, М), опуклі вниз, а всі різновиди функціоналу Кастільяно (табл. 4.2), крім ЗК 4 (С, М, Т, ц, в) опуклі вгору, функціонали 3Л4 і ЗК4 не опуклі ні вниз, ні вгору.
Рівності (16) і (17) показують, що при використанні кожного із загальних рішень Максвелла або Морера умовами стаціонарності функціоналу Кастільяно є різні системи з трьох рівнянь нерозривності і відповідних деформаційних граничних умов. Використання інших загальних рішень призводить до невідповідності між варіаційної і диференціальної формулюваннями завдання[5.3]; це питання потребує подальшого дослідження.
Величина 5К, що дорівнює сумі додаткової енергії деформації тіла і потенціалу реактивних сил на поверхні 5 що відчуває примусові переміщення, називається функціоналом Кастільяно або додатковою енергією деформованого тіла.
При перетворенні Фрідріхса (12) додаткові умови (геометричні рівняння) і умови стаціонарності (статичні рівняння) функціоналу Лагранжа переходять відповідно до умов стаціонарності і додаткові умови функціоналу Кастільяно. Фрідріхса, і § 3.2 в, в якому міститься аналогічна схема для функціоналів Лагранжа в деформаціях і Кастільяно у функціях напружень.
Два зв'язкових ділянки контуру оболонки з заданими. Нижче ми побачимо, що особливі властивості про - - просторово-багатозв'язних тіл пов'язані з рівняннями рівноваги н умовами стаціонарності функціоналу Лаграіжа, а по-поверхнево-багатозв'язних - з рівняннями нерозривності і умовами стаціонарності функціоналу Кастільяно.
Наприклад, для завдання розрахунку оболонки з чисто статичними граничними умовами функціонал Лагранжа Ел (і), представлений в табл. 4.1 не має додаткових умов; для цієї ж завдання функціонал Кастільяно Зк яр) не має контурного інтеграла, але має додаткові умови, зазначені в табл. 4.2; а статико-геометричний аналог даного функціоналу Лагранжа, який має контурний інтеграл і не має додаткових умов, відноситься до задачі розрахунку оболонки з чисто геометричними граничними умовами.
Інший приклад дають завдання розрахунку багатозв'язних оболонок, розібрані в гл. Функціонал Кастільяно для многосвязной оболонки при статичних граничних умовах має в якості однієї з умов стаціонарності рівняння нерозривності контуру отвору; його аналог - функціонал Лагранжа - має в якості умов стаціонарності рівняння рівноваги контуру отвору, але для задачі з деформаційними граничними умовами. Цей приклад показує, що варіаційна форма статико-геометричної аналогії дозволяє глибше побачити зв'язок рівнянь і знайти її між співвідношеннями, які раніше здавалися непов'язаними.
Принцип Кастільяно в інтегральної формі висловлює умови спільності деформацій тіла. Якщо функціонал Кастільяно висловити тільки через напруги Ек Ек (а), то відповідають йому рівняння Ейлера дадуть для постійних об'ємних сил вже знайомі нам рівняння Бельтрамі (242) - умови спільності деформацій, виражені через напруги.
З різних варіантів функціоналів Кастільяно можна отримати повні функціонали, аналогічні табл. 3.4 умови стаціонарності яких включають відсутність статичних і кінематичних розривів на поверхні D і які тут не наводяться.
Кастільяно ЕК) - ЗКЗ, Ец5 Ем на підставі § 3 гл. Функціонал Е м, отриманий з неопуклого варіанту функціоналу Кастільяно ЕК4 має в точці стаціонарності максимин, але не міні-макс, що відповідає § 3 гл.
Функціонали ЕК1 ЕК4 виражені через всі компоненти використовуваних тензорів ф л, е і представлені в тензорною формі. У декартовій і деяких інших системах координат існують різновиди функціоналу Кастільяно, в яких аргументами є не всі, а лише частина компонентів тензорів функцій напружень, напруг і деформацій.
У разі многосвязной оболонки (рис. 536), коли обидва кінці навантаженого ділянки збігаються, К і Е є задані дисторсии. При відсутності дисторсии К0 Е О, і функціонал Кастільяно не відрізняється за виглядом від табл. 4.2. Але наведене міркування показує, що величини 1 з, 6 (все одно потрібно варіювати, і в результаті виходять однорідні рівняння нерозривності контуру. . Щоб пояснити подібне явище, слід знову звернутися до варіаційної формулюванні стандартної гібридної моделі. Як у помин їв вісь в попередньому параграфі, вихідний функціонал (2.8) є звичайний функціонал Кастільяно.
Звернення в нуль першої варіації функціоналу означає лише, що функціонал приймає стаціонарне значення, яке може бути максимальним або мінімальним або ні тим ні іншим. Однак принципи Лагранжа і Кастільяно екстремальні: функціонал Лагранжа при 5JL 0 набуває максимального значення, а функціонал Кастільяно - мінімальне.