А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Фільтроване твір

Фільтроване твір /- prod § t - називається декартовим або прямим твором систем Я /, i е /, Дамо незалежне визначення для цього важливого окремого випадку.

Потужність фільтрованої твори нескінченна, якщо для кожного натурального і число співмножників потужності п звичайно. Якщо для кожного натурального п безліч тих індексів, для яких брало відповідний співмножник має потужність л, не належить D, то потужність ультрапроізведенія по неголовних ультрафільтри D на рахунковому безлічі /дорівнює континууму.

ТЕОРЕМА 634. Фільтровані твори, Фільтровані ступеня, прямі твори і прямі мірою зберігають елементарну еквівалентність.

Загальна конструкція фільтрованої твори була введена Лосем[1955а ], І в цій же статті була доведена основна теорема. Фрейн, Морел, Скотт і Тарський довели в термінах ультрапроізведеній теорему компактності, ввели поняття природного вкладення і встановили ряд інших основних фактів. Книга Белла і Сломсона[1969]викладає ту частину теорії моделей, яку можна отримати, використовуючи лише конструкцію ультрапроізведенія.

Прямі твори, Фільтровані твори і ультрапроізведенія - всі вони грають важливу роль в теорії моделей. Фільтровані твори вивчалися Фрейн, Море-лом і Скоттом[1962]; деякі з основних ідей сягають також до Чзну, Лося[1955а ]і Тарського. Той факт, що Хорнов-ські пропозиції стійкі щодо прямих творів, був доведений Хорном[1951], А їх стійкість щодо фільтрованих творів доведена Ченом. Зворотний результат, що пропозиції, стійкі щодо фільтрованих творів, еквівалентні хорновскім пропозицій, був доведений Кейслер[1965d ]в припущенні континуум-гіпотези.

Довести, що фільтроване твір предупорядо-чинних множин предупорядочено.

Довести, що фільтроване твір частково впорядкованих множин частково впорядковано.

Показати, що фільтроване твір частково впорядкованих множин є частково впорядкованим безліччю.

Цим визначена конструкція фільтрованих творів. Якщо С - ультрафільтр, то отримуємо ультрапроізведеніе.

ХГ замкнутий щодо фільтрованих творів Г - автоматів. Отже, ХГ є квазімногообразіе Г - автоматів.

Довести, що будь-який фільтроване твір нескінченних систем нескінченно.

Тоді ф стійко щодо фільтрованих творів, якщо і тільки якщо воно еквівалентно хорновскому пропозицією.

Пропозиція ф стійко щодо фільтрованих творів тоді і тільки тоді, коли воно стійко щодо кінцевих прямих творів і стійко щодо фільтрованих ступенів.

Пропозиція ср стійко щодо фільтрованих творів тоді і тільки тоді, коли воно еквівалентно хорновскому пропозицією.

Доведіть, що в фільтрованому творі нормальних інтерпретацій функції і предикати коректні стосовно рівності (тобто збігу майже всюди): при заміні аргументів на рівні значення функції збігається з колишнім майже всюди, а значення предиката не змінюється.

Тепер ми готові ввести поняття фільтрованої твори і ультрапроізведенія. Друге з них являє собою просто окремий випадок першого. Спочатку ми застосуємо відповідні конструкції до множинам, а потім - до моделям.

У § 2 за допомогою фільтрованих творів для квазімногообразій встановлюються структурні характеристики і формули, в якійсь мірі аналогічні відомим в теорії різноманіть алгебр.

Кожне хорновское пропозицію стійко щодо фільтрованих творів.

Аналогічний результат трохи менше тривіально встановлюється для фільтрованих творів (а також для ультрапроізведеній), і ми встановимо його більш акуратно нижче, віднісши більшу частину цього докази в вправи. Цю тему ми обговоримо докладніше на початку розд.

Ми говоримо, що пропозиція ер стійко щодо фільтрованих творів, якщо воно зберігає істинність при взятті фільтрованих творів моделей. Аналогічно визначаються пропозиції, стійкі щодо фільтрованих ступенів, щодо кінцевих прямих ступенів і так далі.

Той факт, що хорновскіе пропозиції стійкі щодо фільтрованих творів, був доведений в реченні 622 і в доказі була використана континуум-гіпотеза. Припустимо тепер, що пропозиція ф стійко щодо фільтрованих творів. Якщо ф суперечливо, то воно еквівалентно хорновскому пропозицією (V. Так як ми маємо справу з однією пропозицією ф, то ми можемо припустити, що мова X рахунок. Говоримо, що клас /С замкнутий щодо фільтрованих творів по фільтру D, якщо для будь-якого безлічі 9l, te /систем з класу К маємо D-prod 91 - е К. С (Ф) замкнутий щодо будь-яких декартових творів. В силу пропозиції 1 і вправи 16.2 /С (Ф) для атомарної формули Ф Замкнутий також щодо всіх фільтрованих творів. Як буде показано в подальшому, це вірно не тільки для атомарних формул.

До числа найважливіших операцій відносяться гомоморфізми, прямі і Фільтровані твори.

Ми вже згадували, що аналогічний результат вірний для фільтрованих творів. Бенда і Шелах[1972]довели наступне.

Це суперечить тому факту, що ср стійко щодо фільтрованих творів, a 6fe - атом, що не міститься в пор.

Звідси, в силу 626 пропозиція ф стійко щодо фільтрованих творів.

Творемл 6318. Будь-яка пропозиція ф еквівалентно булевої комбінації пропозицій, стійких щодо фільтрованих творів.
 Доказ, (i) Припустимо спочатку, що ф стійко щодо фільтрованих творів.

У цьому місці нам потрібні деякі загальні комбінаторні леми про прямих і фільтрованих творах.

Доведіть аналог теореми 625 для елементарних класів: елементарний клас До замкнутий щодо фільтрованих творів тоді і тільки тоді, коли він є класом всіх моделей деякого безлічі хорновскіх пропозицій.

Так як Фільтровані ступеня, прямі твори і прямі ступеня є окремими випадками фільтрованої твори, то пропозиція доведено.

S, такі, що if s ф і пропозиція if стійко щодо фільтрованих творів. Нехай if - диз'юнкція таких атомів; тоді if стійко щодо фільтрованих творів і т sC if, так як фільтроване твір фільтрованих творів атома т - знову фільтроване твір т (див. упр.

Клас автоматів є квазімногообразіем тоді і тільки тоді, коли він замкнутий щодо фільтрованих творів, спадковими і містить одиничний автомат.

Наступна пропозиція містить по суті всі, що нам потрібно знати про комбінаціях фільтрованих творів.

Автомат А1р (А /р1 Г, В /р 3) називається фільтрованим твором Г - автоматів. Для квазімногообразій Г - автоматів справедлива теорема, аналогічна теоремі 15.1: клас Г - автоматів є Г - квазімногообразіем тоді і тільки тоді, коли він замкнутий щодо фільтрованих творів, містить одиничний Г - автомат і спадковими по Г - підавтомат.

Розглянувши докази леми 624 і теореми 625 виведіть, що пропозиція ср стійко щодо фільтрованих творів з рахунковим безліччю індексів тоді і тільки тоді, коли воно стійко щодо довільних фільтрованих творів.

Ми говоримо, що пропозиція ер стійко щодо фільтрованих творів, якщо воно зберігає істинність при взятті фільтрованих творів моделей. Аналогічно визначаються пропозиції, стійкі щодо фільтрованих ступенів, щодо кінцевих прямих ступенів і так далі.

Пропозиція ф стійко щодо фільтрованих ступенів тоді і тільки тоді, коли воно еквівалентно диз'юнкції пропозицій, стійких щодо фільтрованих творів.

Отже, т з р2 і j p2 - Цим доведено, що автомат А точний, а значить, що X замкнуто щодо фільтрованих творів.

Продовжуючи наші дослідження в тому ж напрямку і застосовуючи аналогічні методи, ми покажемо, що кожне речення мови X еквівалентно булевої комбінації пропозицій, стійких щодо фільтрованих творів. Зауважимо, що за теоремою 639 (iii) нам досить показати, що кожне речення еквівалентно булевої комбінації пропозицій, стійких щодо фільтрованих ступенів.

Розглянувши докази леми 624 і теореми 625 виведіть, що пропозиція ср стійко щодо фільтрованих творів з рахунковим безліччю індексів тоді і тільки тоді, коли воно стійко щодо довільних фільтрованих творів.

Прямі твори, Фільтровані твори і ультрапроізведенія - всі вони грають важливу роль в теорії моделей. Фільтровані твори вивчалися Фрейн, Море-лом і Скоттом[1962]; деякі з основних ідей сягають також до Чзну, Лося[1955а ]і Тарського. Той факт, що Хорнов-ські пропозиції стійкі щодо прямих творів, був доведений Хорном[1951], А їх стійкість щодо фільтрованих творів доведена Ченом. Зворотний результат, що пропозиції, стійкі щодо фільтрованих творів, еквівалентні хорновскім пропозицій, був доведений Кейслер[1965d ]в припущенні континуум-гіпотези.

Квазімногообразіе Г - автоматів ф-квазімногообразіе) - це клас Г - автоматів, що задовольняє деякому набору Г - Квазітотожність. Визначимо фільтроване твір Г - автоматів.

Наступні два пропозиції пов'язані з поняттям ультрапроізведенія алгебраїчних систем. Ультрапроізведенія є окремим випадком фільтрованих творів, і для алгебр ці поняття вже розглядалися в гл. Перейдемо до загального випадку, і зі зрозумілих причин ми міняємо зараз позначення в порівнянні з гл.

Спадковість класу X задана в умові. Залишається перевірити замкнутість X по фільтрованим творів.

Для всіх названих типів класів є інваріантні характеристики типу тієї, що для різноманіть дається теоремою Біркгофа. У цих характеристиках використовується важлива конструкція фільтрованих творів алгебр, до якої зараз переходимо.

Якщо Я - довільний (не обов'язково абстрактний) клас Q-систем, то найменше серед квазімногообразій, що містять Я, наз. Воно складається з підсистем ізоморфних копій фільтрованих творів Q-систем з класу[) Е, де Е - одинична Q-система.

Той факт, що хорновскіе пропозиції стійкі щодо фільтрованих творів, був доведений в реченні 622 і в доказі була використана континуум-гіпотеза. Припустимо тепер, що пропозиція ф стійко щодо фільтрованих творів. Якщо ф суперечливо, то воно еквівалентно хорновскому пропозицією (V. Так як ми маємо справу з однією пропозицією ф, то ми можемо припустити, що мова X рахунок. Виникають дві природні проблеми стійкості: які пропозиції стійкі щодо фільтрованих творів і які пропозиції стійкі щодо прямих творів. наступний приклад показує, що ці два питання мають різні відповіді.

Наш наступний результат являє собою основну теорему про ультрапроізведеніях. Вона справедлива лише для ультрапроізведеній, а не для довільних фільтрованих творів.