А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Топологічний тіло

Топологічний тіло до нормованих тоді і тільки тоді, коли безліч його топологічно нильпотентних елементів відкрито і обмежена праворуч, а при множенні топологічно нильпотентних або нейтрального елемента на топологічно нильпотентних виходить топологічно нільпотентний елемент.

Існують топологічні тіла, поповнення яких містить дільник нуля. Фільтр gf на топологічному тілі називається лівим[правым ] мультиплікативний фільтром Коші, якщо для будь-який околиці U одиниці тіла D знайдеться таку підмножину А е, що Про ф А і х - ly e U[xy-l e U ]для всіх х, у е А.

Існують топологічні тіла, поповнення яких містить дільник нуля. Фільтр gf на топологічному тілі називається лівим[правым ]мультиплікативний фільтром Коші, якщо для будь-який околиці U одиниці тіла D знайдеться таку підмножину А е 3f, що Про ф А і x - ly e U[xy-l U ]для всіх х, у е А.

Будь-яке віддільного топологічний тіло До може бути розглянуто як усюди щільне подкольцо повного віддільного кільця К; але До може володіти делителями нуля. Для того щоб До було топологічним тілом, необхідно і достатньо, щоб при відображенні х - х 1 образ кожного фільтра Коші з К (щодо адитивної структури), що не має 0 своєю точкою дотику, також був фільтром Коші в К.

У топологічному тілі До замикання безлічі, що складається з одного елемента 0 є, по пропозицією 5 двостороннім ідеалом, отже, є або безліч 0 або все тіло К; іншими словами, якщо топологія в А не є найслабшою (гл.

У топологічному тілі До рівномірна структура його адитивної групи називається адитивною рівномірною структурою тіла До; права і ліва рівномірні структури мультипликативной групи К, певні в K t називають, допускаючи вільність мови, мультиплікативними рівномірними структурами тіла К.

Всі властивості топологічних тел, встановлені в § 6 глави III, зрозуміло, можуть бути застосовані; зокрема, ВСЯКАЯ раціональна функція п дійсних змінних з речовими коефіцієнтами неперервна в кожній точці з Rn, де її знаменник не дорівнює нулю.

Якщо в довільному топологічному тілі До покласти[0 0 и x - i для всех х Ф 0, то этим па К определится абсолютное значение, называемое несобственным; топология, определяемая им в К, дискретна. Обратно, абсолютное значение на Kt определяющее в К дискретную топологию, есть несобственное абсолютное значение.
По предложению 6 отделимое топологическое тело К можно рассматривать как всюду плотное подколъцо полного отделимого кольца К. Для того чтобы К было топологическим телом, необходимо, чтобы отображение х - зг1 могло быть продолжено по непрерывности на ( К); это условие является также достаточным, ибо при его выполнении функции яаг1, х - 1х и 1 совпадают на ( К) х ( К) по принципу продолжения тождеств, а это доказывает, что при любом х 0 значение продолженной функции является как раз обратным к х на К.
Если К - недискретное отделимое топологическое тело, то каждая из его мультипликативных равномерных структур несравнима с равномерной структурой, индуцируемой в А из К.
Пусть S - некоторое топологическое тело, которое удовлетворяет первой аксиоме отделимости.
Если аддитивная равномерная структура коммутативного топологического тела К есть структура полного отделимого пространства, то мультипликативная структура в К есть структура полного пространства.
Как и во всяком топологическом теле, всякая рациональная функция п комплексных переменных с комплексными коэффициентами непрерывна в каждой точке пространства С, в которой знаменатель этой функции отличен от нуля.
С и, таким образом, С есть топологическое тело. Модуль г есть евклидова норма К. С, наделенное этой нормой, есть комплексное одномерное евклидово пространство, называемое также плоскостью комплексного переменного С.
Определение 4 показывает, что топология, индуцируемая иэ топологического тела К в мультипликативной группе К, согласуется со структурой этой группы.

Первой по времени является важная работа Л. С. Понтрягина[1]про топологічних тілах. У цій роботі доведена наступна основна теорема: всяке чіткий локально-компактне топологічний тіло з другої аксіомою счетності ізоморфно або полю речових, чисел, або полю комплексних, чисел, або тілу кватерніонів.

Дискретна топологія в тілі До узгоджується зі структурою тіла; топологічний тіло з дискретної топологією називається дискретним тілом.

Крім того, коли кільце К, отримане шляхом поповнення топологічного тіла К, є топологічне тіло, апріорі немає гарантії, що мультиплікативні структури в До є структурами повного простору.

Нехай Е - топологічний простір і /- його відображення в топологічний тіло К; якщо /безперервно в точці х0 6 Е і /(я0) ф О, то /1 безперервно в хй. Зокрема, якщо До коммутативно, то будь-яка раціональна функція п змінних з коефіцієнтами з До неперервна в будь-якій точці твори Кп, в якій знаменник функції відмінний від нуля.

Нехай тепер виконана аксіома SK - Ми покажемо, що S вкладається в повне топологічний тіло.

Отже, поряд з R і С ми отримали ще третій приклад зв'язкового-локально компактного топологічного тіла; можна показати, що це - єдині топологічні тіла, що володіють зазначеними двома властивостями (Коммутат.

Крім того, коли кільце К, отримане шляхом поповнення топологічного тіла К, є топологічне тіло, апріорі немає гарантії, що мультиплікативні структури в До є структурами повного простору .

Отже, поряд з R і с ми отримали ще третій приклад зв'язкового-локально компактного топологічного тіла; можна показати, що це - єдині топологічні тіла, що володіють зазначеними двома властивостями (Коммутат.

Тим самим, наділяючи безліч З цієї топологією і структурою тіла, визначеною вище (визначення 1), ми отримуємо в С структуру топологічного тіла (гл.

Попередні визначення і пропозиції (за винятком тих, які відносяться до правим і лівим похідним) легко переносяться на випадок, коли замість R береться довільне коммутативное топологічний тіло к, а замість топологічних векторних просторів (відповідно топологічних алгебр) над тілом R - топологічні векторні простори (відповідно топологічні алгебри) над тілом К. Пропозиція 5 узагальнюється наступним чином: нехай К - подтело топологічного тіла К, Е - топологічний векторний простір над тілом К; нехай функція /, певна в околиці VC.

Іншими словами, потрібно, щоб операція взяття зворотного також була неперервна. Топологічний тіло[кольцо ]називається нормованих, якщо на ньому можна задати норму так, що топологія, що виникає в силу пропозиції 8 (а), збігається з вихідною.

Існують топологічні тіла, поповнення яких містить дільник нуля. Фільтр gf на топологічному тілі називається лівим[правым ]мультиплікативний фільтром Коші, якщо для будь-який околиці U одиниці тіла D знайдеться таку підмножину А е, що Про ф А і х - ly e U[xy-l e U ]для всіх х, у е А.

Існують топологічні тіла, поповнення яких містить дільник нуля. Фільтр gf на топологічному тілі називається лівим[правым ]мультиплікативний фільтром Коші, якщо для будь-який околиці U одиниці тіла D знайдеться таку підмножину А е 3f, що Про ф А і x - ly e U[xy-l U ]для всіх х, у е А.

За пропозицією 6 віддільного топологічний тіло До можна розглядати як усюди щільне подкол'цо повного віддільного кільця К. Для того щоб До було топологічним тілом, необхідно, щоб відображення х - зг1 могло бути продовжено за безперервності на (К); ця умова є також достатньою, бо при його виконанні функції яаг1 х - 1х і 1 збігаються на (К) х (К) за принципом продовження тотожностей, а це доводить, що при будь-якому х 0 значення продовженої функції є якраз зворотним до х на К.

Будь-яке віддільного топологічний тіло До може бути розглянуто як усюди щільне подкольцо повного віддільного кільця К; але До може володіти делителями нуля. Для того щоб До було топологічним тілом, необхідно і досить, щоб при відображенні х - х 1 образ кожного фільтра Коші з К (щодо адитивної структури), що не має 0 своєю точкою дотику, також був фільтром Коші в К.

Тіло D, що є топологічним кільцем, виявляється топологічним тілом тоді і тільки тоді, коли воно має таку базою околиць нуля So, що для будь-якої We So знайдеться t /eS0 така, що (1 - f - і) - 1 е 1 W для всіх і е U. Ця умова виконується, якщо D володіє топологічно нильпотентною околицею нуля, що, в свою чергу, має місце, якщо D недискретность і локально компактно. Замикання подтела топологічного тіла є топологічним тілом.

Першою за часом є важлива робота Л. С. Понтрягіна[1]про топологічних тілах. У цій роботі доведена наступна основна теорема: всяке чіткий локально-компактне топологічний тіло з другої аксіомою счетності ізоморфно або полю речових, чисел, або полю комплексних, чисел, або тілу кватернионов.

Попередні визначення і пропозиції (за винятком тих, які відносяться до правим і лівим похідним) легко переносяться на випадок, коли замість R береться довільне коммутативное топологічний тіло К, а замість топологічних векторних просторів (відповідно топологічних алгебр) над тілом R - топологічні векторні простори ( відповідно топологічні алгебри) над тілом К. Пропозиція 5 узагальнюється наступним чином: нехай К - подтело топологічного тіла К, Е - топологічний векторний простір над тілом К; нехай функція /, певна в околиці VC.

У першій дається обгрунтування класичних геометрій постійної кривизни для n - мірного простору, побудоване на топології і теорії груп. У другій - нове побудова проективної геометрії, що базується на доведеній Л.С. Понтрягиним теоремі про те, що зв'язковими локально-компактними топологічними тілами зі лічильної базою є лише: тіло дійсних чисел, тіло комплексних чисел і некомутативними тіло кватерніонів.

У цьому розділі розглядаються впорядковані групи, нормовані кільця і топологічні кільця. Крім основних понять, тут викладено доказ теореми Гельдера про архімедівських лінійно впорядкованих групах, охарактеризовані лінійно впорядковує абелеві групи, описані нормування поля раціональних чисел і дані критерії нормованих топологічних тел і полів.

Ця умова виконується, якщо D володіє топологічно нильпотентною околицею нуля, що, в свою чергу, має місце, якщо D недискретность і локально компактно. Замикання подтела топологічного тіла є топологічним тілом.

Ця умова виконується, якщо D володіє топологічно нильпотентною околицею нуля, що, в свою чергу, має місце, якщо D недискретность і локально компактно. Замикання подтела топологічного тіла є топологічним тілом.

Будемо припускати, починаючи звідси, що 3 - локально назад обмежена топологія. Показати, що для будь-який околиці нуля VB До відображення х н - а; 1 рівномірно безперервно на CV. Вивести звідси, що поповнення До кільця К є топологічне тіло з локально назад ограниче інший топологією.

VI, § 1 п 5), але також зі структурою тіла в Н, бо якщо х - кватерніон 0 то координати кватерниона агг1 є раціональними функціями координат кватерниона аг, мають знаменник, відмінний від нуля. Тіло Н, наділене цією топологією, є, таким чином, некомутативними топологічним тілом; кватерніони а bi (гДе а до b - дійсні числа) утворюють (топологічний) подтело тіла Н, изоморфное полю С, з яким воно зазвичай ототожнюється.

VIII, § 5 вправа 5), яка не є зв'язковим (зокрема, недоладне топологічний тіло), цілком нескладно.

Нехай А - обмежене топологічне кільце (вправа 12) з одиницею, в якому безліч А всіх оборотних елементів відкрито. Показати, що радикал кільця А відкритий. Таким чином, якщо А не має радикала, то воно дискретно; в ч юності, віддільного обмежене топологічний тіло дискретно. Компактне кільце А без радикала, що володіє одиницею і таке, що А відкрито в А, звичайно; зокрема, компактне топологічний тіло звичайно.

Тіло D, що є топологічним кільцем, виявляється топологічним тілом тоді і тільки тоді, коли воно має таку базою околиць нуля So, що для будь-якої We So знайдеться t /eS0 така, що (1 - f - і) - 1 е 1 W для всіх і е U. Ця умова виконується, якщо D володіє топологічно нильпотентною околицею нуля, що, в свою чергу, має місце, якщо D недискретность і локально компактно. Замикання подтела топологічного тіла є топологічним тілом.

Тіло D, що є топологічним кільцем, виявляється топологічним тілом тоді і тільки тоді, коли воно має таку базою околиць нуля So, що для будь-якої We So знайдеться t /eS0 така, що (1 - f - і) - 1 е 1 W для всіх і е U. Ця умова виконується, якщо D володіє топологічно нильпотентною околицею нуля, що, в свою чергу, має місце, якщо D недискретность і локально компактно. Замикання подтела топологічного тіла є топологічним тілом.

Нехай А - обмежене топологічне кільце (вправа 12) з одиницею, в якому безліч А всіх оборотних елементів відкрито. Показати, що радикал кільця А відкритий. Таким чином, якщо А не має радикала, то воно дискретно; в ч юності, віддільного обмежене топологічний тіло дискретно. Компактне кільце А без радикала, що володіє одиницею і таке, що А відкрито в А, звичайно; зокрема, компактне топологічний тіло звичайно.

Більшість робіт було присвячено бікомпактних кільцям. На-Макура[125]довів, що бікомпактних кільце А допускає вед-дербарново розкладання тоді і тільки тоді, коли А є прямою сумою кінцевих алгебр над кінцевими полями. УОР-нер[126, 127]досліджував комутативність нетерових бікомпактних кільця і бікомпактних кільця, у яких замкнуті всі ідеали або замкнуті всі ліві ідеали. Для кілець з одиницею останнім рівносильно нетерових зліва. Розглянуто також кільця, всі ідеали і всі ліві ідеали яких відкриті. Вивчено можливість вкладення даного бікомпактних кільця в топологічні тіла в якості відкритого подкольца. Намакура[128]вивчив деякі аналогії між бікомпактних дуальними кільцями (топологічне кільце називається дуальним, якщо кожен його замкнутий односторонній ідеал є аннулятор) і так званими квазіфробеніусовимі кільцями. Доведено, що бікомпактних двоїсте кільце задовольняє умовам: 1) Кожен безперервний Л - правий гомоморфізм замкнутого правого ідеалу кільця А в А задається лівим множенням на елемент з Л; 2) Кожен безперервний Л - лівий гомоморфізм замкнутого лівого ідеалу кільця А задається правим множенням на елемент з А. Будь-яке бікомпактних кільце з одиницею, що задовольняє цим умовам, в якому лівий і правий аннулятор будь-якого максимального відкритого ідеалу відмінні від нуля, є дуальним кільцем. Показано також, що бікомпактних двоїсте кільце з відкритим радикалом - звичайно. Крім того, досліджені бікомпактних кільця, Факторкольцо яких з будь-якого відкритого ідеалу дуальні.