А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорія - чисельний метод

Теорія чисельних методів, один раз виникнувши, розвивається за своїми внутрішніми законами так само, як і інші фундаментальні розділи математики.

У теорії чисельних методів інтегрування вироблено кілька критеріїв якісної оцінки ефективності різних методів.

У теорії чисельних методів розв'язання інтегральних рівнянь розглядаються наступні типові завдання.

У теорії чисельних методів розрахунку оптимальних програм особливу роль відіграє - принцип максимуму.

У теорії чисельних методів розрахунку оптимальних програм особливу роль відіграє принцип максимуму.

Повний виклад теорії чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь, включаючи алгоритми звернення розріджених матриць, які використовуються для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходиться за рамками даного курсу.

Основні поняття теорії чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь будуть досить докладно розглянуті в розділі 3 на прикладі диференціального рівняння теплопровідності.

Поряд з теорією чисельних методів період бурхливого розвитку переживає і ряд інших розділів математики, безпосередньо зобов'язаних ЕОМ своїм виникненням. Застосування чисельних методів і ЕОМ до вирішення природничо-наукових завдань впливає і на традиційні розділи математики.

Поряд з теорією чисельних методів період бурхливого зростання переживає і ряд інших розділів математики, безпосередньо зобов'язаних ЕОМ своїм виникненням. Застосування чисельних методів і ЕОМ до вирішення природничо-наукових завдань впливає і на традиційні розділи математики. Наприклад, напрямок дослідження квазілінійних гіперболічних систем: зо чому розвивається під впливом контакту з чисельної математикою.

ЕОМ, коли теорія чисельних методів була розвинена недостатньо і створені на її основі алгоритми часто були ненадійними.

Фахівці в області теорії чисельних методів і практики їх застосування будуть неминуче затребувані в процесі розвитку промисловості і науки.

У навчальному посібнику викладено коротка теорія чисельних методів, найбільш часто використовуваних в інженерних розрахунках. Для більшості методів наводяться геометричні ілюстрації, схеми алгоритмів і приклади. Відзначається також особливості методів при вирішенні завдань різних класів.

Зокрема, і в теорії чисельних методів, так само як в чистій математиці, корисна розробка загальних побудов. Однак є різниця в підході чистого і прикладного математика до вирішення будь-якої проблеми. Мовою першого поняття вирішити задачу означає довести існування рішення і запропонувати процес, що сходиться до вирішення. Самі по собі ці результати корисні для прикладника, але, крім цього, йому потрібно, щоб процес отримання наближення не вимагав великих витрат, наприклад часу або пам'яті ЕОМ. Йому важливо не тільки те, що процес сходиться, а й те, як швидко він сходиться. При чисельному рішенні задач виникають також нові питання, пов'язані зі стійкістю результату щодо збурень початкових даних і заокруглень при обчисленнях.

Саме практика диктує необхідність подальшого розвитку теорії чисельних методів.

Ця глава присвячена обговоренню різних питань теорії чисельних методів розв'язання диференціальних рівнянь, які, зокрема, послужили основою стандартних програм вирішення звичайних диференціальних рівнянь.

Ця книга являє собою введення в теорію чисельних методів, що використовує мінімум відомостей з аналізу, лінійної алгебри та теорії диференціальних рівнянь. Книга виникла в результаті обробки лекцій, які автор читав протягом декількох років для студентів другого курсу факультету обчислювальної математики ц кібернетики Московського державного університету ім.

Математичної основою екстраполяції є розділ наближення функції теорії чисельних методів аналізу. Існує дуже багато многочленів, що дозволяють здійснювати екстраполяцію шляхом різних формул наближення.

У той же час розвиток обчислювальної техніки і теорії чисельних методів призводить до безперервного перегляду і деякого звуження сукупності застосовуваних методів.

Останні півстоліття характерні бурхливим розвитком обчислювальної техніки і теорії чисельних методів. В результаті відбувається швидка зміна поглядів на весь комплекс питань, пов'язаних із застосуванням комп'ютерів, зокрема, на вимоги до чисельних методів. Тому не можна запропонувати посібники з чисельних методів, що містить рецепти вирішення всіх реально зустрічаються проблем. При виборі способу вирішення конкретного завдання всяке посібник грає роль лише загального керівництва, відштовхуючись від якого дослідник аналізує свої проблеми.

По суті перша частина питання є основною проблемою теорії чисельних методів і в більшості випадків розглядається незалежно від проблеми оптимізації. Отримання оцінок знизу зазвичай зводиться до оцінки знизу 8-ентропії або діаметрів відповідних просторів; іноді воно проводиться незалежно, але з використанням техніки, аналогічній техніці отримання зазначених оцінок.

В даному розділі спочатку коротко розглянемо основні поняття теорії чисельних методів, а потім більш докладно зупинимося на застосуванні звичайно-різницевих схем для вирішення рівнянь теплопровідності. Метод кінцевих елементів буде викладено в наступному розділі.

Цей метод побудови многочленів, що володіють специфічними властивостями, використовується в теорії чисельних методів вельми часто і їм слід опанувати.

Теорія дискретного математичного програмування на сьогоднішній день складається в основному з теорії чисельних методів розв'язання дискретних задач. Даючи їх загальну характеристику, можна передусім виділити три основні групи методів, принципово різняться за підходом до проблеми.

За час, що минув з момепта опублікування попереднього видання книги, теорія чисельних методів розв'язання рівнянь газової динаміки п практика їх застосування для розрахунку прикладних задач отримала подальший розвиток.

Точно так же § 1 глави II, який присвячений опису основних понять теорії чисельних методів, носить довідковий характер. Наведені приклади, що підтверджують ефективність цих принципів.

Велика кількість різних Побудова стійких алгоритмів, при використанні яких спотворення остаточного результату обчислювальної похибкою знаходиться в допустимих межах, становлять істотну частину теорії чисельних методів.

Обчислювальну математику визначають в широкому сенсі цього терміна як розділ математики, що включає коло питань, пов'язаних з використанням ЕОМ, і в вузькому сенсі - як теорію чисельних методів і алгоритмів вирішення поставлених математичних задач.

книга написана на основі курсу лекцій, що читалися автором па факультеті обчислювальної математики і кібернетики МГУ, і призначається для ознайомлення з началами чисельних методів. Теорія чисельних методів викладається з використанням елементарних математичних засобів, а для ілюстрації якості методів використовуються найпростіші математичні моделі.

Зниження загальної математичної освіченості і загальнодоступність обчислювальної техніки роблять необхідним створення комплексів програм, що допускають їх використання дослідниками невисокою математичної кваліфікації. Розробка таких комплексів неможлива без подальшого розвитку теорії чисельних методів.

Іншими главами є методика застосування теорії ймовірностей, теорія складних систем, теорія чисельних методів математичного аналізу, методика рішення некоректно поставлених задач 7 і багато інших.

Швидке проникнення математики в багато області знання, зокрема, пояснюється тим, що математичні моделі і методи їх дослідження застосовні відразу до багатьох явищ, подібним за своєю формальною структурі. Часто математична модель, що описує якесь явище, з'являється при вивченні інших явищ або при абстрактних математичних побудовах задовго до конкретного розгляду даного явища Зокрема, і в теорії чисельних методів, так само як в чистій математиці, корисна розробка загальних побудов. Однак є різниця в підході чистого і прикладного математика до вирішення будь-якої проблеми. Мовою першого поняття вирішити задачу означає довести існування рішення і запропонувати процес, що сходиться до вирішення. Самі по собі ці результати корисні для прикладника, але, крім цього, йому-потрібно, щоб процес отримання наближення не вимагав великих витрат, наприклад, часу або пам'яті ЕОМ. Йому важливо не тільки те, що процес сходиться, а й те, як швидко він сходиться. При чисельному рішенні задач виникають також нові питання, пов'язані з стійкістю результату щодо збурень початкових даних і заокруглень при обчисленнях.

Обчислювальні методи нелінійного програмування - утворюють досить велике сімейство. Для додання попередній фразі точного сенсу слід, звичайно, формально визначити що входять до неї поняття клас задач математичного програмування, метод вирішення завдань даного класу, похибка і трудомісткість методу на завданні і на класі. Оскільки нас тут не цікавить теорія чисельних методів сама по собі, обмежимося визначенням цих понять на інтуїтивному рівні.

Вибірка з матеріалу перших дев'яти глав використовується як частина лекційного курсу для старшокурсників Університету Берклі; дещо з наступного матеріалу винесено на семінар для аспірантів. Незважаючи на математичний характер обговорення, в дійсності воно адресовано всім, хто цього потребує обчислювати власні значення. Якби мені довелося дізнатися, що комусь із практиків, які не займаються теорією чисельних методів, читання будь-яких розділів книги принесло користь, а може бути, і деяке задоволення-ніщо не обрадувало б мене більше.

Розглянемо приклад, який ілюструє це твердження. Рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних зводиться до вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь з матрицею, в кожному рядку якої є 5 - 10 ненульових елементів. Кінцівка швидкості поширення сигналу-300000 км /с - ставить вже зараз істотне обмеження на можливе зростання швидкодії однопроцесорних ЕОМ, тому значення подальшого розвитку теорії чисельних методів важко переоцінити. Зокрема, стає все більш актуальною проблема розробки чисельних методів і програмних засобів для багатопроцесорних ЕОМ.

Однак тепер, з повсюдним поширенням обчислювальної техніки і впровадженням її в різні сфери діяльності суспільства, обстановка змінюється. Вузьким місцем цієї системи стають тривалість вибору математичної моделі, методу розв'язання задачі, програмування і інших етапів, що передують безпосередньому вирішення завдання на ЕОМ. Проходження цих етапів особливо сповільнюється в разі, коли рішенням завдань на ЕОМ займаються представники конкретних наук, наприклад філологи, медики, економісти, географи і т.п., мало знайомі з чисельними методами або програмуванням. Навчання їх тонкощам теорії чисельних методів може перетворитися на самоціль, відволікаючу від вирішення основних завдань їх науки, і в кінцевому рахунку обійтися суспільству досить дорого. Тому в даний час найважливішою проблемою є створення систем вирішення завдань з максимально простим зверненням, які передбачають малу кваліфікацію користувача щодо чисельних методів і програмування. Наприклад, природно вимагати, щоб до програми обчислення інтеграла із заданою точністю міг звернутися дослідник, знає, що таке інтеграл, але не вміє ні інтегрувати, ні диференціювати.

Однак тепер, з повсюдним поширенням обчислювальної техніки і впровадженням її в різні сфери діяльності суспільства, обстановка змінюється. Вузьким місцем цієї системи стають тривалість вибору математичної моделі, вибору методу розв'язання задачі, програмування і інших етапів, що передують безпосередньому вирішення завдання на ЕОМ. Ці етапи особливо сповільнюються в разі, коли рішенням завдань на ЕОМ займаються представники конкретних наук, наприклад філологи, медики, економісти, географи, малознайомі з чисельними методами або програмуванням. Їх навчання тонкощам теорії чисельних методів може превра -, титься в самоціль, відволікаючу від вирішення основних завдань їх науки, і в кінцевому рахунку обійтися суспільству досить дорого. Тому в даний час найважливішою проблемою є створення систем вирішення завдань з максимально простим зверненням, які передбачають малу кваліфікацію користувача щодо чисельних методів і програмування.

При отриманні дискретної апроксимації (різницевої схеми) важливу роль відіграє загальна вимога, щоб різницева схема якнайкраще наближала (моделювала) основні властивості вихідного диференціального рівняння. Оцінка точності різницевої схеми зводиться до вивчення похибки апроксимації п стійкості схеми. Вивчення стійкості - центральне питання теорії чисельних методів і йому приділяється велика увага в даній книзі.

Необхідність інтегрування диференціальних рівнянь при вирішенні завдань оптимального управління призводить до ряду практичних труднощів. Як правило, тут виникають і теоретичних проблем, оскільки згадане інтегрування насправді можна виконати тільки наближено. Однак на даному етапі розвитку теорії чисельних методів у нас немає іншого виходу, крім як евристичний вирішувати ці труднощі в надії на те, що майбутнє принесе нам більш глибоке розуміння порушеної проблеми.

На відміну від канонічного інтерполяційного полінома для обчислення значень полінома Лагранжа не потрібно попереднього визначення коефіцієнтів полінома шляхом вирішення системи рівнянь. Однак для - кожного значення аргументу х поліном (3.5) доводиться перераховувати знову, коефіцієнти ж канонічного полінома обчислюються тільки один раз. З відомими коефіцієнтами для обчислення значень канонічного полінома потрібна значно менша кількість арифметичних операцій в порівнянні з поліномом Лагранжа. Важливе місце займає поліном Лагранжа в теорії чисельних методів.

Отримав останнім часом інтенсивний розвиток метод кінцевих елементів вільний від ряду недоліків описаних методів: він не вимагає спеціальних зусиль з побудови системи базисних функцій, що є сильно мінімальної, при його використанні спрощується написання рівнянь поблизу кордону. Матриця лінійної системи рівнянь містить відносно мале число ненульових елементів. При використанні таких систем не потрібно знання теорії чисельних методів і тонкощів програмування. Дослідник повинен лише задати тріангуляцію області, а часто система і сама здійснює таку тріангуляцію. Ці методи сходяться при менших вимогах гладкості, ніж звичайно-різницеві методи. У разі квазіравномерних тріангуляції базисні функції методу автоматично задовольняють умові сильної мінімальності.

Ефект від застосування ЕОМ і чисельних методів досягається. Тому в даній книзі певна увага приділена також питанням теорії чисельних методів, що виникають при розробці таких стандартних програм.