А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорія - різницева схема

Теорія різницевих схем в основному розвинена для лінійних задач і спирається, як зазначалося раніше, на три основних поняття: апроксимацію вихідних Диференціальних рівнянь, стійкість обчислювального процесу, збіжність чисельного методу до вирішення. Для нелінійних задач теорія, як правило, не розвинена; дослідження стійкості в цих випадках пов'язане з великими труднощами і проводиться зазвичай на лінійних аналогах конкретного завдання. Наприклад, при дослідженні стійкості задач газової динаміки часто розглядаються рівняння в акустичному наближенні.

Теорія різницевих схем застосовується також для доказу істота-вання рішення точної завдання (70) і встановлення його властивостей.

У теорії різницевих схем доводиться, що якщо різницева схема стійка і апроксимує вихідну диференціальну задачу, то вона сходиться. Іншими словами, з стійкості та апроксимації різницевої схеми слід її збіжність.

У теорії різницевих схем доводиться, що різницеве рішення, яке визначається різницевими рівняннями (759), при h - 0 сходиться до точного.

У теорії різницевих схем розглядаються різні способи дослідження апроксимації вихідної диференціальної задачі різницевої і перевірки стійкості різницевих схем. Тут ми лише відзначимо, що ці дослідження значно простіше, ніж доказ збіжності різницевого рішення до точному. Тому користуються наступним твердженням.

Алгоритм рішення задачі Діріхле. У теорії різницевих схем доводиться, що рішення побудованої різницевої задачі існує, а сама схема стійка.

У теорії різницевих схем встановилася традиція, коли не роблять різниці між матрицею і породжується нею лінійним оператором.

У теорії різницевих схем[1, 7, 8]розроблені дуже економічні методи вирішення систем рівнянь з стрічковими матрицями.

Осциляції рішення для немонотонної різницевої схеми. У теорії різницевих схем доводиться теорема: якщо різницева схема апроксимує диференціальні рівняння і вона стійка, то при зменшенні кроків її разностное рішення сходиться до вирішення диференціальних рівнянь. Володіння властивістю збіжності є обов'язковою вимогою, що пред'являються до різницевої схемою при чисельному рішенні диференціальної задачі. Якщо збіжність має місце, то за допомогою різницевої схеми можна обчислити рішення і з будь-якої яаперед заданої точністю, вибираючи для цього крок h досить малим.

У теорії різницевих схем доводиться, що якщо різницева схема стійка і апроксимує вихідну диференціальну задачу, то вона сходиться. Іншими словами, з стійкості та апроксимації різницевої схеми слід її збіжність. Це дозволяє звести важке завдання вивчення збіжності і оцінки порядку точності різницевої схеми до вивчення похибки апроксимації і стійкості, що значно легше.

В теорії різницевих схем доводиться, що різницеве рішення, яке визначається різницевими рівняннями (759), при h - - 0 сходиться до точного.

У теорії різницевих схем розглядаються різні способи дослідження апроксимації вихідної диференціальної задачі різницевої ц перевірки стійкості різницевих схем. Тут ми лише відзначимо, що ці дослідження значно простіше, ніж доказ збіжності різницевого рішення до точному. Тому користуються наступним затвердженням.

В теорії різницевих схем доводиться, що рішення побудованої різницевої задачі існує, а сама схема стійка.

У теорії різницевих схем рішення диференціальних рівнянь основним є питання про збіжність сімейства наближених рішень до точного розв'язання вихідної диференціальної задачі при прагненні параметра розбиття до нуля. Тут буде уточнено поняття збіжності наближеного рішення до точному.

Метою теорії різницевих схем є відшукання сімейства схем, придатних для вирішення максимально широкого класу задач.

Зазвичай в теорії різницевих схем для компактності запису диференціальні рівняння, початкові і граничні умови видаються в деякому символічному вигляді, званому операційним.

Тихонова до теорії різницевих схем пов'язаний з періодом його життя, про який нічого не говориться в ювілейних публікаціях.

Зазвичай в теорії різницевих схем для компактності запису диференціальні рівняння, початкові і граничні умови видаються в деякому символічному вигляді, званому операційним.

Основні поняття теорії різницевих схем: похибка апроксимації, стійкість, збіжність і точність викладаються на прикладах крайових задач і задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь (гл. Розглянемо елементи теорії різницевих схем для еліптичних рівнянь. Область D вважатимемо обмеженою і її кордон Г - простий (без кратних точок) кусочно-гладкою лінією. 
Активний розвиток теорії різницевих схем почалося значно пізніше, ніж таких класичних математичних дисциплін, як аналіз і теорія диференціальних рівнянь.

Основним питанням теорії різницевих схем, як втім і інших наближених методів, є питання про збіжність. Сформулюємо строго поняття збіжності.

Схема до розрахунку граничних температур Література. Самарський А А Теорія різницевих схем.

Класична література з теорії різницевих схем, розвинена для обчислювальних цілей, розглядала, в основному, квадратні і кубічні решітки в евклідовому просторі. Лише в останнє десятиліття з'явилися різні варіанти методів кінцевих елементів, побудовані на використанні тріангуляції, тобто сім-пліціальних комплексів.

Викладена в цьому розділі теорія різницевих схем може бути застосована до різницевих схем, що апроксимують коректно поставлені завдання для звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь в приватних похідних та інтегральних рівнянь. Теорія переноситься на рішення рівнянь в приватних похідних методом прямих. Хоча в більшості формулювань фігурувало лише одне рівняння і одна змінна, але теорія очевидним чином узагальнюється на системи рівнянь або випадок багатьох змінних.

Зауважимо, що в теорії різницевих схем області визначення і значень операторів А я А зазвичай розглядаються в різних просторах.

Перша глава присвячується загальних питань теорії різницевих схем. Поряд з уже стали класичними поняттями в теорії різницевих схем, такими, як апроксимація, лічильна стійкість і збіжність рішень різницевих рівнянь, в цьому розділі наведені деякі важливі результати, пов'язані із загальними властивостями основних і пов'язаних завдань, які будуть використані у багатьох розділах книги. Як відомо, верхня межа спектра знаходиться за допомогою добре розроблених ітераційних процесів, і ця проблема, як правило, не викликає труднощів в реалізації. Що стосується мінімального власного числа - нижньої межі спектра, то його обчислення зазвичай є складною проблемою.

З а Марскій А. А. Введення в теорію різницевих схем.

Для вирішення даної системи рівнянь використовується теорія різницевих схем. Отримана модель дозволяє в залежності від потужності джерела оцінити час розігріву труби і таким чином підібрати найкращу систему електропідігріву для даного нафтопроводу.

тепер доведемо один з фундаментальних результатів теорії різницевих схем, а саме доведемо, що з апроксимації і стійкості слід збіжність.

В цьому розділі деякі загальні принципи теорії різницевих схем - однорідність, консервативність і ін. - Застосовуються для побудови повністю консервативних схем одновимірної нестаціонарної газодинаміки. За допомогою чисельних розрахунків продемонстровано, що такі схеми мають ряд переваг в порівнянні з іншими схемами того ж порядку апроксимації. Вступний перший параграф містить основні поняття і позначення теорії різницевих схем. Із загальної багатопараметричного сімейства схем на основі сформульованого в § 3 критерію виділено однопараметріче-ське безліч повністю консервативних схем першого порядку апроксимації за часом і єдина схема другого порядку. У § 5 шляхом безпосередніх розрахунків деяких тестових завдань проводиться зіставлення різницевих схем різних типів. У § б обговорюються способи побудови різницевих схем для рівняння теплопровідності.

У цій главі наводяться короткі відомості з фундаментальних питань теорії різницевих схем, які суттєво використані в наступних розділах книги. Оскільки нашим основним завданням є знайомство з деякими сучасними принципами побудови обчислювальних алгоритмів для розв'язання задач математичної фізики, то при розгляді питань теорії ми обмежимося тільки найбільш простими випадками.

Головна особливість рівнянь газодинаміки полягає в їх нелінійності, тоді як теорія різницевих схем розвинена в основному для лінійних задач. До нелінійним різницевим схемам газової динаміки, взагалі кажучи, неприйнятні основні поняття і висновки теорії різницевих схем щодо апроксимації, стійкості і збіжності. Слід, однак, відзначити, що ця теорія дає правильне розуміння основних особливостей розрахунку нелінійних газодинамічних течій.

В даний час є велика кількість робіт з різних загальних питань теорії різницевих схем.

Дамо деякі основні поняття і визначення, необхідні для вивчення елементів теорії різницевих схем.

Лад и жіноча, Р і в к и й д В. Я. Питання теорії різницевих схем для рівнянь Нав'є - Стокса і деякі результати їх чисельного рішення.

У розділі 8 викладаються чисельні методи рішення рівнянь з приватними похідними і наводяться деякі елементи теорії різницевих схем.

Аналіз залишкового члена нетривіальний, і відомості з цього питання можна знайти в більш повних курсах з чисельних методів і теорії різницевих схем. Відзначимо лише, що похибка апроксимації при зменшенні кроку h, як правило, зменшується.

У даній роботі[7](Як і в багатьох роботах за подібною тематіке1) також відсутня найважливіший з точки зору теорії різницевих схем аналіз консервативності, апроксимації та стійкості пропонованих різницевих схем.

Універсальним чисельним методом вирішення диференціальних рівнянь є метод кінцевих різниць, Перш ніж переходити до його викладу, необхідно ввести основні поняття теорії різницевих схем - апроксимацію, стійкість і збіжність.

Як сказано в анотації, ця книга відрізняється від аналогічних видань глибоким проникненням теорії наближень і функціонального аналізу в обчислювальну математику, що дозволило розглянути багато фундаментальних питань (теорію інтерполяції, чисельне диференціювання, теорію механічних квадратур, теорію різницевих схем) з єдиних позицій. До цього можна додати головну характерну деталь: в першому параграфі першого розділу детально розглянуті властивості ортогональних многочленів. А далі в тексті ортогональні поліноми часто застосовуються в доказах і навіть у формулюваннях результатів.

Теорія різницевих схем), придатна для дослідження стійкості різницевих схем для рівнянь з приватними похідними математичної фізики (див, гл. Фактично, в § 4 викладені основи загальної теорії стійкості різницевих схем, включаючи і асимптотическую стійкість. . Це питання відноситься до загальної проблемі стійкості різницевих схем, яка вивчає залежність рішення від характеру дроблення кроків різницевої схеми. Теорія різницевих схем займається вивченням скінченновимірних апроксимацій рівнянь в приватних похідних. Але будь-оптимальне рішення визначається приватними рішеннями рівняння Беллмана, яке є рівнянням в приватних похідних першого порядку. Отже, питання , що виникають при дослідженні різницевих апроксимацій теорії оптимального управління, мають по суті той же зміст, що і класичні задачі стійкості різницевих схем. Однак істотно нелінійний характер завдань теорії оптимального управління робить ці проблеми ще більш важкими. Вони тільки тепер починають розроблятися, і результати, які тут є, ще багато в чому носять попередній характер.

Теорія різницевих схем), придатна для дослідження стійкості різницевих схем для рівнянь з приватними похідними математичної фізики (див. Гл. Фактично, в § 4 викладені основи загальної теорії стійкості різницевих схем, включаючи і асимптотическую стійкість. Схеми, які зберігають монотонність рішення різницевої завдання, називаються монотонними. В теорії різницевих схем доводиться наступний необхідна і достатня ознака монотонності лінійної схеми.

Метод встановлення фактично являє ітераційний процес вирішення завдання (8112), (8113), (8111), причому на кожній ітерації значення шуканої функції виходять шляхом чисельного рішення деякої допоміжної задачі. В теорії різницевих схем показано, що цей ітераційний процес сходиться до вирішення вихідної задачі, якщо таке стаціонарне рішення існує.