А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Теорія - перший порядок
Теорія першого порядку називається вирішується аксіматізіруе-мій, якщо вона має хоча б одне можна розв'язати безліч аксіом.
Теорія першого порядку може бути застосована до інтенсивних переходах і до кристалів, структура яких така, що суми дипольного взаємодії виявляються не дуже малими. В інших випадках, і особливо в разі слабших переходів, необхідно уточнити застосовується теорію в двох відносинах.
зазвичай формалізовані теорії першого порядку містять у своїй мові певний бінарний предикат, який відповідає відношенню рівності і називається знаком рівності.
Для теорій першого порядку передбачається, що нелогічні константи мають інтерпретацію в деякому непорожньої поле D. У загальних словах, це означає, що кожна предметна константа іцтерпретіру-ється як деякий фіксований елемент поля D, кожна предметна змінна має D в якості своєї області зміни, символи відносин інтерпретуються як підмножини безлічі D (для будь-якого п) і символи операцій інтерпретуються як функції, визначені на Dn (для будь-якого п) зі значеннями в D. Детальніше це описується оціночної процедурою (що є узагальненням аналогич ної процедури для обчислення предикатів, описаної в § 2.8) для теорій першого порядку.
Здійсненне) теорія першого порядку двох функцій слідування з предикатами довжини а префікса теж елементарно рекурсивна.
Отже, теорія першого порядку є звуженням обчислення предикатів на ту чи іншу задану область. Аксіоматична система будь-якої конкретної теорії виходить приєднанням специфічних для цієї теорії аксіом до адекватної повної аксіоматичної системі числення предикатів. Це не означає, що теорема числення предикатів обов'язково залишається теоремою в розглянутій теорії.
Буде використана теорія першого порядку багатозначної логіки[9.31], Яка включає систему арифметики і аксіоматичну теорію множин. Крім того, в цьому розділі використовується наступна система позначень.
Елементарна теорія, теорія першого порядку - довільна множина Т пропозицій деякого формалізованого логіко-матеиатіч.
Нехай Т - довільна теорія першого порядку, причому для будь-якого натурального числа п теорія Т має модель, яка містить не менше п елементів. Тоді теорія Т має нескінченну модель.
Проблема здійсненності в теорії першого порядку єдиною одномісній функції не елементарна.
Можливі орієнтації протонів СН2 - групи відносно один одного і накладеного поля Ні. Вищенаведене кількісне виклад теорії першого порядку може бути проілюстровано на прикладі етанолу. Як показано на рис. 7.4 в присутності зовнішнього поля протони СНЗ-групи можуть мати три різні орієнтації відносно один одного і поля: обидва спина спрямовані в бік поля (А) обидва спина спрямовані проти поля ( Б); один спін спрямований в напрямку, а інший проти напрямку поля (Б), причому є два еквівалентних набору для Б, оскільки протони невиразні. Це означає, що кожен з трьох еквівалентних протонів СН3 - групи може взаємодіяти з одним з СНД-протонів, причому останній може знаходитися в одній з цих трьох різних орієнтації. Самі по собі магнітно еквівалентні СН3 - протони дали б лише один сигнал, а насправді вони дають триплет. Слід зазначити, що поява триплетів не має ніякого відношення до того факту, що СН3 - група містить три атома водню.
Можливі орієнтації протонів СН2 - групи відносно один одного і накладеного поля Н0. Вищенаведене кількісне виклад теорії першого порядку може бути проілюстровано на прикладі етанолу. Як показано на рис. 7.4 в присутності зовнішнього поля протони СН2 - групи можуть мати три різні орієнтації відносно один одного і поля: обидва спина спрямовані в бік поля (А); обидва спина спрямовані проти поля (В); один спін спрямований в напрямку, а інший проти напрямку поля (Б), причому є два еквівалентних набору для Б, оскільки протони невиразні. Це означає, що кожен з трьох еквівалентних протонів СН3 - групи може взаємодіяти з одним із СН2 - протонів, причому останній може знаходитися в одній з цих трьох різних орієнтації. Самі по собі магнітно еквівалентні СН3 - протони дали б лише один сигнал, а насправді вони дають триплет. Слід зазначити, що поява триплета не має ніякого відношення до того факту, що СН3 - група містить три атома водню.
Приклад розрахунку кристалічних ефектів другого порядку в антраценом а.
Відповідно до теорії першого порядку кожен взаємодіє рівень зміщений на 375 см 1 від свого становища. Ця величина дуже мала в порівнянні з членом першого порядку в інтенсивному переході, але має значення для слабкого переходу. В цьому випадку не обов'язково вирішувати вікове рівняння точно, тому що недіагональні елемент набагато менше, ніж різниця між діагональними елементами. Величину ефекту можна отримати досить точно за допомогою теорії збурень другого порядку, використовуючи формулу (37), розрахунок за якою дає величину 380 см 1 для зсувів двох рівнів.
Будь-яка роздільна процедура для теорії першого порядку (N,), тобто для арифметики Прес-бургера, вимагає й (з-п) кроків навіть на недетермінірованних машинах Тьюринга.
Перед тим, як уточнити поняття теорії першого порядку за всіма правилами, до яких ми намагаємося привчити читача, попередньо скажімо ще кілька слів. У більшості теорій, які можуть бути аксіоматизована як теорії першого порядку, використовується поняття рівності. Ми покажемо зараз, яким чином теорія рівності приєднується до чистого обчислення предикатів. Згідно інтуїтивного розуміння, співвідношення х у означає, що х і у-це один і той же предмет чи що ш і у суть імена одного і того ж предмета. Виявляється, властивості симетричності і транзитивності рівності можна вивести з підстановлювальний властивості і рефлексивності. Ми встановимо це, представивши у вигляді аксіоматичної теорії числення предикатів першого порядку з рівністю.
Це вказує на важливість згаданого типу моделей в метаматематику формалізованих теорій першого порядку.
Теорію, обмежену розглядом тільки параксіальними променів, називають теорією першого порядку. Реально умови параксіальними майже ніколи не виконуються і це призводить до того, що пучок не можна сфокусувати в точку, тобто завжди має місце кросовер. Обчислення спотворень зображення (аберацій) досить громіздко, і тому ми обмежимося лише якісним розглядом основних ефектів.
Часто говорять, наприклад, що роздільна процедура Тар-ського для теорії першого порядку дійсних чисел[9]складніше, ніж метод істінностних таблиць для обчислення висловлювань. Після того як ми покажемо, що класи (/%) утворюють подразбіеніе елементарних множин, ми зможемо уточнити це твердження.
Другий розділ представляє аксіоматичний підхід до логіки і служить введенням в теорії першого порядку. У ній показано, як числення предикатів перетворюється в основу теорії для вивчення специфічних математичних структур. У цьому контексті викладені деякі фундаментальні питання логіки, природним чином продовжуються в теоретичну інформатику. В Зокрема, це стосується алгоритмічних мов Тьюринга і Геделя, тези Черча, класу обчислюваних функцій і поняття можливості розв'язання.
Семантична і дедуктивна теорії, що задаються деякою системою аксіом, - приклади теорій першого порядку. Розглянемо ще один спосіб завдання теорій, який поряд з аксіоматичним широко використовується в математиці. А саме, нехай зафіксована деяка інтерпретація /сигнатури і. Розглянемо безліч Т (1) замкнутих формул сигнатури Л, істинних в цієї інтерпретації.
Екваціональние теорії напівгруп і яку пов'язують з ними структура виведення можуть трактуватися як подтеоріі теорій першого порядку з рівністю, наділені дедуктивної структурою обчислень першого порядку. З іншого боку, їх легко визначити і незалежно, причому багатьма еквівалентними між собою способами. З метою більшої самостійності викладу ми вибираємо один з таких способів.
Облік тільки двох перших членів розкладання в ряд Тейлора призводить до лінійної теорії або теорії першого порядку. Нелінійна теорія або теорія другого порядку базується на обліку квадратичного члена розкладання.
Автором були вивчені умови впливу деформації зсуву та інерції обертання в декількох коливальних режимах з теорії першого порядку Рейсснера-Мін довжина.
Нехтування членами другого порядку, мабуть, призводить до того, що величини, розраховані за теорією першого порядку, містять помилку порядку Узоо - Сучасні спостереження можуть дати ці величини з більшою точністю, і це змушує ввести в теорію величини другого порядку малості.
Еслч явно не зазначено протилежне, то під теорією ми будемо розуміти протягом цієї глави якусь інтуїционістському формалізовану теорію першого порядку д - &, & ь Щ, Нагадаємо (див. VI, § 10 стр. Яка б не була інтерпретація I, безліч Т (1) дедуктивно замкнуто і, отже, є теорією першого порядку.
Відкриті теорії мають багатьма спеціальними властивостями, відсутніми у довільних теорій, В даному разі вони є найпростішими і регулярними серед теорій першого порядку, В § 15 ми, наприклад, бачили, що фундаментальна теорема 15.4 про існування семантичних моделей для відкритих теорій доводиться набагато простіше, ніж загальна теорема 9.3 про існування семантичних моделей для довільних теорій. У § § 2326 ми наведемо ще деякі особливості, характерні тільки для відкритих теорій.
Менше загальне розщеплення в кубічному полі робить використання LS-зв'язку в теорії кристалічного поля гіршим наближенням, і це призводить до великих розщеплення основних станів у другому порядку (- X3 /10D7) і до великих відхилень (- h /QDq) в значеннях - чинників від значень, що даються теорією першого порядку.
Теорема 8.7. Для будь-якого безлічі замкнутих формул А авто-епістеміческой логіки є ефективно конструктивна теорія з умовчаннями (D, F]і назад, для кожної теорії з умовчаннями (- D F) є ефективно конструктивне безліч замкнутих формул А автоепістеміческой логіки таке, що Е є розширенням теорії з умовчаннями тоді і тільки тоді, коли воно є підмножиною теорії першого порядку для розширень, суворо заснованих на А.
Теорія першого порядку Т називається m - категоричній, якщо Т має хоча б одну модель потужності m і будь-які дві її моделі потужності m ізоморфні.
Теорія Т (1) називається елементарної теорією інтерпретації I. До теорій першого порядку застосовне поняття несуперечності, введене нами для довільних множин формул. З теореми 12 випливає, що якщо теорія суперечлива, то вона містить всі замкнуті формули даної сигнатури. З теореми 13 безпосередньо випливає, що теорія Т несуперечлива тоді і тільки тоді, коли будь-яке кінцеве безліч ACT несуперечливо.
Основна мета цього параграфа - показати, що в певному сенсі різниця між відкритими теоріями і довільними теоріями є несуттєвою. А саме, кожна теорія першого порядку може бути перетворена в відкриту теорію додаванням деякого безлічі нових функторів і заміною аксіом відкритими формулами, що виражають, грубо кажучи, те ж саме математичний зміст.
Перше припущення означає, що в статечному розкладанні в розд. Тому параксіальними теорію іноді називають теорією першого порядку.
На закінчення відзначимо, що розгляд, проведений тут, дійсно тільки для параксіального наближення. Якщо використовується більш широкий пучок, теорія першого порядку неадекватна і необхідно брати до уваги абберраціі (див. Розд. Перед тим, як уточнити поняття теорії першого порядку за всіма правилами, до яких ми намагаємося привчити читача, попередньо скажімо ще кілька слів. В більшості теорій, які можуть бути аксіоматизована як теорії першого порядку, використовується поняття рівності. Ми покажемо зараз, яким чином теорія рівності приєднується до чистого обчислення предикатів. Згідно інтуїтивного розуміння, співвідношення х у означає, що х і у-це один і той же предмет чи що ш і у суть імена одного і того ж предмета. Виявляється, властивості симетричності і транзитивності рівності можна вивести з підстановлювальний властивості і рефлексивності. Ми встановимо це, представивши у вигляді аксіоматичної теорії числення предикатів першого порядку з рівністю.
відкриті теорії володіють багатьма спеціальними властивостями, відсутніми у довільних теорій. У відомому сенсі вони є найпростішими і регулярними серед теорій першого порядку. У § 15 ми, наприклад, бачили, що фундаментальна теорема 15.4 про існування семантичних моделей для відкритих теорій доводиться набагато простіше, ніж загальна теорема 9.3 про існування семантичних моделей для довільних теорій. У § § 2326 ми наведемо ще деякі особливості, характерні тільки для відкритих теорій.
Розглядаючи проходження параксіальними променів через електронні лінзи, ми встановили, що пучки променів, що виходять з однієї точки об'єкта, сходяться в точності в одній точці зображення (стигматичні пучки променів) і що плоскому об'єкту відповідає неспотворене плоске зображення. Теорію, приймаючу до уваги тільки параксіальними промені, називають теорією першого порядку або, запозичуючи назву з оптики, гаусом електронної оптикою. Треба сказати, що теорія першого порядку часто добре виправдовується: досвід показує, що електронні лінзи дійсно можуть давати чітке, малоіскаженное зображення. Проте при ретельному дослідженні виявляються відступу від простих законів теорії першого порядку, що призводять до спотворення зображення або аберації. Аберації мають першорядне значення в питаннях якості зображення і роздільної сили електроннооптіче-ських приладів. Як і в оптиці, дослідження аберацій вимагає дуже громіздких і утомливих обчислень, так що ми змушені тут обмежитись небагатьма зауваженнями.
Вельми ефективний при вирішенні проблеми тотожності слів метод переписувальних правил в значній мірі ігнорувався фахівцями в області доведення теорем через відносно малій сфери його застосування. Було б бажано тому узагальнити цю ідею так, щоб можна було працювати з теоріями першого порядку. Для досягнення цієї мети нам потрібна канонічна система для логічних зв'язок, булевої алгебри і повна стратегія для обчислення предикатів першого порядку.
Спектр ЯМР 13С з внерезонансной розв'язкою від протонів вініл-ацетату з сигналами карбонильного, метанового, метиленового і метильного вуглеців при 1676141 8968 і 20 2 м. Д. Відповідно щодо 13С - сигналу ТМС (не показаний на малюнку. А - розв'язка від Н. 6 - внерезонансная розв'язка від Н, зміщення частоти 3 кГц. Крім того, в деяких експериментах по внерезонансному опроміненню проявляються ефекти другого порядку, що призводять до розщеплення ліній, які не можуть бути інтерпретовані в рамках теорії першого порядку.
Поверхні кращого фокусу, що ілюструють астигматизм лінзи. | Сферична аберація. | Подушкоподібне і бочкоподібне спотворення зображення, створювані системою лінз. Ця теорія відома як наближення першого порядку. Відступ дійсного зображення від цієї теорії називається аберацією. У 1855 р теорія першого порядку була розширена включенням умов третього порядку. Теорія третього порядку містить п'ять умов, які слід застосовувати для теорії першого порядку. Коли немає ніяких аберацій і монохроматичне світло проходить через оптичну систему, сума цих п'яти умов дорівнює нулю. Таким чином, зазначена сума забезпечує логічну класифікацію для п'яти монохроматичних аберацій. Крім того, два види хроматичної аберації можуть статися через відмінності між індексом і довжиною хвилі. п'ятьма монохроматичними аберацією є: сферична аберації, несиметрична аберація, астигматизм, кривизна поля і дисторсия.
Розглядаючи проходження параксіальними променів через електронні лінзи, ми встановили, що пучки променів, що виходять з однієї точки об'єкта, сходяться в точності в одній точці зображення (стигматичні пучки променів) і що плоскому об'єкту відповідає неспотворене плоске зображення. Теорію, приймаючу до уваги тільки параксіальними промені, називають теорією першого порядку або, запозичуючи назву з оптики, гаусом електронної оптикою. Треба сказати, що теорія першого порядку часто добре виправдовується: досвід показує, що електронні лінзи дійсно можуть давати чітке, малоіскаженное зображення. Проте при ретельному дослідженні виявляються відступу від простих законів теорії першого порядку, що призводять до спотворення зображення або аберації. Аберації мають першорядне значення в питаннях якості зображення і роздільної сили електроннооптіче-ських приладів. Як і в оптиці, дослідження аберацій вимагає дуже громіздких і утомливих обчислень, так що ми змушені тут обмежитись небагатьма зауваженнями.
У даній статті ми пропонуємо новий підхід до доведення теорем логіки першого порядку, заснований на методі переписувальних правил для термів. Спочатку розглядається пропозіціональное обчислення і вводиться канонічна переписувати система для булевої алгебри. ця система дозволяє перетворити числення предикатів першого порядку в деяку форму екваціональной логіки і розробити для теорій першого порядку кілька повних стратегій (що працюють як з диз'юнкт, так і з формулами більш загального вигляду), заснованих на процедурі поповнення Кнута - Бендиксен. Що важливіше, наші стратегії можуть одноманітно і ефективно працювати з логікою предикатів і вбудованими (екваціональнимі) теоріями. Ми описуємо також реалізацію цих стратегій і порівнюємо їх з деякими іншими методами доведення теорем першого порядку.
Для теорій першого порядку передбачається, що нелогічні константи мають інтерпретацію в деякому непорожньої поле D. У загальних словах, це означає, що кожна предметна константа іцтерпретіру-ється як деякий фіксований елемент поля D, кожна предметна змінна має D в якості своєї області зміни, символи відносин інтерпретуються як підмножини безлічі D (для будь-якого п) і символи операцій інтерпретуються як функції, визначені на Dn (для будь-якого п) зі значеннями в D. Детальніше це описується оціночної процедурою (що є узагальненням аналогич ної процедури для обчислення предикатів, описаної в § 2.8) для теорій першого порядку.
Мета цієї глави - довести теорему Геделя про повноту (перша форма) - теорему, зворотну до теоремі 14: будь несуперечливе безліч замкнутих формул має модель. Досить довести цю теорему тільки для теорій. Дійсно, нехай Г - довільне несуперечливе безліч замкнутих формул. Тоді Т - теорія першого порядку, причому Т несуперечлива, так як Г несуперечливо.
Ми бачимо, що існування багатьох істотно різних моделей для формалізованої арифметики має щонайменше дві причини; немаксімальность і загальні теореми про існування моделей довільно великих потужностей. Формалізована арифметика не є повним описом безлічі всіх позитивних цілих чисел. Ця неповнота зовсім не є специфічною властивістю формалізованої арифметики. Це загальне явище в метаматематику формалізованих теорій першого порядку, і причини його такі ж, як і в разі формалізованої арифметики. З мети формалізації слід, що теорії першого виду повинні мати багато істотно різних моделей. Але в разі формалізованих теорій другого виду можна було очікувати, що вони будуть мати тільки одну просту семантичну модель (з точністю до ізоморфізму), а саме модель, що була відправним пунктом даної формалізованої теорії. Ми бачили, що, взагалі кажучи, це не має місця.
Ми бачимо, що існування багатьох істотно різних моделей для формалізованої арифметики має щонайменше дві причини: немаксімалиюсть і загальні теореми про існування моделей довільно великих потужностей. Формалізована арифметика не є повним описом безлічі всіх позитивних цілих чисел. Ця неповнота зовсім не є специфічною властивістю формалізованої арифметики. Це загальне явище в метаматематику формалізованих теорій першого порядку, і причини його такі ж, як і в разі формалізованої арифметики. З мети формалізації слід, що теорії першого виду повинні мати багато істотно різних моделей. Але в разі формалізованих теорій другого виду можна було очікувати, що вони будуть мати тільки одну просту семантичну модель (з точністю до ізоморфізму), а саме модель, що була відправним пунктом даної формалізованої теорії. Ми бачили, що, взагалі кажучи, це не має місця.
Епітет елементарна означає, що покладеної в основу теорії логікою є числення предикатів першого порядку. Не вся теорія груп - в прийнятому математиками розумінні цієї дисципліни-формалізується елементарної теорією груп. Справа в тому, що в теорії першого порядку квантори навішуються лише за предметними змінним, а цього виявляється недостатнім для формалізації деяких теорем.
Розглянемо область простору, в якій струм, який має постійну щільність, протікає вздовж осі Ог. Такий струм викликає поява цилиндрически симетричного магнітного поля, напруженість якого залежить від відстані до осі м Сила Лоренца, що діє на частинку, спрямована перпендикулярно до осі або від неї і пропорційна відстані до осі. Так як ми розглядаємо тут тільки теорію першого порядку, то припустимо, що складова швидкості в осьовому напрямку велика в порівнянні з поперечними складовими і залишається постійною.
Ця теорія відома як наближення першого порядку. Відступ дійсного зображення від цієї теорії називається аберацією. У 1855 р теорія першого порядку була розширена включенням умов третього порядку. Теорія третього порядку містить п'ять умов, які слід застосовувати для теорії першого порядку. Коли немає ніяких аберацій і монохроматичне світло проходить через оптичну систему, сума цих п'яти умов дорівнює нулю. Таким чином, зазначена сума забезпечує логічну класифікацію для п'яти монохроматичних аберацій. Крім того, два види хроматичної аберації можуть статися через відмінності між індексом і довжиною хвилі. П'ятьма монохроматичними аберацією є: сферична аберації, несиметрична аберація, астигматизм, кривизна поля і дисторсия.
Теорія першого порядку може бути застосована до інтенсивних переходах і до кристалів, структура яких така, що суми дипольного взаємодії виявляються не дуже малими. В інших випадках, і особливо в разі слабших переходів, необхідно уточнити застосовується теорію в двох відносинах.
зазвичай формалізовані теорії першого порядку містять у своїй мові певний бінарний предикат, який відповідає відношенню рівності і називається знаком рівності.
Для теорій першого порядку передбачається, що нелогічні константи мають інтерпретацію в деякому непорожньої поле D. У загальних словах, це означає, що кожна предметна константа іцтерпретіру-ється як деякий фіксований елемент поля D, кожна предметна змінна має D в якості своєї області зміни, символи відносин інтерпретуються як підмножини безлічі D (для будь-якого п) і символи операцій інтерпретуються як функції, визначені на Dn (для будь-якого п) зі значеннями в D. Детальніше це описується оціночної процедурою (що є узагальненням аналогич ної процедури для обчислення предикатів, описаної в § 2.8) для теорій першого порядку.
Здійсненне) теорія першого порядку двох функцій слідування з предикатами довжини а префікса теж елементарно рекурсивна.
Отже, теорія першого порядку є звуженням обчислення предикатів на ту чи іншу задану область. Аксіоматична система будь-якої конкретної теорії виходить приєднанням специфічних для цієї теорії аксіом до адекватної повної аксіоматичної системі числення предикатів. Це не означає, що теорема числення предикатів обов'язково залишається теоремою в розглянутій теорії.
Буде використана теорія першого порядку багатозначної логіки[9.31], Яка включає систему арифметики і аксіоматичну теорію множин. Крім того, в цьому розділі використовується наступна система позначень.
Елементарна теорія, теорія першого порядку - довільна множина Т пропозицій деякого формалізованого логіко-матеиатіч.
Нехай Т - довільна теорія першого порядку, причому для будь-якого натурального числа п теорія Т має модель, яка містить не менше п елементів. Тоді теорія Т має нескінченну модель.
Проблема здійсненності в теорії першого порядку єдиною одномісній функції не елементарна.
Можливі орієнтації протонів СН2 - групи відносно один одного і накладеного поля Ні. Вищенаведене кількісне виклад теорії першого порядку може бути проілюстровано на прикладі етанолу. Як показано на рис. 7.4 в присутності зовнішнього поля протони СНЗ-групи можуть мати три різні орієнтації відносно один одного і поля: обидва спина спрямовані в бік поля (А) обидва спина спрямовані проти поля ( Б); один спін спрямований в напрямку, а інший проти напрямку поля (Б), причому є два еквівалентних набору для Б, оскільки протони невиразні. Це означає, що кожен з трьох еквівалентних протонів СН3 - групи може взаємодіяти з одним з СНД-протонів, причому останній може знаходитися в одній з цих трьох різних орієнтації. Самі по собі магнітно еквівалентні СН3 - протони дали б лише один сигнал, а насправді вони дають триплет. Слід зазначити, що поява триплетів не має ніякого відношення до того факту, що СН3 - група містить три атома водню.
Можливі орієнтації протонів СН2 - групи відносно один одного і накладеного поля Н0. Вищенаведене кількісне виклад теорії першого порядку може бути проілюстровано на прикладі етанолу. Як показано на рис. 7.4 в присутності зовнішнього поля протони СН2 - групи можуть мати три різні орієнтації відносно один одного і поля: обидва спина спрямовані в бік поля (А); обидва спина спрямовані проти поля (В); один спін спрямований в напрямку, а інший проти напрямку поля (Б), причому є два еквівалентних набору для Б, оскільки протони невиразні. Це означає, що кожен з трьох еквівалентних протонів СН3 - групи може взаємодіяти з одним із СН2 - протонів, причому останній може знаходитися в одній з цих трьох різних орієнтації. Самі по собі магнітно еквівалентні СН3 - протони дали б лише один сигнал, а насправді вони дають триплет. Слід зазначити, що поява триплета не має ніякого відношення до того факту, що СН3 - група містить три атома водню.
Приклад розрахунку кристалічних ефектів другого порядку в антраценом а.
Відповідно до теорії першого порядку кожен взаємодіє рівень зміщений на 375 см 1 від свого становища. Ця величина дуже мала в порівнянні з членом першого порядку в інтенсивному переході, але має значення для слабкого переходу. В цьому випадку не обов'язково вирішувати вікове рівняння точно, тому що недіагональні елемент набагато менше, ніж різниця між діагональними елементами. Величину ефекту можна отримати досить точно за допомогою теорії збурень другого порядку, використовуючи формулу (37), розрахунок за якою дає величину 380 см 1 для зсувів двох рівнів.
Будь-яка роздільна процедура для теорії першого порядку (N,), тобто для арифметики Прес-бургера, вимагає й (з-п) кроків навіть на недетермінірованних машинах Тьюринга.
Перед тим, як уточнити поняття теорії першого порядку за всіма правилами, до яких ми намагаємося привчити читача, попередньо скажімо ще кілька слів. У більшості теорій, які можуть бути аксіоматизована як теорії першого порядку, використовується поняття рівності. Ми покажемо зараз, яким чином теорія рівності приєднується до чистого обчислення предикатів. Згідно інтуїтивного розуміння, співвідношення х у означає, що х і у-це один і той же предмет чи що ш і у суть імена одного і того ж предмета. Виявляється, властивості симетричності і транзитивності рівності можна вивести з підстановлювальний властивості і рефлексивності. Ми встановимо це, представивши у вигляді аксіоматичної теорії числення предикатів першого порядку з рівністю.
Це вказує на важливість згаданого типу моделей в метаматематику формалізованих теорій першого порядку.
Теорію, обмежену розглядом тільки параксіальними променів, називають теорією першого порядку. Реально умови параксіальними майже ніколи не виконуються і це призводить до того, що пучок не можна сфокусувати в точку, тобто завжди має місце кросовер. Обчислення спотворень зображення (аберацій) досить громіздко, і тому ми обмежимося лише якісним розглядом основних ефектів.
Часто говорять, наприклад, що роздільна процедура Тар-ського для теорії першого порядку дійсних чисел[9]складніше, ніж метод істінностних таблиць для обчислення висловлювань. Після того як ми покажемо, що класи (/%) утворюють подразбіеніе елементарних множин, ми зможемо уточнити це твердження.
Другий розділ представляє аксіоматичний підхід до логіки і служить введенням в теорії першого порядку. У ній показано, як числення предикатів перетворюється в основу теорії для вивчення специфічних математичних структур. У цьому контексті викладені деякі фундаментальні питання логіки, природним чином продовжуються в теоретичну інформатику. В Зокрема, це стосується алгоритмічних мов Тьюринга і Геделя, тези Черча, класу обчислюваних функцій і поняття можливості розв'язання.
Семантична і дедуктивна теорії, що задаються деякою системою аксіом, - приклади теорій першого порядку. Розглянемо ще один спосіб завдання теорій, який поряд з аксіоматичним широко використовується в математиці. А саме, нехай зафіксована деяка інтерпретація /сигнатури і. Розглянемо безліч Т (1) замкнутих формул сигнатури Л, істинних в цієї інтерпретації.
Екваціональние теорії напівгруп і яку пов'язують з ними структура виведення можуть трактуватися як подтеоріі теорій першого порядку з рівністю, наділені дедуктивної структурою обчислень першого порядку. З іншого боку, їх легко визначити і незалежно, причому багатьма еквівалентними між собою способами. З метою більшої самостійності викладу ми вибираємо один з таких способів.
Облік тільки двох перших членів розкладання в ряд Тейлора призводить до лінійної теорії або теорії першого порядку. Нелінійна теорія або теорія другого порядку базується на обліку квадратичного члена розкладання.
Автором були вивчені умови впливу деформації зсуву та інерції обертання в декількох коливальних режимах з теорії першого порядку Рейсснера-Мін довжина.
Нехтування членами другого порядку, мабуть, призводить до того, що величини, розраховані за теорією першого порядку, містять помилку порядку Узоо - Сучасні спостереження можуть дати ці величини з більшою точністю, і це змушує ввести в теорію величини другого порядку малості.
Еслч явно не зазначено протилежне, то під теорією ми будемо розуміти протягом цієї глави якусь інтуїционістському формалізовану теорію першого порядку д - &, & ь Щ, Нагадаємо (див. VI, § 10 стр. Яка б не була інтерпретація I, безліч Т (1) дедуктивно замкнуто і, отже, є теорією першого порядку.
Відкриті теорії мають багатьма спеціальними властивостями, відсутніми у довільних теорій, В даному разі вони є найпростішими і регулярними серед теорій першого порядку, В § 15 ми, наприклад, бачили, що фундаментальна теорема 15.4 про існування семантичних моделей для відкритих теорій доводиться набагато простіше, ніж загальна теорема 9.3 про існування семантичних моделей для довільних теорій. У § § 2326 ми наведемо ще деякі особливості, характерні тільки для відкритих теорій.
Менше загальне розщеплення в кубічному полі робить використання LS-зв'язку в теорії кристалічного поля гіршим наближенням, і це призводить до великих розщеплення основних станів у другому порядку (- X3 /10D7) і до великих відхилень (- h /QDq) в значеннях - чинників від значень, що даються теорією першого порядку.
Теорема 8.7. Для будь-якого безлічі замкнутих формул А авто-епістеміческой логіки є ефективно конструктивна теорія з умовчаннями (D, F]і назад, для кожної теорії з умовчаннями (- D F) є ефективно конструктивне безліч замкнутих формул А автоепістеміческой логіки таке, що Е є розширенням теорії з умовчаннями тоді і тільки тоді, коли воно є підмножиною теорії першого порядку для розширень, суворо заснованих на А.
Теорія першого порядку Т називається m - категоричній, якщо Т має хоча б одну модель потужності m і будь-які дві її моделі потужності m ізоморфні.
Теорія Т (1) називається елементарної теорією інтерпретації I. До теорій першого порядку застосовне поняття несуперечності, введене нами для довільних множин формул. З теореми 12 випливає, що якщо теорія суперечлива, то вона містить всі замкнуті формули даної сигнатури. З теореми 13 безпосередньо випливає, що теорія Т несуперечлива тоді і тільки тоді, коли будь-яке кінцеве безліч ACT несуперечливо.
Основна мета цього параграфа - показати, що в певному сенсі різниця між відкритими теоріями і довільними теоріями є несуттєвою. А саме, кожна теорія першого порядку може бути перетворена в відкриту теорію додаванням деякого безлічі нових функторів і заміною аксіом відкритими формулами, що виражають, грубо кажучи, те ж саме математичний зміст.
Перше припущення означає, що в статечному розкладанні в розд. Тому параксіальними теорію іноді називають теорією першого порядку.
На закінчення відзначимо, що розгляд, проведений тут, дійсно тільки для параксіального наближення. Якщо використовується більш широкий пучок, теорія першого порядку неадекватна і необхідно брати до уваги абберраціі (див. Розд. Перед тим, як уточнити поняття теорії першого порядку за всіма правилами, до яких ми намагаємося привчити читача, попередньо скажімо ще кілька слів. В більшості теорій, які можуть бути аксіоматизована як теорії першого порядку, використовується поняття рівності. Ми покажемо зараз, яким чином теорія рівності приєднується до чистого обчислення предикатів. Згідно інтуїтивного розуміння, співвідношення х у означає, що х і у-це один і той же предмет чи що ш і у суть імена одного і того ж предмета. Виявляється, властивості симетричності і транзитивності рівності можна вивести з підстановлювальний властивості і рефлексивності. Ми встановимо це, представивши у вигляді аксіоматичної теорії числення предикатів першого порядку з рівністю.
відкриті теорії володіють багатьма спеціальними властивостями, відсутніми у довільних теорій. У відомому сенсі вони є найпростішими і регулярними серед теорій першого порядку. У § 15 ми, наприклад, бачили, що фундаментальна теорема 15.4 про існування семантичних моделей для відкритих теорій доводиться набагато простіше, ніж загальна теорема 9.3 про існування семантичних моделей для довільних теорій. У § § 2326 ми наведемо ще деякі особливості, характерні тільки для відкритих теорій.
Розглядаючи проходження параксіальними променів через електронні лінзи, ми встановили, що пучки променів, що виходять з однієї точки об'єкта, сходяться в точності в одній точці зображення (стигматичні пучки променів) і що плоскому об'єкту відповідає неспотворене плоске зображення. Теорію, приймаючу до уваги тільки параксіальними промені, називають теорією першого порядку або, запозичуючи назву з оптики, гаусом електронної оптикою. Треба сказати, що теорія першого порядку часто добре виправдовується: досвід показує, що електронні лінзи дійсно можуть давати чітке, малоіскаженное зображення. Проте при ретельному дослідженні виявляються відступу від простих законів теорії першого порядку, що призводять до спотворення зображення або аберації. Аберації мають першорядне значення в питаннях якості зображення і роздільної сили електроннооптіче-ських приладів. Як і в оптиці, дослідження аберацій вимагає дуже громіздких і утомливих обчислень, так що ми змушені тут обмежитись небагатьма зауваженнями.
Вельми ефективний при вирішенні проблеми тотожності слів метод переписувальних правил в значній мірі ігнорувався фахівцями в області доведення теорем через відносно малій сфери його застосування. Було б бажано тому узагальнити цю ідею так, щоб можна було працювати з теоріями першого порядку. Для досягнення цієї мети нам потрібна канонічна система для логічних зв'язок, булевої алгебри і повна стратегія для обчислення предикатів першого порядку.
Спектр ЯМР 13С з внерезонансной розв'язкою від протонів вініл-ацетату з сигналами карбонильного, метанового, метиленового і метильного вуглеців при 1676141 8968 і 20 2 м. Д. Відповідно щодо 13С - сигналу ТМС (не показаний на малюнку. А - розв'язка від Н. 6 - внерезонансная розв'язка від Н, зміщення частоти 3 кГц. Крім того, в деяких експериментах по внерезонансному опроміненню проявляються ефекти другого порядку, що призводять до розщеплення ліній, які не можуть бути інтерпретовані в рамках теорії першого порядку.
Поверхні кращого фокусу, що ілюструють астигматизм лінзи. | Сферична аберація. | Подушкоподібне і бочкоподібне спотворення зображення, створювані системою лінз. Ця теорія відома як наближення першого порядку. Відступ дійсного зображення від цієї теорії називається аберацією. У 1855 р теорія першого порядку була розширена включенням умов третього порядку. Теорія третього порядку містить п'ять умов, які слід застосовувати для теорії першого порядку. Коли немає ніяких аберацій і монохроматичне світло проходить через оптичну систему, сума цих п'яти умов дорівнює нулю. Таким чином, зазначена сума забезпечує логічну класифікацію для п'яти монохроматичних аберацій. Крім того, два види хроматичної аберації можуть статися через відмінності між індексом і довжиною хвилі. п'ятьма монохроматичними аберацією є: сферична аберації, несиметрична аберація, астигматизм, кривизна поля і дисторсия.
Розглядаючи проходження параксіальними променів через електронні лінзи, ми встановили, що пучки променів, що виходять з однієї точки об'єкта, сходяться в точності в одній точці зображення (стигматичні пучки променів) і що плоскому об'єкту відповідає неспотворене плоске зображення. Теорію, приймаючу до уваги тільки параксіальними промені, називають теорією першого порядку або, запозичуючи назву з оптики, гаусом електронної оптикою. Треба сказати, що теорія першого порядку часто добре виправдовується: досвід показує, що електронні лінзи дійсно можуть давати чітке, малоіскаженное зображення. Проте при ретельному дослідженні виявляються відступу від простих законів теорії першого порядку, що призводять до спотворення зображення або аберації. Аберації мають першорядне значення в питаннях якості зображення і роздільної сили електроннооптіче-ських приладів. Як і в оптиці, дослідження аберацій вимагає дуже громіздких і утомливих обчислень, так що ми змушені тут обмежитись небагатьма зауваженнями.
У даній статті ми пропонуємо новий підхід до доведення теорем логіки першого порядку, заснований на методі переписувальних правил для термів. Спочатку розглядається пропозіціональное обчислення і вводиться канонічна переписувати система для булевої алгебри. ця система дозволяє перетворити числення предикатів першого порядку в деяку форму екваціональной логіки і розробити для теорій першого порядку кілька повних стратегій (що працюють як з диз'юнкт, так і з формулами більш загального вигляду), заснованих на процедурі поповнення Кнута - Бендиксен. Що важливіше, наші стратегії можуть одноманітно і ефективно працювати з логікою предикатів і вбудованими (екваціональнимі) теоріями. Ми описуємо також реалізацію цих стратегій і порівнюємо їх з деякими іншими методами доведення теорем першого порядку.
Для теорій першого порядку передбачається, що нелогічні константи мають інтерпретацію в деякому непорожньої поле D. У загальних словах, це означає, що кожна предметна константа іцтерпретіру-ється як деякий фіксований елемент поля D, кожна предметна змінна має D в якості своєї області зміни, символи відносин інтерпретуються як підмножини безлічі D (для будь-якого п) і символи операцій інтерпретуються як функції, визначені на Dn (для будь-якого п) зі значеннями в D. Детальніше це описується оціночної процедурою (що є узагальненням аналогич ної процедури для обчислення предикатів, описаної в § 2.8) для теорій першого порядку.
Мета цієї глави - довести теорему Геделя про повноту (перша форма) - теорему, зворотну до теоремі 14: будь несуперечливе безліч замкнутих формул має модель. Досить довести цю теорему тільки для теорій. Дійсно, нехай Г - довільне несуперечливе безліч замкнутих формул. Тоді Т - теорія першого порядку, причому Т несуперечлива, так як Г несуперечливо.
Ми бачимо, що існування багатьох істотно різних моделей для формалізованої арифметики має щонайменше дві причини; немаксімальность і загальні теореми про існування моделей довільно великих потужностей. Формалізована арифметика не є повним описом безлічі всіх позитивних цілих чисел. Ця неповнота зовсім не є специфічною властивістю формалізованої арифметики. Це загальне явище в метаматематику формалізованих теорій першого порядку, і причини його такі ж, як і в разі формалізованої арифметики. З мети формалізації слід, що теорії першого виду повинні мати багато істотно різних моделей. Але в разі формалізованих теорій другого виду можна було очікувати, що вони будуть мати тільки одну просту семантичну модель (з точністю до ізоморфізму), а саме модель, що була відправним пунктом даної формалізованої теорії. Ми бачили, що, взагалі кажучи, це не має місця.
Ми бачимо, що існування багатьох істотно різних моделей для формалізованої арифметики має щонайменше дві причини: немаксімалиюсть і загальні теореми про існування моделей довільно великих потужностей. Формалізована арифметика не є повним описом безлічі всіх позитивних цілих чисел. Ця неповнота зовсім не є специфічною властивістю формалізованої арифметики. Це загальне явище в метаматематику формалізованих теорій першого порядку, і причини його такі ж, як і в разі формалізованої арифметики. З мети формалізації слід, що теорії першого виду повинні мати багато істотно різних моделей. Але в разі формалізованих теорій другого виду можна було очікувати, що вони будуть мати тільки одну просту семантичну модель (з точністю до ізоморфізму), а саме модель, що була відправним пунктом даної формалізованої теорії. Ми бачили, що, взагалі кажучи, це не має місця.
Епітет елементарна означає, що покладеної в основу теорії логікою є числення предикатів першого порядку. Не вся теорія груп - в прийнятому математиками розумінні цієї дисципліни-формалізується елементарної теорією груп. Справа в тому, що в теорії першого порядку квантори навішуються лише за предметними змінним, а цього виявляється недостатнім для формалізації деяких теорем.
Розглянемо область простору, в якій струм, який має постійну щільність, протікає вздовж осі Ог. Такий струм викликає поява цилиндрически симетричного магнітного поля, напруженість якого залежить від відстані до осі м Сила Лоренца, що діє на частинку, спрямована перпендикулярно до осі або від неї і пропорційна відстані до осі. Так як ми розглядаємо тут тільки теорію першого порядку, то припустимо, що складова швидкості в осьовому напрямку велика в порівнянні з поперечними складовими і залишається постійною.
Ця теорія відома як наближення першого порядку. Відступ дійсного зображення від цієї теорії називається аберацією. У 1855 р теорія першого порядку була розширена включенням умов третього порядку. Теорія третього порядку містить п'ять умов, які слід застосовувати для теорії першого порядку. Коли немає ніяких аберацій і монохроматичне світло проходить через оптичну систему, сума цих п'яти умов дорівнює нулю. Таким чином, зазначена сума забезпечує логічну класифікацію для п'яти монохроматичних аберацій. Крім того, два види хроматичної аберації можуть статися через відмінності між індексом і довжиною хвилі. П'ятьма монохроматичними аберацією є: сферична аберації, несиметрична аберація, астигматизм, кривизна поля і дисторсия.