А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорія - найкраще наближення

Теорія найкращого наближення широко розроблялася в школі Чебишева, в двадцятому столітті вона виросла в сучасну конструктивну теорію функ-шш. Саме для цих досліджень Чебишев ввів названі його ім'ям поліноми.

З теорії найкращих наближень[11.101]відомо, що безперервні і не дуже складні функції можуть бути замінені такими многочленами з високою точністю, свідомо достатньою для технічних завдань. 
До теорії найкращого наближення періодичних функцій //Докл.

Творцем теорії найкращого наближення функцій за допомогою многочленів є російський математик П. Л. Чебишев (1821 - 1894) - один з найбільших представників математичної думки. Їм отримані найбільш глибокі результати в цій області, що зробили винятковий вплив на роботу наступних математиків. Вихідною точкою для створення цієї теорії була робота П. Л. Чебишева з теорії шарнірних механізмів, широко використовуваних в машинах. Вивчаючи такі механізми, він прийшов до задачі розвідки серед усіх многочленів даного ступеня з коефіцієнтом при старшому члені, рівним одиниці, такого многочлена, який менше всіх відхиляється від нуля на заданому відрізку. Такі многочлени їм були знайдені і згодом вченими названі многочленами Чебишева. Ці многочлени володіють багатьма чудовими властивостями і в даний час є могутнім засобом дослідження в багатьох питаннях математики і техніки.

Творцем теорії найкращого наближення функцій за допомогою многочленів є російський математик П.Л. Чебишев (1821 - 1894) - один з найбільших представників математичної думки. Їм отримані найбільш глибокі результати в цій області, що зробили винятковий вплив на роботу наступних математиків. Вихідною точкою для створення цієї теорії була робота П.Л.Чебишева по теорії шарнірних механізмів, широко використовуваних в машинах. Вивчаючи такі механізми, він прийшов до задачі розвідки серед усіх многочленів даного ступеня з коефіцієнтом при старшому члені, рівним одиниці, такого многочлена, який менше всіх відхиляється від нуля на заданому відрізку. Такі многочлени їм були знайдені і згодом вченими названі многочленами Чебишева. Ці многочлени володіють багатьма чудовими властивостями і в даний час є могутнім засобом дослідження в багатьох питаннях математики і техніки.

Однією з найважливіших теорем теорії найкращого наближення функцій за допомогою многочленів даного ступеня є відкрите Чебишевим умова, необхідне і достатнє для того, щоб многочлен найменш ухилявся від даної функції в розглянутому проміжку. Виведемо тут аналогічна умова, необхідне і достатнє для того, щоб ціла функція Sp (х) ступеня р найменш ухилялася від.

Методика базується на використанні теорії найкращого наближення функцій - на застосуванні полиномов, найменш ухиляються від нуля в заданому проміжку. Поліном найменшого ухилення ступеня і з коефіцієнтом при ХП, рівним одиниці, відрізняється тим, що на заданому проміжку його максимальне значення менше, ніж у будь-якого іншого полінома тій же мірі, з коефіцієнтом одиниця при ХП.

Отже, вся отримана нами теорія найкращих наближень застосовна до цієї системи функцій.

Таким чином, сучасний стан теорії найкращого наближення характеризується синтезом алгебраїчних методів з аналітичними методами, і справа в тому, щоб, з одного боку, виділити ті випадки, коли можливо просте формальне рішення, і, з іншого боку, вдосконалити наближені аналітичні методи, які призводять до спільного рішення, як, наприклад, методи Сповнена і Джексона, про які вже говорилося раніше.

З цієї роботи видно також, що теорія найкращого наближення за допомогою функцій кінцевої ступеня є необхідним доповненням і розвитком теорії найкращого наближення за допомогою многочленів. Пропоновані замітки мають на меті встановити деякі нові результати в[цьому напрямку, які частково були викладені мною в листопаді 1944 р в семінарі з конструктивної теорії функцій в МГУ.

Затвердження б) легко обґрунтувати, іспольяуя теорію найкращого наближення (див. У. Bn 1 не існує такої просторової) кривої U, отклоненіе2) якої (включаючи кінці) від будь-гиперплоскости має ire більш п - - 1 локальних екстремумів.

В своїх найважливіших частинах метод базується на використанні теорії найкращого наближення функцій, розробленої акад. Поліном найменшого відхилення ступеня п з коефіцієнтом при ХП, рівним одиниці, відрізняється тим, що на заданому проміжку його максимальне значення менше, ніж у будь-якого іншого полінома тій же мірі з коефіцієнтом одиниця при ХП.

Основоположником зазначеного розділу теорії точності механізмів є П. Л. Чебишев, який розробив теорію найкращого наближення траєкторії точки шатуна до заданої кривої.

У цій же промові, яка може служити, введенням в аналітичній теорії найкращого наближення, ви знайдете, між іншим, що дослідження найкращого наближення змусило мене звернути увагу на деякі нові диференціальні властивості функцій, які я назвав узагальненими умовами Ліпшиця.

Перш за все я викладаю, в можливо більш загальній формі, основні теореми теорії найкращого наближення функцій. Це дозволяє нам в першому розділі, користуючись одним і тим же прийомом, отримати велике число (відомих або нових) екстремальних на даному відрізку властивостей многочленів і раціональних функцій, підлеглих одному або декільком умовам. У цьому розділі міститься алгебраїчна база всієї теорії; але тут зустрічаються вже трансцендентні проблеми.

Така в загальних рисах, від Чебишева до наших днів, картина розвитку теорії найкращого наближення функцій за допомогою многочленів. Що стосується майбутнього, то я вважаю досить імовірним, що згадана щойно загальна асимптотична проблема, що представляє видозміна колишньої алгебраїчної задачі в дусі сучасної теорії функцій, займе центральне місце в подальшому розвитку теорії найкращого наближення.

У такому ж становищі, як диференціальні рівняння, знаходиться, невидимому, і теорія найкращого наближення функцій. Досить вказати, що порівняно елементарна задача, яку поставив собі Золотарьов, призводить до рівняння, алгебраїчно можливо розв'язати лише в окремих випадках, або помітити, що просте питання про побудову прямої лінії, найменш ухиляється в даному проміжку, наприклад від синусоїди, призводить до трансцендентному рівняння. Алгебраїчний метод, дозволивши кілька основних питань, і тут, очевидно, вичерпав найважливіші доступні йому завдання і уперся в глухий кут, з якого немає іншого виходу, як нова постановка проблем у дусі загальної теорії функцій.

Основоположником зазначеного розділу теорії точності механізмів є П. Л. Чебишев 1821 - 1894), який розробив теорію найкращого наближення траєкторії точки шатуна до заданої кривої.

Ми тут стаємо на точку зору теорії функцій і навіть вужче функцій речового змінного, де методи теорії найкращого наближення виявили свою особливу плідність, давши глибоку алгебраїчну базу для вивчення та загальній класифікації безперервних речових функцій.

ЧЕБИШКВА ПОСТІЙНА числова характеристика т - - Т (Л1) компактного безлічі Л па комплексній площині, що вживається в теорії найкращого наближення.

З цієї роботи видно також, що теорія найкращого наближення за допомогою функцій кінцевої ступеня є необхідним доповненням і розвитком теорії найкращого наближення за допомогою многочленів. Пропоновані замітки мають на меті встановити деякі нові результати в[цьому напрямку, які частково були викладені мною в листопаді 1944 р в семінарі з конструктивної теорії функцій в МГУ.

До синтезу кривошипно-ползунного механізму. При вирішенні поставленого завдання для знаходження наближає функції F (x) використовують ряд методів, заснованих на використанні положень з теорії найкращого наближення функцій. Для практичних розрахунків конструктор часто користується рекомендаціями і формулами, розробленими для багатьох механізмів і приводяться в спеціальній літературі.

Знаменитий російський вчений П. Л. Чебишев (1821 - 1894) (в саязі зі своїми чудовими роботами по теорії механізмів, створив новий розділ математики: Теорію найкращого наближення функцій, посилено розробляються в даний час.

Знаменитий російський вчений П. Л. Чебишев (1821 - 1894), в зв'язку зі своїми чудовими роботами по теорії механізмів, створив новий розділ математики: Теорію найкращого наближення функцій, посилено розробляються в даний час. Йому належать також класичні результати в багатьох інших областях математики: теорії ймовірностей, теорії чисел, інтегральному численні. Він перший домігся великих успіхів у вирішенні запеклій проблеми про розподіл прості до чисел, яка понад 2000 років не піддавалася ніяким зусиллям.

Програма, яку намічено мною на початку курсу, не вичерпується перерахованими вище: саме, я обіцяв своїм слухачам, що остання частина курсу буде присвячена питанням, пов'язаним з аналітичним продовженням і його узагальненнями, що розглядаються в світлі теорії найкращого наближення.

Питаннями теорії паралелограмів П. Л. Чебишев займався ще до своєї першої закордонної відрядження, яка відбулася в 1852 р Після повернення з-за кордону він представив в Академію наук мемуар Теорія механізмів, відомих під назвою паралелограмів, в якому вперше була поставлена задача про знаходження розмірів механізму з умови наближеного відтворення заданої залежності і вказано аналітичний метод вирішення цього завдання на підставі розвиненою автором теорії найкращого наближення функцій. Тим самим були закладені основи аналітичних методів наближеного синтезу механізмів.

Щоб ASM була мінімальною, треба зробити її найменш ухиляється від нуля на ділянці ав, що, однак, можливо лише в окремих випадках. З теорії найкращих наближень відомо, що безперервні і не дуже складні функції можуть бути замінені такими многочленами з високою точністю, свідомо достатньою для технічних додатків.

Ця теорема єдиності повинна бути доповнена теоремою існування. В даному випадку (на відміну від відповідної теореми теорії найкращих наближень, даної мною в іншому місці 1) не можна вказати простого необхідного і достатнього умови, яким повинна задовольняти послідовність екстремумів sn /Vn для того, щоб існувала функція виду (2), відповідна їй.

Окружність радіуса R перетинає траєкторію точки М в шести точках. Цей випадок дає можливість вирішити задачу синтезу симетричного кругового направляючого механізму за допомогою теорії найкращого наближення.

Така в загальних рисах, від Чебишева до наших днів, картина розвитку теорії найкращого наближення функцій за допомогою многочленів. Що стосується майбутнього, то я вважаю досить імовірним, що згадана щойно загальна асимптотична проблема, що представляє видозміна колишньої алгебраїчної задачі в дусі сучасної теорії функцій, займе центральне місце в подальшому розвитку теорії найкращого наближення.

У своїй роботі Теорія механізмів, відомих під назвою паралелограмів Чебишев вперше поставив завдання знаходження розмірів параметрів механізму з умов наближеного відтворення ними заданої залежності з найменшим від неї відхиленням і вказав аналітичні методи вирішення цього завдання на основі створеної ним теорії найкращого наближення функцій.

Закінчивши в 1867 р Петербурзький університет, Е. І. Золотарьов почав викладати в ньому, захистив магістерську, потім докторську дисертацію і став професором університету, колегою Коркина і Чебишева, які допомагали швидкому просуванню молодого вченого. Автор кількох книг великого наукового значення по теорії найкращого наближення функцій, по інтегруванню алгебраїчних функцій і теорії цілих комплексних чисел, Е. І. Золотарьов в 1876 р став наймолодшим академіком - йому було 29 років, коли його обрали ад'юнктом Петербурзької академії наук за поданням Чебишева. Ними були написані спільно 4 статті з теорії квадратичних форм і про мінімальному значенні інтеграла.

Відповідь на це питання ствердна. Але побудова всіх функцій, що мають дані Еп (/(х); а, &), представляє великі труднощі. & N En (f (x) а, Ь) Про лише при п п 9 одно 2Z, де є число нерівних між собою даних значень ап при а якщо, ввівши відповідну угоду, приписувати ап певний знакх, то многочлен визначається однозначно цими /значеннями ап. Методу для вирішення цієї зворотної проблеми теорії найкращого наближення, коли всі дані числа ап /0 поки не знайдено.