А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Теорія - конічний перетин
Теорія конічних перетинів отримала детальне розвитку в Конічних перетинах Аполлонія. Це перетин називається еліпсом. Наведене властивість лежить в основі подальших досліджень, що відносяться до еліпсу; н Зокрема, воно поширюється на будь-які діаметри і пов'язані з ними хорди.
Теорія конічних перетинів Аполлонія була покладена в основу Введення Ферма і Геометрії Декарта. У Аполлонія не було загальних довільно взятих координат, але були координатний кут і координатні лінії, завжди орієнтовані по двом сполученим напрямками кривої другого порядку.
До теорії конічних перетинів відноситься також § 83 в гл. IV, де чисто аналітично вирішена задача про проведення кривої другого порядку через п'ять точок, і § § 169177178 гол. VII, в яких розбиття конічних перетинів на три види отримано за допомогою нового і загального методу, причому для цієї мети вперше в книзі явно використовується дискриминант рівняння другого порядку.
Попередні підсумки роботи в зазначених напрямках, доповнені вивченням теорії конічних перетинів і деяких інших питань, Башмакова резюмувала в Лекціях з історії математики в стародавній Греції (Історико-математичні дослідження, XI, 1958), і в подальшому вона не припиняла досліджень в цій області.
Однак астрономія і фізика є не єдиними областями, в яких теорія конічних перетинів відіграє визначну роль. Аналітична геометрія кривих і поверхонь другого порядку може бути поширена з просторів двох і трьох вимірів на простору будь-якого числа вимірів. І тоді, як було виявлено, вся теорія лінійних операторів-небудь у вигляді теорії звичайних лінійних алгебраїчних рівнянь, або звичайних диференціальних рівнянь, або рівнянь в приватних похідних, або інтегральних рівнянь - може бути сформульована у вигляді геометричної проблеми, що відноситься до поверхонь другого порядку. Конічні перетину були, так би мовити, підняті з площини і поміщені на набагато більш піднесене підставу. Простір, з яким ми тепер оперуємо, не є більш простором двох або трьох вимірів, а простором багатьох вимірювань і може бути навіть простором нескінченно великого числа вимірювань. Але поверхні другого порядку, розташовані в цих багатовимірних просторах, все ж мають ті ж основними властивостями, які греки відкрили в своїх дослідженнях про конічні перетини.
Однак астрономія і фізика є не єдиними областями, в яких теорія конічних перетинів відіграє визначну роль. Аналітична геометрія кривих і поверхонь другого порядку може бути поширена з просторів двох і трьох вимірів на простору будь-якого числа вимірів. І тоді, як було виявлено, вся теорія лінійних операторів - або у вигляді теорії звичайних лінійних алгебраїчних рівнянь, або звичайних диференціальних рівнянь, або рівнянь в приватних похідних, або інтегральних рівнянь - може бути сформульована у вигляді геометричної проблеми, що відноситься до поверхонь другого порядку. Конічні перетину були, так би мовити, підняті з площини і поміщені на набагато більш піднесене підставу. Простір, з яким ми тепер оперуємо, не є більш простором двох або трьох вимірів, а простором багатьох вимірювань і може бути навіть простором нескінченно великого числа вимірювань. але поверхні другого порядку, розташовані в цих багатовимірних просторах, все ж мають ті ж основними властивостями, які греки відкрили в своїх дослідженнях про конічні перетини.
Показавши, що певні таким чином лінії збігаються з перетинами конуса, Валліс потім досліджує деякі властивості кривих, не вдаючись більш до теорії конічних перетинів Аполлонія.
Так ми називаємо окремий випадок перетворення, відомого в старовину під назвою перетворення полюсів і поляр - того самого, яке зустрічається в класичній геометрії в теорії конічних перетинів і кривих другого порядку - предмет надзвичайно модному в той час, коли було введено поняття гамильтониана.
Ейлер застосовував термін діаметр в більш загальному сенсі - для позначення прямих, що поділяють навпіл все паралельні між собою хорди і зустрічаючих ці хорди під одним і тим же, взагалі відмінним від прямого, кутом - не тільки в теорії конічних перетинів. До цієї роботи примикає зміст ряду параграфів наступного розділу.
Аполлоній збагатив теорію конічних перетинів багатьма важливими відкриттями, що залишалися неперевершеними протягом 18 століть.
Аполлоній збагатив теорію конічних перетинів багатьма важливими відкриттями, що залишалися неперевершеними протягом вісімнадцяти століть.
Справжнє друге видання другої частини книги суттєво відрізняється від першого в двох відносинах. Ейлера, правильні багатогранники і групи обертань); питання проективної і аналлагматіческой геометрії, а також синтетичної теорії конічних перетинів, що входять до другої частини курсу Адамара (і наявні в першому виданні другій частині), в цьому другому виданні опущені. У той же час у другому виданні книги вміщено повні рішення всіх наявних в тексті завдань.
Конічний перетин являє тоді геометричне місце точок перетину відповідних променів цих проектно пов'язаних між собою пучків. Сподіваюся, що цих небагатьох вказівок буде досить для того, щоб зробити зрозумілим для вас, яке величезне значення проектні перетворення мають для теорії конічних перетинів.
Але до створення системи аналітичної геометрії, до оформлення її як самостійної математичної дисципліни ще було далеко. Ферма абсолютно чітко висуває програму дослідження кривих за допомогою їх рівняння в (декартових) координатах, але в своїй основній роботі, опублікованій лише після смерті, він застосовує новий метод тільки до теорії конічних перетинів, не відкриваючи нових геометричних фактів.
У цьому чудовому творі вже була дана теорема про шестикутнику, вписаному в конічний перетин, яка носить ім'я Паскаля. Останній передбачав розробити повну теорію конічних перетинів і, за свідченням Шаля, отримав зі своєї теореми, яку він називав Hexagramma mysticum, до 400 наслідків. Значення цієї теореми для теорії конічних перетинів надзвичайно велике, так як вона встановлює проектну зв'язок шести точок конічного перетину.
Набагато справедливіше інше - Резерфорда допоміг колишній математичний тренінг у суворого Дж. Кука: в потрібний момент йому пригадалася теорія конічних перетинів - еліпсів, гіпербол, парабол - і з легкістю, здивувала молодого Дарвіна, він застосував до справи апарат аналітичної геометрії.
Теорія конічних перетинів Аполлонія була покладена в основу Введення Ферма і Геометрії Декарта. У Аполлонія не було загальних довільно взятих координат, але були координатний кут і координатні лінії, завжди орієнтовані по двом сполученим напрямками кривої другого порядку. Теорія конічних перетинів, понині є найважливішою темою плоскою аналітичної геометрії, - це одне з найбільших досягнень давньогрецької математики. На неї спиралися в своїх працях не тільки Галілей і Кеплер, Ферма і Декарт, але і Дезарг, Паскаль, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, Лагранж і інші великі вчені.
Ейлер підкреслював в передмові, що його підхід - не користуватися ніякими іншими допоміжними засобами, крім рівняння, що виражає природу кожної кривої лінії - особливо важливий в застосуванні до конічних перетинах, які до сих пір вивчалися або тільки за допомогою геометрії, або за допомогою аналізу, але вельми недосконалим і неприродним шляхом. Такі відгуки про попередників, може бути, занадто суворий щодо Лопиталя і Маклорена, але в цілому цілком виправданий. Сучасному читачеві виклад Ейлера в деяких пунктах повинно здаватися розтягнутим. Однак воно набагато ближче до викладу в наших курсах аналітичної геометрії, ніж до теорії конічних перетинів в тому вигляді, в якому її дають автори першої половини XVIII століття.
Зрозуміло, що математика - не суспільне наука, однак вона не належить і до наук природним. З одного боку, вона відрізняється від них об'єктами вивчення, які ширше, ніж об'єкти природних наук. Її об'єкти - кількісні і просторові відносини, а такі відносини ми знаходимо і в природних і в суспільних науках. З іншого боку, і методи математики різко відрізняються від методів природничих наук. Математика хоча і виходить з спостереження, але це лише спочатку, хоча і повертається до експерименту, але це лише коли вона закінчує дослідження і перевіряє свої висновки на дійсності, на досвіді, на інших науках. Крім того, незважаючи на те, що розвиток математики в кінцевому рахунку визначається потребами суспільства, що розвивається, як правило, дослідження математики далеко випереджають ці потреби і знаходять своє застосування значно пізніше. Наприклад, теорія конічних перетинів була розроблена Аполлонием u в III в. З цього і випливає, що математику не можна зарахувати до природничих наук ні по її предмету, ні за її методам. Але вона дуже близька до природничих наук, так як має з ними спільне походження, має поки що в них найбільш широке застосування, і її розвиток було найбільшим чином стимульоване саме ними.
Теорія конічних перетинів Аполлонія була покладена в основу Введення Ферма і Геометрії Декарта. У Аполлонія не було загальних довільно взятих координат, але були координатний кут і координатні лінії, завжди орієнтовані по двом сполученим напрямками кривої другого порядку.
До теорії конічних перетинів відноситься також § 83 в гл. IV, де чисто аналітично вирішена задача про проведення кривої другого порядку через п'ять точок, і § § 169177178 гол. VII, в яких розбиття конічних перетинів на три види отримано за допомогою нового і загального методу, причому для цієї мети вперше в книзі явно використовується дискриминант рівняння другого порядку.
Попередні підсумки роботи в зазначених напрямках, доповнені вивченням теорії конічних перетинів і деяких інших питань, Башмакова резюмувала в Лекціях з історії математики в стародавній Греції (Історико-математичні дослідження, XI, 1958), і в подальшому вона не припиняла досліджень в цій області.
Однак астрономія і фізика є не єдиними областями, в яких теорія конічних перетинів відіграє визначну роль. Аналітична геометрія кривих і поверхонь другого порядку може бути поширена з просторів двох і трьох вимірів на простору будь-якого числа вимірів. І тоді, як було виявлено, вся теорія лінійних операторів-небудь у вигляді теорії звичайних лінійних алгебраїчних рівнянь, або звичайних диференціальних рівнянь, або рівнянь в приватних похідних, або інтегральних рівнянь - може бути сформульована у вигляді геометричної проблеми, що відноситься до поверхонь другого порядку. Конічні перетину були, так би мовити, підняті з площини і поміщені на набагато більш піднесене підставу. Простір, з яким ми тепер оперуємо, не є більш простором двох або трьох вимірів, а простором багатьох вимірювань і може бути навіть простором нескінченно великого числа вимірювань. Але поверхні другого порядку, розташовані в цих багатовимірних просторах, все ж мають ті ж основними властивостями, які греки відкрили в своїх дослідженнях про конічні перетини.
Однак астрономія і фізика є не єдиними областями, в яких теорія конічних перетинів відіграє визначну роль. Аналітична геометрія кривих і поверхонь другого порядку може бути поширена з просторів двох і трьох вимірів на простору будь-якого числа вимірів. І тоді, як було виявлено, вся теорія лінійних операторів - або у вигляді теорії звичайних лінійних алгебраїчних рівнянь, або звичайних диференціальних рівнянь, або рівнянь в приватних похідних, або інтегральних рівнянь - може бути сформульована у вигляді геометричної проблеми, що відноситься до поверхонь другого порядку. Конічні перетину були, так би мовити, підняті з площини і поміщені на набагато більш піднесене підставу. Простір, з яким ми тепер оперуємо, не є більш простором двох або трьох вимірів, а простором багатьох вимірювань і може бути навіть простором нескінченно великого числа вимірювань. але поверхні другого порядку, розташовані в цих багатовимірних просторах, все ж мають ті ж основними властивостями, які греки відкрили в своїх дослідженнях про конічні перетини.
Показавши, що певні таким чином лінії збігаються з перетинами конуса, Валліс потім досліджує деякі властивості кривих, не вдаючись більш до теорії конічних перетинів Аполлонія.
Так ми називаємо окремий випадок перетворення, відомого в старовину під назвою перетворення полюсів і поляр - того самого, яке зустрічається в класичній геометрії в теорії конічних перетинів і кривих другого порядку - предмет надзвичайно модному в той час, коли було введено поняття гамильтониана.
Ейлер застосовував термін діаметр в більш загальному сенсі - для позначення прямих, що поділяють навпіл все паралельні між собою хорди і зустрічаючих ці хорди під одним і тим же, взагалі відмінним від прямого, кутом - не тільки в теорії конічних перетинів. До цієї роботи примикає зміст ряду параграфів наступного розділу.
Аполлоній збагатив теорію конічних перетинів багатьма важливими відкриттями, що залишалися неперевершеними протягом 18 століть.
Аполлоній збагатив теорію конічних перетинів багатьма важливими відкриттями, що залишалися неперевершеними протягом вісімнадцяти століть.
Справжнє друге видання другої частини книги суттєво відрізняється від першого в двох відносинах. Ейлера, правильні багатогранники і групи обертань); питання проективної і аналлагматіческой геометрії, а також синтетичної теорії конічних перетинів, що входять до другої частини курсу Адамара (і наявні в першому виданні другій частині), в цьому другому виданні опущені. У той же час у другому виданні книги вміщено повні рішення всіх наявних в тексті завдань.
Конічний перетин являє тоді геометричне місце точок перетину відповідних променів цих проектно пов'язаних між собою пучків. Сподіваюся, що цих небагатьох вказівок буде досить для того, щоб зробити зрозумілим для вас, яке величезне значення проектні перетворення мають для теорії конічних перетинів.
Але до створення системи аналітичної геометрії, до оформлення її як самостійної математичної дисципліни ще було далеко. Ферма абсолютно чітко висуває програму дослідження кривих за допомогою їх рівняння в (декартових) координатах, але в своїй основній роботі, опублікованій лише після смерті, він застосовує новий метод тільки до теорії конічних перетинів, не відкриваючи нових геометричних фактів.
У цьому чудовому творі вже була дана теорема про шестикутнику, вписаному в конічний перетин, яка носить ім'я Паскаля. Останній передбачав розробити повну теорію конічних перетинів і, за свідченням Шаля, отримав зі своєї теореми, яку він називав Hexagramma mysticum, до 400 наслідків. Значення цієї теореми для теорії конічних перетинів надзвичайно велике, так як вона встановлює проектну зв'язок шести точок конічного перетину.
Набагато справедливіше інше - Резерфорда допоміг колишній математичний тренінг у суворого Дж. Кука: в потрібний момент йому пригадалася теорія конічних перетинів - еліпсів, гіпербол, парабол - і з легкістю, здивувала молодого Дарвіна, він застосував до справи апарат аналітичної геометрії.
Теорія конічних перетинів Аполлонія була покладена в основу Введення Ферма і Геометрії Декарта. У Аполлонія не було загальних довільно взятих координат, але були координатний кут і координатні лінії, завжди орієнтовані по двом сполученим напрямками кривої другого порядку. Теорія конічних перетинів, понині є найважливішою темою плоскою аналітичної геометрії, - це одне з найбільших досягнень давньогрецької математики. На неї спиралися в своїх працях не тільки Галілей і Кеплер, Ферма і Декарт, але і Дезарг, Паскаль, Лейбніц, Ньютон, Ейлер, Лагранж і інші великі вчені.
Ейлер підкреслював в передмові, що його підхід - не користуватися ніякими іншими допоміжними засобами, крім рівняння, що виражає природу кожної кривої лінії - особливо важливий в застосуванні до конічних перетинах, які до сих пір вивчалися або тільки за допомогою геометрії, або за допомогою аналізу, але вельми недосконалим і неприродним шляхом. Такі відгуки про попередників, може бути, занадто суворий щодо Лопиталя і Маклорена, але в цілому цілком виправданий. Сучасному читачеві виклад Ейлера в деяких пунктах повинно здаватися розтягнутим. Однак воно набагато ближче до викладу в наших курсах аналітичної геометрії, ніж до теорії конічних перетинів в тому вигляді, в якому її дають автори першої половини XVIII століття.
Зрозуміло, що математика - не суспільне наука, однак вона не належить і до наук природним. З одного боку, вона відрізняється від них об'єктами вивчення, які ширше, ніж об'єкти природних наук. Її об'єкти - кількісні і просторові відносини, а такі відносини ми знаходимо і в природних і в суспільних науках. З іншого боку, і методи математики різко відрізняються від методів природничих наук. Математика хоча і виходить з спостереження, але це лише спочатку, хоча і повертається до експерименту, але це лише коли вона закінчує дослідження і перевіряє свої висновки на дійсності, на досвіді, на інших науках. Крім того, незважаючи на те, що розвиток математики в кінцевому рахунку визначається потребами суспільства, що розвивається, як правило, дослідження математики далеко випереджають ці потреби і знаходять своє застосування значно пізніше. Наприклад, теорія конічних перетинів була розроблена Аполлонием u в III в. З цього і випливає, що математику не можна зарахувати до природничих наук ні по її предмету, ні за її методам. Але вона дуже близька до природничих наук, так як має з ними спільне походження, має поки що в них найбільш широке застосування, і її розвиток було найбільшим чином стимульоване саме ними.