А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорія - катастрофа

Теорія катастроф не зводиться до однієї логічної нитки; скоріше вона нагадує тканину з незліченними переплетеними нитками; тут і фізична інтуїція і експеримент, геометрія, алгебра і аналіз, топологія і теорія особливостей відображень і багато іншого. Ця тканина сама воткана в більш складну тканину - теорію динамічних систем.

Теорія катастроф У багатьох фізичних системах положення рівноваги знаходять виходячи з потенціалу: прирівнюючи нулю похідні потенціалу по узагальнених координатах. Теорія катастроф займається вивченням залежності числа положень рівноваги від параметрів задачі, наприклад від навантажень в пружних системах. Теорія катастроф пророкує, що поблизу деяких критичних значень таких параметрів число положень рівноваги змінюється заздалегідь відомим чином і що ці зміни носять універсальний характер для деяких класів потенціалів. Засновником теорії ката строф прийнято вважати французького математика Рене Тома. У будівельній механіці незалежно розвивався свій окремий випадок теорії катастроф, який займався вивченням чутливості критичних навантажень з дефектами структури.

Теорія катастроф вже починає зникати. Тобто теорія катастроф як зв'язкова система знань з групою взаємно відомих один одному фахівців, які працюють над її проблемами, вислизає в минуле, в міру того як її методи міцніше входять в свідомість наукової громадськості. строго чисті математики з тих, хто знайшов і довів головні теореми цього предмета, залишилися чистими, перейшовши в інші області, ближні або далекі, де ще потрібно вирішувати математичні завдання. Є багато областей для подальшої роботи з орієнтацією на додатки; сюди відносяться еквіваріантние катастрофи (катастрофи з симетрії), зв'язок між диференціюється і топологічної еквівалентності, використання нескінченновимірних просторів станів і численні варіанти елементарних катастроф, таких як катастрофи в часі Вассермана[112]і катастрофи з обмеженнями, згадані в гл. Це лише те, що найбільш тісно пов'язано з елементарними катастрофами; але і вся область динамічних систем і теорії біфуркацій отримує все зростаючу увагу. Потенційні можливості для союзу між потужними топологічними методами математиків і потужними чисельними методами (такими як метод кінцевих елементів), що використовуються дослідниками-практиками, величезні.

Теорія катастроф, як і взагалі аналіз, дає числа. Вона також дає відповіді на топологічні питання, а оскільки її винайшли і вперше проповідували топологи, саме на ці відповіді і був зроблений акцент. Як тільки вона була зрозуміла вченими, які мислили в фізичних числах, вводили в неї фізичні числа і задавали їй чисельні питання, теорія катастроф початку доставляти чисельні відповіді. Це просто вираз загальної точки зору на математику в цілому як на тавтологічні, яка потребує гіпотезах, щоб виробляти укладення. Ніяка математична теорема ніколи не дає інформації в сенсі теорії інформації - інформації про те, що щось, що не обов'язково вірне, виявилося вірним в даному випадку - лише експеримент може це зробити.

Теорія катастроф[55]займається вивченням поведінки динамічних систем в області критичних точок. Катастрофами називають різкі, стрибкоподібні зміни стану динамічної системи, що відбуваються при безперервному зміні керуючих змінних, коли їх значення потрапляють в область критичної точки.

Теорія катастроф досліджує стрибкоподібні перехідні процеси будь-яких систем з одного стану в інший.

Теорія катастроф є аналітичну програму вивчення і прогнозування нестійкості систем. Свою назву вона отримала тому, що втрата стійкості може бути катастрофічна, навіть якщо не призводить до руйнування системи, а лише обумовлює перехід до іншого шляху розвитку. програма прогнозування катастрофи в системі може бути побудована на основі даних про зміни і зв'язку змінних, що характеризують поведінку системи.

Теорія катастроф народилася на стику двох дисциплін - топології і математичного аналізу, її джерелами є теорія особливостей гладких відображень X.

Теорія катастроф з самого початку намагалася дати відповідь на питання: чому при плавній зміні деяких параметрів динамічні системи раптом якісно змінюють свою динаміку.

теорію катастроф відрізняють спільність і повнота, дві характеристики, які дуже корисні при дослідженні з позицій загальної теорії систем.

Іноді теорія катастроф дозволяє дати несподівану переформулювання класичних результатів, і така переформулировка часто виявляється корисною в якості основи для подальшого просування вперед: щоб піти вперед, іноді буває необхідно спочатку відійти трохи назад і пройти шлях заново. Прикладом може служити недавня робота Зімана по остійності суден.

В теорії катастроф передбачається, що поведінкою розглянутого процесу управляє деяка потенційна функція у, локальний мінімум якої збігається з точками рівноваги системи.

Джерелами теорії катастроф є теорія особливостей гладких відображень Уїтні і теорія біфуркацій динамічних систем Пуанкаре і Андронова.

І тут теорія катастроф служить потужним новим зброєю - як показує друга половина цієї книги. Вона не заміщає колишні методи, а доповнює їх.

Література з теорії катастроф різноманітна і розкидана по самим різним виданням, а вимоги до читача сильно змінюються від роботи до роботи як по тематиці, так і за рівнем. Ми докладаємо короткий путівник по деяким з найбільш помітних робіт.

Для розуміння теорії катастроф важлива фізична інтуїція. Ми опишемо в цій главі три прості фізичні моделі, що демонструють типові риси катастрофічного поведінки і мають то гідність, що (на відміну від землетрусів і біржових крахів) вони досить прості, щоб їх можна було самому виготовити, і досить невеликі, щоб їх можна було носити з собою.

На можливість застосувати теорії катастроф до дослідження еволюції екосистем вказували ще Том[91, Вэддингтон[104]і Додсон[105], А Зіман[10]і постоїть і Стюарт[11]досліджували як біжать хвилі, так і стабілізацію просторових меж між, наприклад, лугом і лісом. Постої і Стюарт обговорюють також економіку колоній бджіл.

Подібне використання теорії катастроф прояснює суть справи і ілюструє можливості застосування теорії. Такі застосування стануть тоншими і потужними, особливо там, де моделі породжують катастрофи вищого порядку, обумовлені, з експериментальними даними. Але вже ясно, що порівняно прості динамічні системи, неявно закладені в моделювання з катастрофами, не можуть бути достатньою основою для всієї математичної екології. на Насправді остання привертає інтерес провідних фахівців теорії динамічних систем як раз тому, що багато розумні екологічні моделі, оманливе прості на перший погляд, демонструють математично хаотична поведінка (на кшталт того, яке ми обговоримо в § 7 гл.

Спроби застосування теорії катастроф в соціальних науках ставлять нас перед обличчям спільних проблем методології цих наук, а зовсім не вирішують їх автоматично. Замість того щоб намагатися представити тут огляд великого різноманітності ідей і пропозицій, наявних в літературі (багато з них зібрані у Зімана[48]), ми подивимося на прикладах, яким чином теорія катастроф може (або не може) бути з користю застосована в конкретних ситуаціях і як можна перевірити такі її застосування. Спірні питання були останнім часом значною мірою прояснити в результаті бурхливого зростання числа добре обґрунтованих фізичних додатків, який знайшов своє відображення в попередніх розділах; деякі критики соціального контексту теорії висловлювали заперечення загального характеру, і для них ми тепер можемо уявити контрприклади успішного її застосування у фізиці. Це звільняє нас руки для дослідження проблем (а їх безліч), які більш характерні для соціальних наук.

Завдяки розвитку теорії катастроф результати Давида Альбертовича і його співробітників узагальнюються на безліч областей, на перший погляд, зовні далеких від горіння і вибуху, - від механіки полімерів до біологічних явищ. Велике значення мають роботи Давида Альбертовича з теорії плазми. Його популярна книга Плазма - четвертий стан речовини залишається і сьогодні кращим введенням для молоді в фізику плазми.

На можливість застосувати теорії катастроф до дослідження еволюції екосистем вказували ще Том[9], Веддінгтон[104]і Додсон[105], А Зіман[10]і постоїть і Стюарт[11]досліджували як біжать хвилі, так і стабілізацію просторових меж між, наприклад, лугом і лісом. Постої і Стюарт обговорюють також економіку колоній бджіл.

У термінах теорії катастроф таке завдання зводиться до дослідження функціонала при двох керуючих параметрах.

Суть методу теорії катастроф коротко можна проілюструвати наступним чином.

Застосування методів теорії катастроф для вирішення викладеної завдання має важливу перевагу, що полягає в тому, що по початковій ділянці промисловий залежності змісту конденсату в газі, який містить необхідну інформацію про досліджуваному процесі, можна визначити момент виносу конденсату в майбутньому. Ймовірносно-статистичні методи не дозволяють прогнозувати якісна зміна процесу накопичення конденсату в пласті. Для їх застосування необхідно знати поведінку системи до і після критичної точки.

На основі теорії катастроф досліджені ускладнені теплові режими нафтопроводів з порушеною тепловою ізоляцією.

У термінах теорії катастроф таке завдання зводиться до дослідження функціонала при двох керуючих параметрах.

Суть методу теорії катастроф коротко можна проілюструвати наступним чином.

Одні вважають теорію катастроф частиною теорії особливостей, інші, навпаки, включають теорію особливостей в теорію катастроф. Щоб уникнути схоластичного диспуту, я називаю катастрофісти тих, хто сам заявляє, що його робота відноситься до теорії катастроф, надаючи тим самим вільний вибір між термінами особливості, біфуркації і катастрофи самим авторам відповідних робіт.

Застосування запропонованої ним теорії катастроф в біофізики ще не реалізовані.

Для справжнього розуміння теорії катастроф потрібне гарне відчуття геометрії простору багатьох вимірів, підкріплене відповідною алгебраїчної та аналітичної технікою. Воно дає можливість застосовувати геометричний підхід в багатовимірному аналізі - вельми важливу обставину, що дозволяє мотивувати і спрощувати обчислення, пов'язуючи їх з геометричними уявленнями.

З точки зору теорії катастроф ця простота абсолютно брехлива.

Однак ящик Пандори теорії катастроф приховує в собі ще багато різних тварин крім томовской сімки, і деякі з них як раз підходять для подолання цих труднощів.

Як і раніше допускаючи можливість застосування теорії катастроф з принципом зволікання і швидкими стрибками, ми можемо вивести все цікавить нас з рис. 1616. Зіман [157]перший вказав, що межа такого роду, зупиняючись у своєму русі, повинна сповільнюватися зовсім не експоненціально, як, скажімо, робить це маятник з сильним тертям при поверненні в стан рівноваги; межа повинна сповільнюватися параболічно х, зупиняючись в певний момент в певній точці ас.

Слідом за панегіриками теорії катастроф з'явилися в більш тверезі критичні роботи; деякі з них також друкувалися в розрахованих на широкого читача виданнях йод красномовними назвами на кшталт А король-то-голий. Зараз є вже багато статей, спеціально присвячених критиці теорії катастроф.

Слідом за панегіриками теорії катастроф з'явилися і більш тверезі критичні роботи; деякі з них також друкувалися в розрахованих на широкого читача виданнях під красномовними назвами на кшталт А король-то голий. Зараз є вже багато статей, спеціально присвячених критиці теорії катастроф. Гуккенхейме-ра Спори про катастрофах і пародію на критику теорії катастроф.

Ще до поширення теорії катастроф виник новий напрям в природознавстві, представники якого виходили з ідеї еволюційного розвитку природи.

Слідом за панегіриками теорії катастроф з'явилися і більш тверезі критичні роботи; деякі з них також друкувалися в розрахованих на широкого читача виданнях під красномовними назвами на кшталт А король-то голий. Зараз є вже багато статей, спеціально присвячених критиці теорії катастроф. Гуккенхейме-ра Спори про катастрофах і пародію на критику теорії катастроф.

Кілька більш новий для теорії катастроф тип поведінки виникає, коли поверхню катастрофи і рівень порогу мають перетин. Ситуація ж, представлена на рис. 1623 (Ь), дає гистерезис. Якщо керуючоїзмінної служить точка фізичного простору, то в разі рис. 1623 (а) ми маємо кордон, яка буде зсуватися при малих змінах різноманіття катастрофи М згодом в результаті перетину клітинами порога перемикання. У разі ж рис. 1623 (Ь) принцип зволікання дасть в типовому випадку безліч станів, подібне жирної кривої на рис. 1623 (с), з розривом, на положення якого малі зміни М не впливають.

У теорії особливостей (теорії катастроф) доводиться: при проектуванні на площину довільного гладкого об'єкта - поверхні можливі (з точністю до хшлого ворушіння, розсипається складніші проекції) тільки три зазначених типу проекції - звичайна проекція складка та збирання.

У теорії особливостей (теорії катастроф) доводиться: при проектуванні на площину довільного гладкого об'єкта - поверхні можливі (з точністю до малого ворушіння, розсипається складніші проекції) тільки три зазначених типу проекції - звичайна проекція, складка та збирання.

На початку сімдесятих років теорія катастроф швидко стала модною, широко рекламованої теорією, що нагадує універсальністю своїх претензій псевдонаукові теорії минулого століття.

Розглянемо можливість застосування методів теорії катастроф для оперативної діагностики гідродинамічних характеристик потоків газорідинних систем.

Вимагаючи нових чисельних методів, теорія катастроф може в той же час допомогти зрозуміти старі методи; насправді ці два аспекти - дві сторони однієї медалі.

Модель вчений. Однак в більшості робіт з теорії катастроф мова иде /i про куди більш спірної ситуації, коли не тільки невідомо досліджуване відображення, але і саме його існування вельми проблематично.

Якісною особливістю робіт Тома до теорії катастроф є їх своєрідний стиль: передчуваючи напрямок майбутніх досліджень, Том не має не тільки доказами, а й точними формулюваннями своїх результатів. Зіман, палкий шанувальник цього стилю, зауважує, що сенс слів Тома стає зрозумілим лише після того, як вставиш 99 своїх рядків між кожними двома рядками Тома.

У філософському, метафізичному плані теорія катастроф не може принести відповіді на великі проблеми, що хвилюють людину. Але вона заохочує діалектичне, гераклітовскій бачення Всесвіту, бачення світу як театру безперервної боротьби між логосами, між архетипами. Теорія катастроф призводить нас до глибоко політеїстичної погляду: в усьому слід розрізняти руку Богів. І тут, мабуть, теорія катастроф знайде неминучі межі своєї практичної застосовності. Вона розділить, можливо, доля психоаналізу. Немає сумніву, що основні психологічні відкриття Фрейда вірні. Як герой Іліади не міг протистояти волі бога, скажімо Посейдона, не спираючись на міць іншого божества, скажімо Афіни, так і ми не зможемо обмежити дію архетипу, що не протиставляючи йому архетипу-антагоніста в боротьбі з невизначеним результатом. Ті самі причини, які нам дозволяють розташовувати нашими можливостями діяти в одних випадках, засуджують нас на безсилля в інших. Бути може, вдасться довести неминучість деяких катастроф, наприклад хвороб або смерті.