А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорія - група

Теорія груп має дуже важливе значення для спектроскопії саме тому, що всі молекули можна віднести до певних груп симетрії. Симетрія молекули в положенні рівноваги визначається набором елементів симетрії, які є елементами групи симетрії. Симетрію неполімерних молекул можна описати за допомогою точкових груп, тоді як молекулярні та іонні кристали описуються просторовими групами симетрії. У цьому розділі ми розглянемо різні групи симетрії і особливо лінійні групи.

Теорія груп зробила можливим синтез геометричних і алгебраїчних праць Монжа, Понселе, Гаусса, Келі, Клебша, Грассмана і Рімана. Ріманова теорія простору, яка дала так багато для побудови Ерлангенском програми, надихала не тільки Клейна, а й Гельмгольца і Лі. Гельмгольц в 1868 і 1884 рр. піддав вивченню рнманово поняття простору, частково в пошуках геометричного образу для його теорії кольорів, почасти в пошуках походження наших зорових оцінок відстані.

Теорія груп вивчає властивості дій (наприклад, складання векторів, послідовне виконання перетворень) безвідносно до природи як дії, так і об'єкта, з яким виконується остання. В теорії груп вивчаються дії, що володіють тим властивістю, що об'єкти дій і результати їх належать групі.

Теорія груп має дуже важливе значення для спектроскопії саме тому, що всі молекули можна віднести до певних груп симетрії. Симетрія молекули в положенні рівноваги визначається набором елементів симетрії, які є елементами групи симетрії. Симетрію неполімерних молекул можна описати за допомогою точкових груп, тоді як молекулярні та іонні кристали описуються просторовими групами симетрії. У цьому розділі ми розглянемо різні групи симетрії і особливо лінійні групи.

Теорія груп, що діють на R-деревах була використана також для доведення теореми Терстона про геодезичних ламінація в просторі Тейхмюллера.

Теорія груп Лі, якій присвячена ця стаття, відноситься до числа класичних, добре розроблених розділів математики. Ця теорія виникла в кінці минулого століття в роботах С.

Теорія груп - відносно нова галузь математики, яка зобов'язана своїм народженням теорії поліноміальних рівнянь. Квадратні рівняння вирішувалися ще вавилонянами більш ніж за тисячу років до Різдва Христового. Греки, більш цікавилися геометрією, не внесли великого внеску в цей предмет.

Теорія груп виникла з необхідності знайти апарат для вивчення таких важливих закономірностей реального світу, як закономірність симетрії.

Теорія груп виникла порівняно давно: в кінці XVIII і початку XIX ст. Спочатку вона розвивалася лише як допоміжний апарат для завдання про рішення рівнянь вищих ступенів в радикалах. Це було викликано тим, що саме у зазначеній задачі вперше було помічено, що властивості рівноправності, симетрії коренів рівняння є основними для вирішення всієї завдання.

Теорія груп (в якій, крім асоціативності, є ще аксіоми існування одиниці і зворотного), також нерозв'язна, але доказ цього складніше, ніж для напівгруп. Це й не дивно, оскільки з нерозв'язності теорії груп формально виводиться нерозв'язність теорії напівгруп, як показує наступне завдання.

теорія груп лише поступово зросла в точну теорію; на перших етапах вказане вище властивість комбінування було єдиним властивістю, що відрізняє групи.

Теорія груп виникає всюди, де ми стикаємося з симетрії. Вона дозволяє описувати симетрії об'єкта за допомогою відповідної групи. Наприклад, говорячи про додекаедр альної симетрії даного об'єкта, ми маємо З причини, що його група симетрії ізоморфна групі симетрії додекаедру.

Теорія груп і її додатку -, вання до квантово-механічної теорії атомних спектрів.

Теорія груп, розроблена Маршака та Раднер, стосується тієї ж самої проблеми. Вони розглядають такі ситуації, де взаємозалежні рішення приймаються децентралізовано двома і більше персонами, які мають спільну мету і які, з певними витратами, можуть передавати один одному інформацію про свої дії і про тих сферах зовнішнього середовища, з якими вони мають справу. Таким чином, проблема полягає в знаходженні оптимальної стратегії комунікації з урахуванням зазначених припущень про величину комунікаційних витрат і платежів.

Теорія груп дозволяє не тільки визначити, з якого НП перетворюється кожна лінійна комбінація, але, що дуже важливо, з її допомогою вдається побудувати самі комбінації.

Теорія груп не дає ніякої інформації ні про значеннях коефіцієнтів з і с2 ні про енергії орбіталей.

Теорія груп не дає ніякої інформації ні про значеннях коефіцієнтів з і с2 ні про енергіях орбіталей.

Теорія груп - один з важливих розділів сучасної алгебри, має велике значення в квантово-механічної теорії атомів і молекул. На основі властивостей симетрії, властивих часткам даного виду, і на основі відомої залежності тих чи інших операторів і параметрів хвильових функцій від таких властивостей симетрії теорія груп нерідко дає можливість виконати потрібний розрахунок значно доступнішими шляхами або отримати шуканий результат, коли інші шляхи є взагалі недоступними.

Теорія груп і її застосування у фізиці, Гостехиздат.

Теорія груп дозволяє не тільки провести класифікацію термів будь симетричною фізичної системи, але і дає простий метод знаходження правил відбору для матричних елементів різних величин, що характеризують систему.

Теорія груп і сучасна алгебра взагалі рясніє цікавими можуть бути розв'язані і нерозв'язними проблемами. При цьому багато хто з них стосуються властивостей слів і утворюють, подібних з проблемою слів.

Теорія груп дозволяє не тільки провести класифікацію термів будь симетричною фізичної системи, але і дає простий метод знаходження правил відбору для матричних елементів різних величин, що характеризують систему.

Теорія груп Лі, Гостехиздат.

Теорія груп Лі дозволяє підійти до інваріантного вивчення цього важливого окремого випадку.

Теорія груп застосовується тут набагато ширше, ніж в хімії молекул. У той же час можливість вивести закономірності спектра мас частинок з фундаментальних принципів, скажімо з геометродинаміки, тут значно більше проблематична, ніж можливість розрахувати енергію зв'язку молекули за допомогою рівняння Шредін-гера.

Теорія груп дозволяє якісно досліджувати ряд властивостей молекулярної системи, не вдаючись до конкретних обчислень. Однак і при проведенні розрахунків залучення теорії груп також веде до значних спрощень. Уже давно відомо, що облік властивостей симетрії молекулярної системи при просторових перетвореннях має важливе значення в квантовій механіці молекул.

Теорія груп широко використовується в теоретичній фізиці, особливо в квантовій механіці і в теорії елементарних частинок. Перш за все, як ми зараз бачили, симетрія щодо груп перетворень пов'язана з законом збереження фізичних величин. Ці закони збереження в їх груповий інтерпретації корисні при класифікації елементарних частинок і їх взаємодій. якщо симетрія, властива незбурених гамільтоніану (в теорії збурень, см. лекції 21 - 23), порушується при накладенні обурення, то зняття вихідного виродження рівнів можна визначити, виходячи з поведінки обурює гамильтониана щодо розглянутих груп перетворень.

Теорія груп в тій формі, в якій вона представляє для нас інтерес, використовує значною мірою матричні позначення, так що ми спочатку викладемо елементи матричної алгебри, причому зробимо упор на матриці, пов'язані з лінійними перетвореннями координат.

Теорія груп є розділом математики, який застосовується до деяких задач, що задовольняє певним вимогам. Є багато проблем, що представляють інтерес для хіміка, до яких можна підійти з допомогою цього методу. Сюди відносяться: опис молекулярних коливань, класифікація молекулярних електронних орбіталей, висновок правил відбору для переходів в інфрачервоних спектрах і спектрах комбінаційного розсіювання та електронних переходів, складання гібридних і молекулярних орбіталей, висновок розщеплення в кристалічному полі і численні інші застосування. Ми викладемо тут коротко основні поняття, необхідні для правильного використання таблиць характерів в спектроскопії.

Зникаючі цикли функції х3 у2.

Теорія груп відображень є добре розроблений відділ математики. Якщо кут між ними непорівнянний з 2п, то число різних перетворень, отриманих комбінуванням відображень в цих дзеркалах, нескінченно а якщо порівняємо - то звичайно.

Теорія груп відображень є добре розроблений відділ математики. Розглянемо, наприклад, на площині два дзеркала. Якщо кут між ними непорівнянний з 2я, то число різних перетворень, отриманих комбінуванням відображень в цих дзеркалах, нескінченно, а якщо порівняти - то звичайно. Точно так же в тривимірному просторі знайдені всі розташування проходять через Про дзеркал, які породжують кінцеве число перетворень; класифікація таких розташувань відома і за будь-якої розмірності простору.

Теорія груп почала активно викорис-групова чума зоваться в квантовій механіці (а потім і в квантової хімії) з другої половини 20 - х років. Вігнер, який отримав в 1963 р за роботи по застосуванню теоретико-групових методів у квантовій механіці Нобелівську премію, розробив в 1927 - 1930 рр. деякі правила систематики енергетичних рівнів в атомах.

теорія груп відображень є добре розроблений відділ математики. Розглянемо, наприклад, на площині два дзеркала. Якщо кут між ними непорівнянний з 2я, то число різних перетворень, отриманих комбінуванням відображень в цих дзеркалах, нескінченно, а якщо порівняти - то звичайно. Точно так же в тривимірному просторі знайдені всі розташування проходять через Про дзеркал, які породжують кінцеве число перетворень; класифікація таких розташувань відома і за будь-якої розмірності простору.

Теорія групи Кліффорда ([Г I, И V ]) Показує, що комутаційне співвідношення типу (2.7) з вільними полями визначає smn єдиним чином з точністю до постійного множника.

З теорії груп Лі відомо, що існує тісний зв'язок між диференціювання і автоморфізм скінченновимірних алгебр над полем дійсних чисел. А саме, алгебра Der A в цьому випадку є не що інше як алгебра Лі групи автоморфізмів алгебри А.

В теорії груп це безліч прийнято називати правим суміжним класом групи G по підгрупі Я.

В теорії груп Лі доводиться мати справу безпосередньо лише з алгебра Лі над йолем дійсних чисел. Тому становить інтерес виділити властивості, що мають місце для алгебр над таким полем. Визначення нильпотентних і семірегулярних елементів не залежали від основного поля, і ми їх залишаємо незмінними.

В теорії груп виключно важливими є випадки, коли або сама група конечна, або всі її елементи мають кінцеві порядки. У цих випадках група володіє природними арифметичними характеристиками такими, як порядок, порядки підгруп і порядки елементів, які багато в чому визначають будову і властивості самої групи.

Еквівалентні точки (п - г4 в просторі навколо молекули формальдегіду. Відповідно до теорії груп все молекули поділяються на групи симетрії в залежності від наявності у них елементів симетрії, наприклад: осей, обертання навколо яких на кут 2а /п (п - Ціле число) переводить молекулу в еквівалентну положення; площин, відображення в яких дає той же результат; центрусиметрії, інверсія в якому (операція, при якій точка з координатами до, у, г переходить в точку з координатами - х, - у, - г) дає той же результат. Групи симетрії характеризуються так званими непріводімимі уявленнями (НП) - наборами матриць, що показують, як перетворюються функції при операціях симетрії, і характерами НП - сумами діагональних елементів матриці.

Нарешті теорія груп дозволяє істотно знизити порядок розв'язуваних рівнянь при використанні симметризовавший (перетворюються по непріводімим уявленням групи симетрії системи) функцій завдяки тому, що матричні елементи операторів, обчислені з такими функціями, задовольняють деяким співвідношенням загального характеру.

В теорії груп зазвичай розглядають лише пряме твір підгруп А X В одній і тій же групи С, так як при розгляді симетрії молекул цього виявляється достатньо. Ця вимога відсутня в визначенні Напівпряма твори двох підгруп однієї і тієї ж групи. Легко показати, що операції точкової групи і трансляції на вектори грати не комутують.

З теорії груп відомо, що пов'язані сукупності групи по інваріантної підгрупі можна розглядати як елементи деякої нової групи (фактор-групи), в якій інваріантна підгрупа грає роль одиничного елемента. Порядок фактор-групи дорівнює індексу інваріантної підгрупи, або відношенню порядку групи до порядку підгрупи. Це означає, що між елементами груп Фо /Га і G0 існує взаємно-однозначна відповідність. Так, елементу Е групи С0 відповідає вся група трансляцій Т а (одиничний елемент фактор-групи), елементу gi групи G0 - сукупність елементів gi a.

В теорії груп ці суми називаються характерами, розглянутих непріводімих уявлень (див. Стор. При складанні цих характерів приймається, що нормальні координати або власні функції взаємно ортогональні. Характеру не залежать від вибору ортогональної пари (наприклад, в разі молекули типу Х3 характер не залежить від того, вибирається чи пара, зображена на фіг.

В теорії груп вводиться корисне поняття класу сполучених елементів. елемент G, називається зв'язаним з елементом GJ, якщо знайдеться елемент X, такий, що XGiX - l Gj. Парні елементи утворюють клас . у зв'язку з використанням теорії груп у квантовій хімії ми будемо часто розглядати точкові групи симетрії. Це такі групи, елементами яких є перетворення простору, які залишають нерухомою одну точку і перетворять деякі геометричні фігури самі в себе.

Відповідно до теорії груп, властивості симетрії даної молекули дозволяють вирішити питання про те, чи сумісна вона зі своїм дзеркальним зображенням чи ні.

В теорії груп має місце наступна дуже важлива теорема. Для групи G порядку т, елементи якої утворюють г різних класів спряжених елементів, існує рівно г попарно нееквівалентний непріводімих уявлень.

З теорії груп відомо, наприклад, що в разі синглетних (я, я) - станів ці переходи повинні бути поляризовані в площині молекули, а в разі синглетних (я, о) - і (а, а) - станів це обмеження знімається і стає можливої поляризація поза площиною. Однозначне визначення характеру поляризації фосфоресценції дає суттєві аргументи за чи проти участі таких станів в процесах триплет-синглетного випускання і поглинання. Однозначні кореляції між станами, які спостерігаються, і станами, які передбачені теоретично, можуть бути зроблені тільки на підставі вимірів характеру поляризації різних переходів. Теорія груп дозволяє передбачити типи симетрії деяких передбачуваних квантових станів молекули. Аналогічним чином можуть бути передбачені типи симетрії, до яких відносяться вектори моментів різних переходів. Таким чином, можна визначити, дозволений або не вирішено даний перехід при певному характері поляризації. І навпаки, якщо характер поляризації вже відомий, то тим самим визначена і симетрія верхнього стану, так як нижнім станом зазвичай служить повністю симетричне основний стан.

В теорії груп прийнято називати досконалої яку групу, все автоморфізм якої є внутрішніми і центр якої складається з одиничного елемента. Якщо підгрупа Н досконала і инвариантна в G, то Н є прямим множником групи О. За аналогією ми будемо називати алгебру Лі досконалої, якщо всі її диференціювання внутрішні, а центр нульовий.

В теорії груп доводиться сильніше твердження, зване теоремою Лі, яке формулюється в такий спосіб.