А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорема - Енгель

Теорема Енгеля для бінарному Лієв алгебр.

Теорема Енгеля може бути виведена з наступного результату, який цікавий і сам по собі.

З теореми Енгеля слід не тільки можливість розв'язання, а й нильпотентних всякої уніпотептной лінійної алгебри Лі. Визначення пільпотент-співай алгебри Лі см. У вправі 1216.) Справді, легко бачити, що алгебра Лі нільтреугольних матриць нильпотентна. Слідство 1 теореми Епге-ля показує, що будь-яка уніпотентная лінійна алгебра Лі ізоморфна деякій її подалгебре і тому також нільпотентпа. Однак зворотне невірно: існують нільпотентні лінійні алгебри Лі, які не є упіпотент-ними, наприклад алгебра трикутних матриць з однаковими елементами на діагоналі.

З теореми Енгеля слід, що скінченновимірна алгебра Лі Я нильпотентна тоді і тільки тоді, коли ad a 0 при недо-ром гс і всіх р я т - е - коли будь-який я.

Затвердження тоді доводиться за допомогою слідства 1 теореми Енгеля.

Перша частина теореми випливає з завдання 15 і наслідків теореми Енгеля.

Теорема 17.5 і її наслідок можуть розглядатися як точний аналог теореми Енгеля для алгебр Лі. Ми можемо також довести хороший аналог теореми Лі (якщо накладемо припущення про зв'язок); це вдається зробити в довільній характеристиці, хоча відповідна теорема для алгебри Лі в позитивній характеристиці не має місця.

Для подальшого нам знадобляться вправи 141.8 н 1.9. Крім цього будуть потрібні лише елементарні результати і теорема Енгеля про те, що якщо приєднаний ендоморфізм ad а будь-якого елементу а з 8 нільпотентен, то алгебра 8 ннльпотентна.

Доказ буде приведено в наступному пункті. За допомогою теореми Енгеля легко довести нильпотентних алгебри n (n, F), що не обчислюючи її регресний центральний ряд в явному вигляді.

Тепер ми готові до того, щоб отримати потужний критерій можливості розв'язання алгебри Лі L в термінах слідів деяких її ендоморфізм. У свою чергу, теорема Енгеля стверджує, що алгебра[L, L ]нильпотентна, якщо (і тільки якщо) всі оператори ad[L L ]х, х Е[L, L ], Нильпотентних.

I (том II) слід, що уявлення а полуприем. Елементи з а (т), очевидно, нильпотентних; тому з слідства 1 теореми Енгеля (§ 1 гл.

О, якщо ft повторюється як співмножник досить велике число раз. Тоді обмеження adsft перетворення ad ft на 23 нильпотентних, і ідеал 23 нільпотентен по теоремі Енгеля.

Так як всі прості уявлення , що містяться в р, є нульовими уявленнями (наслідок 2 теореми Енгеля, § 1 гл.

Значить, ендоморфізм adL х нільпотентен при x E[L, L ]; ендоморфізм ad[L L ]x тим більше нільпотентен, так що алгебра[L, L ]нильпотентна по теоремі Енгеля .

Наступна лема має деяку схожість з теоремою Енгеля.

нехай X - елемент з г, такий, що р (Х) нільпотентен, і нехай X - його клас (modn); тоді і т (ЛГ) нільпотентен. нехай - такий ідеал в g, що всі елементи з p (Ij) нильпотентних; тоді нильпотентних будуть також всі елементи з про (fy) (1 /г), звідки а (ф) 0 оскільки уявлення про просте (наслідок 1 теореми Енгеля , § 1 гл.

Простір V є пряма сума простору W і деякого допустимого підпростору W. Тоді оператори з рг () нильпотентних, але жоден ненульовий елемент з W не анулюється за всіма цими операторами. З теореми Енгеля слід, що W 0 так що W V, і наслідок 1 доведено.

Ми бачили, що розмірність фіттінговой нуль-компоненти лінійного перетворення А дорівнює кратності кореня 0 характеристичного многочлена /(X) det (Xl - А) перетворення А. Отже, елемент h регулярний тоді і тільки тоді, коли кратність характеристичного кореня 0 для ad h мінімальна . Зауважимо також, що алгебра 8 має ранг, рівний розмірності над основним полем, в тому і тільки в тому випадку, коли кожен ендоморфізм ad А нільпотентен. По теоремі Енгеля ця умова виконується тоді і тільки тоді, коли 8 - нильпотентна алгебра Лі. Регулярні елементи можуть бути використані для конструювання подалгебр Картана в силу наступного твердження.