А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорема - Шаудера

Теорема Шаудера (див., Наприклад,[66]) Говорить, що кожне безперервне відображення в себе опуклого компакта має принаймні одну нерухому точку.

Теорема Шаудера - Тихонова відрізняється від теореми Маркова - Какутані тим, що в ній бере участь тільки одна відображення і натомість, однак, на це відображення і не накладається ніяких обмежень, окрім безперервності.

Звідси застосуванням теорем Шаудера і Каччіополі виходять теореми існування і теореми єдиності рішення рівняння (1 + 1); крім того, доводяться деякі теореми існування шляхом порівняння нелінійного рівняння з деяким лінійним рівнянням.

Добре відомі додатки теореми Шаудера про нерухому точку, яка є узагальненням класичної теореми Брауера і в свою чергу узагальненої А. Н. Тихоновим; теореми Банаха про стискають відображеннях і можливі її узагальнення; додатки методу Лері - Шаудера. Їх подальший розвиток в роботах Смейла, Атьі, Браудера дозволило перенести згадані результати на поля операторів; в їх конструкції центральне місце належить компактності.

Тоді існування нерухомої точки випливає з так званої слабкої теореми Шаудера, яка буде доведена для випадку гильбертова простору. Зрозуміло, треба знайти замкнутий опукле безліч, яке відображення Ф переводить в себе. Це можна зробити, якщо коефіцієнт тертя досить малий. Наведемо також оцінки (без доказів) для коефіцієнта тертя, які підходять під цю теорію і задовольняють практичним вимогам. Ми розглянемо всі основні ідеї доказів.

Застосовуючи до перетворення А опуклого компакта Ф в себе теорему Шаудера про нерухому точку, отримуємо, що рішення і (х) нашого завдання існує.

Наш третій головний результат (теорема 361) полягає в згаданій вище теоремі Шаудера - Тихонова. У цій теоремі послаблюється умова лінійності, що накладається на відображення, тому вона має більшу спільністю.

Довести компактність безлічі /С і потім застосувати попередню вправу разом з теоремою Шаудера - Тихонова.

В силу обмеженості функцій //нелінійний оператор (2) задовольняє умовам теореми Шаудера про нерухому точку[3], Що гарантує існування хоча б одного рішення.

Оператор Л, пов'язаний з компактним оператором А в банаховому просторі, компактний (теорема Шаудера), проте в загальному випадку це невірно навіть в ЛВП.

Пізніше Фан[1]отримав теорему, яка узагальнює одночасно теорему Какутані (з скінченновимірних на безконечномірні простору) і теорему Шаудера - Тихонова.

Так як безліч функцій Ф є компактним в С (Пт), то оператор Ф є цілком безперервним і по теоремі Шаудера[38]має нерухому точку. З рівняння для різниці двох можливих рішень (тобто при rjQ h 0), в силу оцінки (227) і (228) випливає, що це рішення буде єдиним в цій області.

Існують і інші узагальнення принципу Шаудера, в тому числі на багатозначні відображення, однак у всіх випадках необхідно передбачати опуклість безлічі С, без чого теорема Шаудера і її узагальнення стають невірними. Можливо комбінування принципу Ша-утечемо і принципу стискаючих відображень. Нехай оператор F, що перетворює обмежене замкнутий опукле безліч З банахових просторах X в себе, можна представити у вигляді FjF1 F.

Тому, якщо в якості обмеженого замкнутого опуклого безлічі S взяти куля в L2[a, b ]з центром в нулі і радіусом, рівним правій частині (8), то будуть виконані всі умови теореми Шаудера.

Докази в[31]і теореми 12.5 здійснені в припущенні лінійного росту функції f (x, у, і, р, q), аналогічного (1227), і засновані на оцінках в С1а для лінійних рівнянь і теоремі Шаудера про нерухому точку. Ів[31], І в теоремі 12.5 не робляться апріорні припущення про рішення.

Теорема Шаудера часто використовується при застосуванні ітераційних методів до так званим монотонним операторам.

Побудована локально опукла хаусдорфова топологія в лінеаризованому просторі опуклих компактів з векторного топологічного простору. Доведено аналоги теорем Шаудера, Майкла і Крейна-Міллмана для багатозначних відображень з опуклими значеннями.

Ядро не рахується симетричним. В основі дослідження лежить теорема Шаудера про існування нерухомої точки при безперервному перетворенні замкнутого, опуклого безлічі лінійного, нормованого, повного простору в його омпактную частина і теорема Каччіополі про єдиності нерухомої точки. Автор веде дослідження паралельно в L2 і в просторі С безперервних функцій.

Морри, використовуються оцінки зростання інтеграла Дирихле. Ідея застосування таких апріорних оцінок в Clf0f для лінійних рівнянь до вивчення задачі Діріхле для квазілінійного рівняння (1240) з'явилася в роботі f204], проте в цій роботі є помилка. Ідея була реалізована і спрощена в деталях Ніренбергом, який, використовуючи теорему Шаудера про нерухому точку, довів, загальну теорему існування.

Очевидно, що функція f (z) неперервна і обмежена. Тоді в силу гладкості АП та граничних умов завдання (260) єдино можна вирішити в С1 С (П) ЛГ, тобто і (х) С1 С (П) ЛГ. В силу компактності вкладення С1 С (П) С С (П) і безперервності F (z) звідси випливає, що оператор Т є цілком безперервним (компактним) оператором. Тоді, згідно з теоремою Шаудера (див. Хатсон і Пім[68]), Оператор Т має нерухомою точкою і Ті з і S С (П) ЛГ.