А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Теорема - існування
Теореми існування і єдиності мають принципове значення, гарантуючи законність застосування якісних методів теорії диференціальних рівнянь для вирішення задач природознавства і техніки. Вони є обґрунтуванням для створення нових методів і теорій.
Теореми існування для одного загального класу функціональних рівнянь (італ. Теорема існування є центральною (в теорії (квазіконформних відображень. Наведене вище доказ теореми 8 слід методу М. А. Лаврентьєва (з відповідними додатками), застосованого ним для доказу існування відображень із заданими безперервними характеристиками, на яке ми спиралися. Аль-форсом[2]і ґрунтується на застосуванні деяких сингулярних інтегралів (такого сорту інтеграли ми будемо розглядати далі в гл.
Теорема існування показує, що якщо ЛР - звичайна точка рівняння, то система має тільки одне рішення. Таке завдання, якщо число незалежних умов одно порядку рівняння, має тільки одне рішення.
Теореми існування для диференціальних рівнянь з приватними похідними часто зводяться до можливості розв'язання рівнянь у відповідних функціональних просторах. У шаудеровской теорії лінійних еліптичних рівнянь ми будемо використовувати дві основні теореми існування для операторних рівнянь в банахових просторах, а саме принцип стискають відображень і альтернативу Фредгольма.
Теореми існування, встановлені в попередніх розділах для довільних гладких обмежених областей, були отримані в припущенні рівномірної еліптичності диференціального оператора L. Коли рівняння перестає бути рівномірно еліптичних, умови можливості розв'язання є більш обмежувальними; в загальному випадку вони містять обмеження на геометрію розглянутої області або встановлюють зв'язок між нею і диференціальним оператором.
Теореми існування і єдиності § 1 викладаються в різних підручниках і давно і добре відомі. Результат теореми 1.3 - стійкість генерального показника нелінійного рівняння при нелінійних збурень - фактично міститься в роботах Боля (див. Коментар до гл. Більш приватними (по кілька більш точними) є результати теорем 2.1 і 3.1 (М. Г. Крейн[2]І Лекції) , Метод, наведений у другій з них, використовує інтегральні нерівності ( подібний метод фактично використовував вже Біль; див. коментар до гл. Метод доведення теореми 2.1 є узагальненням методу Ляпунова, так само як і метод доведення теореми 2.2 (див. Лекції), узагальнюючий іншу відому теорему Ляпунова - теорему про нестійкість. В описаних теоремах § § 2 3 збурює член має перший порядок малості.
Теорема існування в цілому для нелінійної системи і індекс дефекту лінійного оператора, Сибірський матем.
теореми існування і єдиності цілком визначають інтеграл рівняння всередині деякої кінцевої окружності, тобто дають, з точки зору Вейерштрасса, елемент аналітичної функції. Побудуємо всі аналітичні продовження цього елемента і покажемо, що якщо вихідний елемент функції задовольняє деякому диференціальних рівнянь, то того ж рівняння задовольняють і все продовження цього елемента, тобто аналітична функція в цілому є інтеграл одного і того ж диференціального рівняння.
Теорема існування 221 гарантує існування деякого б0 такого, щоб рішення диференціального рівняння (221) мало областю визначення /в tt - ta Z. Для того щоб отримати поняття рішення з фіксованими початковими значеннями і найбільшим інтервалом визначення, дається поняття продовження рішення і доводиться існування іспродолжаемого рішення.
Теореми існування гармонійних або аналітичних функцій на ріманової поверхні, викладені в гл.
Теорема існування для многочленів (3) доводиться аналогічно теоремі 1.1 Але можна вчинити по-іншому.
Теореми існування і єдиності рішення початкової задачі для одного рівняння першого порядку, дозволеного щодо похідною.
Теореми існування для диференціальних рівнянь, що вживаються тут, в дійсності мають місце тільки в аналітичному випадку.
Теорема існування та єдиності розв'язку завдання Ко-ши узагальнюється і на рівняння вищого порядку.
Теорема існування та єдиності для таких рівнянь доводиться так само, як для стандартних стохастичних диференціальних рівнянь.
Теорема існування (нетривіального) замкнутого інваріантного підпростору для будь-якого компактного оператора А в комплексному ЛГП E (dimE) за допомогою леми Цорна призводить до існування максимальної по включенню ланцюга таких підпросторів.
Теорема існування та єдиності формулюється і доводиться стосовно системі рівнянь, за зовнішнім виглядом має кілька приватний тип. Насправді ж до цієї системи рівнянь зводяться системи порівняно загального типу. Системи диференціальних рівнянь того приватного типу, про який тут йде мова, ми будемо називати надалі нормальними.
Теореми існування для лінійних задач доведені. Единственность теж має місце. Для нелінійних задач це питання повністю не вирішене.
Теорема існування буде локальною, оскільки в загальному випадку мінімізується функціонали є багатоекстремального. Більш того, для існування рішення потрібно властивість повної безперервності відображення X - R (X], яке в загальному випадку можна тільки постулювати. Проблема докази повної безперервності для розглянутих тут нелінійних прямих крайових задач, описуваних варіаційними або квазіваріаціоннимі нерівностями, мабуть, поки не вирішена.
Теорема існування була доведена К.
Теореми існування можуть бути отримані з теорем гл. Так, якщо функція f (х) неперервна на відрізку[а, Ь ], То для всіх п 1 її інтеграл п-го порядку на цьому відрізку існує. Для 0 п 1 слід додатково припустити, що f (х) має в точці а нуль не менше ніж першого порядку.
Теорема існування та єдиності[13]дає, як і для рівняння (1), рішення у всьому проміжку, де р (х), q ( x) і f (x) - неперервні. До цього проміжку і відноситься подальший виклад.
Теорема існування та єдиності, застосовна зважаючи р (х) О, забезпечує наявність таких рішень.
Теорема існування та єдиності дозволяє стверджувати, що знайдені всі рішення цього ур-ня. Якщо Хот О, то початкові значення (/о, хо) рішення () має при csin /о 1 /хо. Якщо Xo0 то рішення х0 має ці початкові значення. Це рішення визначено на всій прямій (-,) і тому, як кажуть, непродолжаемо. При фіксованому с, з 1 ф-ла х - 1 /(с - sin /) задає не одне, а безліч рішень.
Теореми існування і єдиності вперше були встановлені А.
Теорема існування, очевидно, не дає ніякої формули, щоб висловити насправді коріння за допомогою коефіцієнтів многочлена.
Теорема існування тим самим доведена.
Теорема існування, теорема єдиності і перша теорема про безперервність можуть бути застосовані до цих рівнянь.
Теорема існування оптимального управління в задачі Больцах, деякі її застосування і необхідні умови оптимальності ковзають і особливих режимів //Журн.
Перша точна теорема існування для криволінійних перешкод була доведена в 1922 р А. І. Некрасовим[65]в разі обтікання дуги окружності невеликої довжини.
Теореми існування нерухомої точки оператора грають важливу роль в математичному аналізі.
Теорема існування класичного рішення задачі дифракції на неоднорідному обмеженому тілі, вміщеному в однорідну середу, доводиться але тією ж схемою.
Теорема існування межі монотонної обмеженої послідовності може бути узагальнена на випадок монотонної обмеженою функції.
Доводиться теорема існування і єдиності глобального розв'язання задачі Коші, виведені формули для інтегральних моментів функції розподілу часток.
Ця теорема існування і цей метод звернення є стрижнем всієї загальної теорії.
З теореми існування випливає, що (С) має єдине рішення, що проходить через кожну точку (т, f), досить близьку до даного рішення.
Доводиться теорема існування і єдиності глобального розв'язання задачі Коші, виведені формули для інтегральних моментів функції розподілу часток.
З теореми існування і єдиності, доведеною в § 4 (теорема 1), слід, що рішення існує при будь-якому (ненулевом) числі Киудсеіа, побудованому по хорді максимальної довжини. Доказ теореми конструктивно, оскільки вона дозволяє в принципі виписати рішення у вигляді ряду. При знаходженні рішення доводиться використовувати модельні рівняння, в яких оператор зіткнень L замінений таким простішим наближеним оператором LN, що ці рівняння можна задовільно дослідити аналітично або чисельно.
Ця теорема існування і єдиності для нормальної системи комплексних рівнянь безпосередньо випливає з теореми 2 після розщеплення кожної комплексної невідомої функції J на її дійсну і уявну частини.
Тому теореми існування і єдиності, а також методи вирішення, викладені в гл.
З теореми існування н едтгнственності слід, що для кожної точки х х0 з (а, 6) існує одна і тільки одна нормована в цій точці фундаментальна система рішень.
Лежандра теорема існування і єдиності може бути застосована для рівняння (198) у всьому проміжку[XQ, ]]Суттєвим для подальшого буде той факт, чи має рішення і0 (х) коріння всередині згаданого проміжку.
З теореми існування видно, що рівняння (223) в кожному кінцевому проміжку[а, видання має єдине безперервне рішення, яке може бути отримано методом послідовних наближень.
З теореми існування, (яка буде приведена в гл. . З теореми існування (яка буде приведена в гл. Доводиться теорема існування і єдиності, яка стверджує, що така функція s (M) (площа) існує і притому тільки одна . Потім поняття площі узагальнюється, причому найбільш близьке до елементарної геометрії узагальнення належить Жорданія.
з теореми існування і єдиності рішення задачі Діріхле слід, що функція Гріна існує і єдина для будь-якої обмеженої області з кусково гладкою межею. Покажемо, що завдання про знаходження функції Гріна для однозв'язної області зводиться до відшукання конформного відображення цієї області на одиничний коло.
Розглядаючи теореми існування статики або стаціонарних коливань, ми переконалися, що умови, що задаються в постановці завдань, разом з тим чи іншим припущенням про їх гладкості були достатні для доказу існування класичних рішень.
Теореми існування для одного загального класу функціональних рівнянь (італ. Теорема існування є центральною (в теорії (квазіконформних відображень. Наведене вище доказ теореми 8 слід методу М. А. Лаврентьєва (з відповідними додатками), застосованого ним для доказу існування відображень із заданими безперервними характеристиками, на яке ми спиралися. Аль-форсом[2]і ґрунтується на застосуванні деяких сингулярних інтегралів (такого сорту інтеграли ми будемо розглядати далі в гл.
Теорема існування показує, що якщо ЛР - звичайна точка рівняння, то система має тільки одне рішення. Таке завдання, якщо число незалежних умов одно порядку рівняння, має тільки одне рішення.
Теореми існування для диференціальних рівнянь з приватними похідними часто зводяться до можливості розв'язання рівнянь у відповідних функціональних просторах. У шаудеровской теорії лінійних еліптичних рівнянь ми будемо використовувати дві основні теореми існування для операторних рівнянь в банахових просторах, а саме принцип стискають відображень і альтернативу Фредгольма.
Теореми існування, встановлені в попередніх розділах для довільних гладких обмежених областей, були отримані в припущенні рівномірної еліптичності диференціального оператора L. Коли рівняння перестає бути рівномірно еліптичних, умови можливості розв'язання є більш обмежувальними; в загальному випадку вони містять обмеження на геометрію розглянутої області або встановлюють зв'язок між нею і диференціальним оператором.
Теореми існування і єдиності § 1 викладаються в різних підручниках і давно і добре відомі. Результат теореми 1.3 - стійкість генерального показника нелінійного рівняння при нелінійних збурень - фактично міститься в роботах Боля (див. Коментар до гл. Більш приватними (по кілька більш точними) є результати теорем 2.1 і 3.1 (М. Г. Крейн[2]І Лекції) , Метод, наведений у другій з них, використовує інтегральні нерівності ( подібний метод фактично використовував вже Біль; див. коментар до гл. Метод доведення теореми 2.1 є узагальненням методу Ляпунова, так само як і метод доведення теореми 2.2 (див. Лекції), узагальнюючий іншу відому теорему Ляпунова - теорему про нестійкість. В описаних теоремах § § 2 3 збурює член має перший порядок малості.
Теорема існування в цілому для нелінійної системи і індекс дефекту лінійного оператора, Сибірський матем.
теореми існування і єдиності цілком визначають інтеграл рівняння всередині деякої кінцевої окружності, тобто дають, з точки зору Вейерштрасса, елемент аналітичної функції. Побудуємо всі аналітичні продовження цього елемента і покажемо, що якщо вихідний елемент функції задовольняє деякому диференціальних рівнянь, то того ж рівняння задовольняють і все продовження цього елемента, тобто аналітична функція в цілому є інтеграл одного і того ж диференціального рівняння.
Теорема існування 221 гарантує існування деякого б0 такого, щоб рішення диференціального рівняння (221) мало областю визначення /в tt - ta Z. Для того щоб отримати поняття рішення з фіксованими початковими значеннями і найбільшим інтервалом визначення, дається поняття продовження рішення і доводиться існування іспродолжаемого рішення.
Теореми існування гармонійних або аналітичних функцій на ріманової поверхні, викладені в гл.
Теорема існування для многочленів (3) доводиться аналогічно теоремі 1.1 Але можна вчинити по-іншому.
Теореми існування і єдиності рішення початкової задачі для одного рівняння першого порядку, дозволеного щодо похідною.
Теореми існування для диференціальних рівнянь, що вживаються тут, в дійсності мають місце тільки в аналітичному випадку.
Теорема існування та єдиності розв'язку завдання Ко-ши узагальнюється і на рівняння вищого порядку.
Теорема існування та єдиності для таких рівнянь доводиться так само, як для стандартних стохастичних диференціальних рівнянь.
Теорема існування (нетривіального) замкнутого інваріантного підпростору для будь-якого компактного оператора А в комплексному ЛГП E (dimE) за допомогою леми Цорна призводить до існування максимальної по включенню ланцюга таких підпросторів.
Теорема існування та єдиності формулюється і доводиться стосовно системі рівнянь, за зовнішнім виглядом має кілька приватний тип. Насправді ж до цієї системи рівнянь зводяться системи порівняно загального типу. Системи диференціальних рівнянь того приватного типу, про який тут йде мова, ми будемо називати надалі нормальними.
Теореми існування для лінійних задач доведені. Единственность теж має місце. Для нелінійних задач це питання повністю не вирішене.
Теорема існування буде локальною, оскільки в загальному випадку мінімізується функціонали є багатоекстремального. Більш того, для існування рішення потрібно властивість повної безперервності відображення X - R (X], яке в загальному випадку можна тільки постулювати. Проблема докази повної безперервності для розглянутих тут нелінійних прямих крайових задач, описуваних варіаційними або квазіваріаціоннимі нерівностями, мабуть, поки не вирішена.
Теорема існування була доведена К.
Теореми існування можуть бути отримані з теорем гл. Так, якщо функція f (х) неперервна на відрізку[а, Ь ], То для всіх п 1 її інтеграл п-го порядку на цьому відрізку існує. Для 0 п 1 слід додатково припустити, що f (х) має в точці а нуль не менше ніж першого порядку.
Теорема існування та єдиності[13]дає, як і для рівняння (1), рішення у всьому проміжку, де р (х), q ( x) і f (x) - неперервні. До цього проміжку і відноситься подальший виклад.
Теорема існування та єдиності, застосовна зважаючи р (х) О, забезпечує наявність таких рішень.
Теорема існування та єдиності дозволяє стверджувати, що знайдені всі рішення цього ур-ня. Якщо Хот О, то початкові значення (/о, хо) рішення () має при csin /о 1 /хо. Якщо Xo0 то рішення х0 має ці початкові значення. Це рішення визначено на всій прямій (-,) і тому, як кажуть, непродолжаемо. При фіксованому с, з 1 ф-ла х - 1 /(с - sin /) задає не одне, а безліч рішень.
Теореми існування і єдиності вперше були встановлені А.
Теорема існування, очевидно, не дає ніякої формули, щоб висловити насправді коріння за допомогою коефіцієнтів многочлена.
Теорема існування тим самим доведена.
Теорема існування, теорема єдиності і перша теорема про безперервність можуть бути застосовані до цих рівнянь.
Теорема існування оптимального управління в задачі Больцах, деякі її застосування і необхідні умови оптимальності ковзають і особливих режимів //Журн.
Перша точна теорема існування для криволінійних перешкод була доведена в 1922 р А. І. Некрасовим[65]в разі обтікання дуги окружності невеликої довжини.
Теореми існування нерухомої точки оператора грають важливу роль в математичному аналізі.
Теорема існування класичного рішення задачі дифракції на неоднорідному обмеженому тілі, вміщеному в однорідну середу, доводиться але тією ж схемою.
Теорема існування межі монотонної обмеженої послідовності може бути узагальнена на випадок монотонної обмеженою функції.
Доводиться теорема існування і єдиності глобального розв'язання задачі Коші, виведені формули для інтегральних моментів функції розподілу часток.
Ця теорема існування і цей метод звернення є стрижнем всієї загальної теорії.
З теореми існування випливає, що (С) має єдине рішення, що проходить через кожну точку (т, f), досить близьку до даного рішення.
Доводиться теорема існування і єдиності глобального розв'язання задачі Коші, виведені формули для інтегральних моментів функції розподілу часток.
З теореми існування і єдиності, доведеною в § 4 (теорема 1), слід, що рішення існує при будь-якому (ненулевом) числі Киудсеіа, побудованому по хорді максимальної довжини. Доказ теореми конструктивно, оскільки вона дозволяє в принципі виписати рішення у вигляді ряду. При знаходженні рішення доводиться використовувати модельні рівняння, в яких оператор зіткнень L замінений таким простішим наближеним оператором LN, що ці рівняння можна задовільно дослідити аналітично або чисельно.
Ця теорема існування і єдиності для нормальної системи комплексних рівнянь безпосередньо випливає з теореми 2 після розщеплення кожної комплексної невідомої функції J на її дійсну і уявну частини.
Тому теореми існування і єдиності, а також методи вирішення, викладені в гл.
З теореми існування н едтгнственності слід, що для кожної точки х х0 з (а, 6) існує одна і тільки одна нормована в цій точці фундаментальна система рішень.
Лежандра теорема існування і єдиності може бути застосована для рівняння (198) у всьому проміжку[XQ, ]]Суттєвим для подальшого буде той факт, чи має рішення і0 (х) коріння всередині згаданого проміжку.
З теореми існування видно, що рівняння (223) в кожному кінцевому проміжку[а, видання має єдине безперервне рішення, яке може бути отримано методом послідовних наближень.
З теореми існування, (яка буде приведена в гл. . З теореми існування (яка буде приведена в гл. Доводиться теорема існування і єдиності, яка стверджує, що така функція s (M) (площа) існує і притому тільки одна . Потім поняття площі узагальнюється, причому найбільш близьке до елементарної геометрії узагальнення належить Жорданія.
з теореми існування і єдиності рішення задачі Діріхле слід, що функція Гріна існує і єдина для будь-якої обмеженої області з кусково гладкою межею. Покажемо, що завдання про знаходження функції Гріна для однозв'язної області зводиться до відшукання конформного відображення цієї області на одиничний коло.
Розглядаючи теореми існування статики або стаціонарних коливань, ми переконалися, що умови, що задаються в постановці завдань, разом з тим чи іншим припущенням про їх гладкості були достатні для доказу існування класичних рішень.