А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Теорема - Крулль
Теорема Крулля - Шмідта справедлива для уявлень колчанів.
Теорема Крулля - Шмідта для модулів може бути доведена або за допомогою теорії решіток, або за допомогою леми Фіт-тингу (пор. Ця лема часто використовується без будь-якого зв'язку з теоремою Крулля-Шмідта. Теорема Крулля - Шмідта зводить проблему класифікації звичайно породжених модулів над Артинова алгебра до вивчення нерозкладних модулів. на жаль, дослідження таких модулів пов'язано з величезними труднощами. У цьому параграфі ми покажемо, що для більшості Артинова алгебр число класів ізоморфізму звичайно породжених нерозкладних модулів нескінченно.
Тепер отримаємо аналог теореми Крулля.
У § 3 сформульовані теореми Крулля[8]і Чинга[9]про цілком спільності системи (0.1) над Артинова або локальним комутативним кільцем, отримані критерій цілком спільності в разі квазіфробеніусова кільця і необхідна умова цілком спільності, якщо кільце нетерових праворуч або Артинова зліва.
З пропозиції 2.1 і теореми Крулля - Шмідта випливає також ще і такий наслідок.
Наш підхід до викладу теореми Крулля - Шмідта вважається класичним в теорії кілець; вперше він був запропонований Адзумаей.
Цей приклад показує, що теорема Крулля - Шмідта не має місця для нескінченно породжених абелевих груп.
Використовуючи (а) і теорему Крулля - Шмідта, дати короткий доказ структурної теореми для звичайно породжених проективних модулів.
Але, оскільки W також і ін'ектівен, це означає, що пМ - - W ф X і по теоремі Крулля - Шмідта всяке нерозкладне пряме доданок W ізоморфно одному з Mt, що неможливо за пропозицією. Отримане протиріччя і доводить лему.
Звичайно породжені праві модулі над Артинова справа алгеброю А представимо у вигляді прямої суми нерозкладних модулів, причому, відповідно до теореми Крулля - Шмідта, таке уявлення єдино. Тому для подальшого розвитку теорії Л - модулів необхідно приділити пильну увагу нерозкладним модулів. В даний час такі модулі є предметом активних досліджень. Мета двох наступних глав - познайомити читача з двома напрямками, інтенсивно розробляються математиками, які працюють в теорії модулів.
Для системи рівнянь (0.1) над комутативним кільцем є наступні результати. Теорема Крулля[8, § 3 ]: Система рівнянь (0.1) над локальним комутативним кільцем R при га п цілком спільна тоді і тільки тоді, коли серед матриць з А (т) є оборотна.
З огляду на теореми Крулля - Шмідта, з ізоморфізму Л - модулів М і N слід ізоморфізм Л1 і Nt.
Більш загальний результат - теорема Крулля - пов'язує висоту з числом утворюють ідеалу: в Нотер-вом кільце В.
Інший шлях до доказу пропозиції пов'язаний з теоремою Крулля про висоту. Саме цей підхід ми і оберемо.
Ця теорема показує, що елементи et з теореми 1.1 визначаються єдиним з точністю до подібності чином. В силу теореми 2.3 нерозкладних складові є циклічними подмодулей, і теорема Крулля - Шмідта показує, що вони єдині з точністю до порядку.
Nk - представники класів ізоморфізму звичайно породжених нерозкладних В-моду-лей. З огляду на те що Л - модуль В звичайно породжений, всі модулі (Ni) A також звичайно породжені. По теоремі Крулля - Шмідта кожен модуль (NI) A однозначно представляється у вигляді кінцевої прямий суми нерозкладних модулів.
Ряд структурних теорем отримано і без умов кінцівки. Крулль довів, що будь-який асоціативно-коммутативное кільце без нильпотентних елементів розкладається в подпрямое твір кілець без дільників нуля. Надалі було доведено, що в теоремі Крулля вимога коммутативности можна опустити, а потім був знайдений ряд критеріїв разложимости довільній неассоціатівное алгебри в під-пряме твір алгебр без дільників нуля і алгебр з однозначним розподілом.
Наш підхід до викладу теореми Крулля - Шмідта вважається класичним в теорії кілець; вперше він був запропонований Адзумаей. В останні роки проводилися великі дослідження з узагальнення теореми Крулля - Шмідта, проте останнє слово тут, ймовірно, ще не сказано. Два останніх параграфа цієї глави роз'яснюють зроблені раніше зауваження про тісний зв'язок між теорією уявлень груп і асоціативними алгебра. Матеріал цих параграфів фактично зводиться до пояснення понять.
Ряд цікавих результатів було отримано в зв'язку з перенесенням в теорію структур теореми Жордана - Гельдера і теореми Крулля - Шмідта.
Ласкера - Маколея, яка здавалася раніше суто обчислювальної і громіздкою. Нею було дано також ак-сіоматіч. Artin) вивчає кільця з умовою мінімальності - Артинова кільця; X. Grell) вводить поняття локалізації цілісного кільця - операції, узагальненої потім К. Крулль доводить теорему про головне ідеалі, що поклала початок теорії розмірності нетерових кілець, а також теорему про перетин ступенів ідеалу в нетерових кільці, що є основою при вивченні 21-адических топологій. Теорія дивізії-ріальних ідеалів (1931) і теорія нормування узагальнюють більш ранні дослідження К. Нарешті, слід згадати теорему Нетер про нормалізацію, з'ясування ролі поняття цілої залежності в рамках загальної теорії комутативних кілець, а також теореми Крулля про підйом простих ідеалів для цілих розширень.
Теорема Крулля - Шмідта для модулів може бути доведена або за допомогою теорії решіток, або за допомогою леми Фіт-тингу (пор. Ця лема часто використовується без будь-якого зв'язку з теоремою Крулля-Шмідта. Теорема Крулля - Шмідта зводить проблему класифікації звичайно породжених модулів над Артинова алгебра до вивчення нерозкладних модулів. на жаль, дослідження таких модулів пов'язано з величезними труднощами. У цьому параграфі ми покажемо, що для більшості Артинова алгебр число класів ізоморфізму звичайно породжених нерозкладних модулів нескінченно.
Тепер отримаємо аналог теореми Крулля.
У § 3 сформульовані теореми Крулля[8]і Чинга[9]про цілком спільності системи (0.1) над Артинова або локальним комутативним кільцем, отримані критерій цілком спільності в разі квазіфробеніусова кільця і необхідна умова цілком спільності, якщо кільце нетерових праворуч або Артинова зліва.
З пропозиції 2.1 і теореми Крулля - Шмідта випливає також ще і такий наслідок.
Наш підхід до викладу теореми Крулля - Шмідта вважається класичним в теорії кілець; вперше він був запропонований Адзумаей.
Цей приклад показує, що теорема Крулля - Шмідта не має місця для нескінченно породжених абелевих груп.
Використовуючи (а) і теорему Крулля - Шмідта, дати короткий доказ структурної теореми для звичайно породжених проективних модулів.
Але, оскільки W також і ін'ектівен, це означає, що пМ - - W ф X і по теоремі Крулля - Шмідта всяке нерозкладне пряме доданок W ізоморфно одному з Mt, що неможливо за пропозицією. Отримане протиріччя і доводить лему.
Звичайно породжені праві модулі над Артинова справа алгеброю А представимо у вигляді прямої суми нерозкладних модулів, причому, відповідно до теореми Крулля - Шмідта, таке уявлення єдино. Тому для подальшого розвитку теорії Л - модулів необхідно приділити пильну увагу нерозкладним модулів. В даний час такі модулі є предметом активних досліджень. Мета двох наступних глав - познайомити читача з двома напрямками, інтенсивно розробляються математиками, які працюють в теорії модулів.
Для системи рівнянь (0.1) над комутативним кільцем є наступні результати. Теорема Крулля[8, § 3 ]: Система рівнянь (0.1) над локальним комутативним кільцем R при га п цілком спільна тоді і тільки тоді, коли серед матриць з А (т) є оборотна.
З огляду на теореми Крулля - Шмідта, з ізоморфізму Л - модулів М і N слід ізоморфізм Л1 і Nt.
Більш загальний результат - теорема Крулля - пов'язує висоту з числом утворюють ідеалу: в Нотер-вом кільце В.
Інший шлях до доказу пропозиції пов'язаний з теоремою Крулля про висоту. Саме цей підхід ми і оберемо.
Ця теорема показує, що елементи et з теореми 1.1 визначаються єдиним з точністю до подібності чином. В силу теореми 2.3 нерозкладних складові є циклічними подмодулей, і теорема Крулля - Шмідта показує, що вони єдині з точністю до порядку.
Nk - представники класів ізоморфізму звичайно породжених нерозкладних В-моду-лей. З огляду на те що Л - модуль В звичайно породжений, всі модулі (Ni) A також звичайно породжені. По теоремі Крулля - Шмідта кожен модуль (NI) A однозначно представляється у вигляді кінцевої прямий суми нерозкладних модулів.
Ряд структурних теорем отримано і без умов кінцівки. Крулль довів, що будь-який асоціативно-коммутативное кільце без нильпотентних елементів розкладається в подпрямое твір кілець без дільників нуля. Надалі було доведено, що в теоремі Крулля вимога коммутативности можна опустити, а потім був знайдений ряд критеріїв разложимости довільній неассоціатівное алгебри в під-пряме твір алгебр без дільників нуля і алгебр з однозначним розподілом.
Наш підхід до викладу теореми Крулля - Шмідта вважається класичним в теорії кілець; вперше він був запропонований Адзумаей. В останні роки проводилися великі дослідження з узагальнення теореми Крулля - Шмідта, проте останнє слово тут, ймовірно, ще не сказано. Два останніх параграфа цієї глави роз'яснюють зроблені раніше зауваження про тісний зв'язок між теорією уявлень груп і асоціативними алгебра. Матеріал цих параграфів фактично зводиться до пояснення понять.
Ряд цікавих результатів було отримано в зв'язку з перенесенням в теорію структур теореми Жордана - Гельдера і теореми Крулля - Шмідта.
Ласкера - Маколея, яка здавалася раніше суто обчислювальної і громіздкою. Нею було дано також ак-сіоматіч. Artin) вивчає кільця з умовою мінімальності - Артинова кільця; X. Grell) вводить поняття локалізації цілісного кільця - операції, узагальненої потім К. Крулль доводить теорему про головне ідеалі, що поклала початок теорії розмірності нетерових кілець, а також теорему про перетин ступенів ідеалу в нетерових кільці, що є основою при вивченні 21-адических топологій. Теорія дивізії-ріальних ідеалів (1931) і теорія нормування узагальнюють більш ранні дослідження К. Нарешті, слід згадати теорему Нетер про нормалізацію, з'ясування ролі поняття цілої залежності в рамках загальної теорії комутативних кілець, а також теореми Крулля про підйом простих ідеалів для цілих розширень.