А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Теорема - Гедель

Теорема Геделя про неповноту[1931]свідчить, що теорія чисел неповна; тому повна теорія чисел є власним розширенням теорії чисел.

Теорема Геделя і теорія алгоритмів, Докл. Навпаки, у визначенні канонічних обчислень по Посту (див. Formal reductions of the general combinatorial decision problem, в журі. A, A накладаються нек-риє додаткові обмеження, так що на перший погляд визначення видається більш вузьким, ніж визначення Лоренцо.

Теореми Геделя, вказуючи на межу можливостей фінітізма, направили значить, частина послідували за ними досліджень по новому шляху: не відмовляючись від осн. Шютте (1951) для доказу несуперечності класичні. Ще раніше Гедель (1932 - 33) показав несуперечливість класичні.

Теорема Геделя про неповноту має виключно важливе значення для підстав математики.

Теорема Геделя показує, що це міркування можна застосувати і до формалізму, що розглядаються в теорії доказів, причому навіть у тому випадку, коли в основу розгляду кладеться финитная точка зору. Якщо до вихідних формулами цього формалізму додати формулу 1 Ух ((х) 0), то отриманий формалізм Рг - в припущенні, що в початковому формалізмі F діє дедукціонная теорема) - буде володіти тим властивістю, що з за доказ не суперечливості F буде виходити і його несуперечливість.

Теорема Геделя і теорія алгоритмів, Докл. Системи перечнслнмих множин н їх нумерації, Докл.

Теорема Геделя - Россера є повністю финитной: її доказ (якщо його привести повністю) показує, як явно отримати протиріччя з доведення якогось із тверджень т або - пунктів.

Теорема Геделя демонструє, що такий підхід в дійсності не є логічно заможним в рамках фундаментальної філософії математики. Поняття математичної істини виходить за межі всієї теорії формалізму. У цьому понятті є щось абсолютне і дане згори. І це якраз те, про що трактує математичний платонізм, обговорюваний в кінці попередньої глави. Будь-яка формальна система має властивість сиюминутности і людино-залежності. Такі системи, безумовно, відіграють дуже важливу роль в математичних міркуваннях, але вони можуть вказувати тільки частково вірне (або приблизне) напрямок до істини. Справжня математична істина виходить за межі створеного людиною. 
Згідно з теоремою Геделя про неповноту[15], Ніяка система не може бути логічно замкнутій: завжди можна знайти таку теорему, для доказу якої потрібно зовнішнє доповнення. Тому критерії вибору моделі складних об'єктів необхідно розділяти на внутрішні і зовнішні.

Відома друга теорема Геделя (див. Метатеорія) показує, що для вирішення цієї проблеми необхідний вихід за межі (відповідної) теорії множин.

Помилка: Теорема Геделя [1932-33]не має місця для обчислення предікатЬв, як стверджує Гейтинг на стор.

Насправді теорема Геделя носить більш приватний характер, оскільки від формальної системи того типу, який розглядав Гедель, була потрібна адекватність по відношенню до арифметичним твердженнями, а не математичним твердженням взагалі.

При доведенні теореми Геделя про повноту ми спираємося на деякий критерій незаперечності, отриманий раніше за допомогою досить довгого міркування. У спеціальній вставці ми показуємо, кік згадану посилання на цей критерій можна замінити більш прямим міркуванням.

Різні доведення теореми Геделя порівнюються в монографії Мостовського[1952], Яка була недоступна автору при написанні цієї книги.

Для доказу спрощеної теореми Геделя нам добитися наступна лема.

За другою теоремою Геделя про неповноту звідси було б, що формалізм (Z), а тим більше і (Z), суперечливий.

Розглянемо деякі застосування теореми Геделя про повноту і її наслідків, значення яких виходить за рамки математичної логіки.

Для такого використання теореми Геделя про повноту теж є деякий ФІНІТНОГО еквівалент.

У разі другої теореми Геделя необхідно ретельно стежити за виконанням умов її застосування до дедуктивного формалізму. Крайзель 1), який побудував в зв'язку з цим наступний приклад.

Доказ за допомогою теореми Геделя в меншій мірі неконструктивно. Неінтуіціоністскій крок (в нашому викладі) зустрічається в до-казательств леми 22 коли ми допускаємо, що Fe H Qt або Ft H Qt.

У моєму викладі теореми Геделя я опустив багато деталей і до того ж залишив осторонь те, що відносилося до нерозв'язність питання про несуперечності системи аксіом і було історично найбільш важливою частиною його докази. Моя задача полягала не в тому, щоб акцентувати увагу на проблемі доказовою несуперечності аксіом, настільки важливою для Гільберта і його сучасників; я прагнув показати, що специфічне твердження Геделя - яке не можна ні підтвердити, ні спростувати виходячи з аксіом і правил виведення даної формальної системи - виявляється з очевидністю вірним, якщо спиратися в наших міркуваннях на інтуїтивне розуміння сенсу застосовуваних процедур.

Ми спочатку доведемо теорему Геделя про повноту для повних теорій Генкина, а потім зведемо загальний випадок до цього окремого випадку.

Щоб повністю оцінити теорему Геделя, необхідний певний контекст.

Перш ніж доводити теорему Геделя про повноту числення предикатів, ми повинні придбати певний досвід побудови висновків в цьому обчисленні.

Ми знаємо по теоремі Геделя (§ 42), що конкретна формальна система гл. IV не повністю формалізує змістовну арифметику.

Інша аналогія з Теоремою Геделя, яка здається мені цікавою, натякає на те, що ми не можемо повністю зрозуміти власного розуму /мозку. Ця ідея настільки складна і навантажена асоціаціями на багатьох рівнях, що обговорювати її треба з обережністю. Це може означати загальне відчуття того, як вони працюють, подібно до того, як автомеханік інтуїтивно відчуває, як працює мотор. Це може означати повне пояснення того, чому люди чинять так, а не інакше. Це може означати повне розуміння фізичної структури власного мозку на всіх його рівнях. Це може означати, що в якоїсь книзі або на комп'ютері у нас є докладна діаграма будови мозку. Це може означати точне знання того, що відбувається в нашому мозку на нейронних рівні в будь-який момент - порушення кожного нейрона, синаптичні зміни і так далі. Це може означати створення програми, здатної пройти тест Тюрінга. Це може означати таке повне знання себе, що поняття підсвідомого і інтуїтивного втрачають сенс, оскільки стають відкриті погляду. Це може означати також будь-яку комбінацію з вищенаведених речей.

Це твердження називається теоремою Геделя про неповноту.

Такі твердження неможливі внаслідок теореми Геделя про неповноту. Сучасна математика розглядає так звані системи. Гільберт ввів в якості такої системи мову, що складається з кінцевого алфавіту символів, визначеної граматики, за допомогою якої формуються осмислені затвердження, кінцевого числа аксіом і кінцевого числа правил для виведення теорем з аксіом і інших теорем. У 1931 р Гедель показав, що будь-яка формальна система такого роду не може включати всі справжні теореми і тому не повна. Доказатель - СТВР Геделя пов'язано з парадоксом крітянина Епіменіда: Всі крітяни брехуни. Або, в іншому формулюванні: Це твердження помилкове - твердження істинне, тільки якщо опо помилково. Гедель замінив поняття істинності поняттям доказовою: Це твердження не доказовою. Таким чином, або хибність доказова, що заборонено, або істинне твердження не доказовою і, отже, формальна система не повна. У формальній системі не можна довести, що певна послідовність двійкових одиниць має складність, більш високу, ніж число біт в програмі, що використовується для знаходження цієї послідовності.

Кліні доводить різні варіанти теореми Геделя. Нижче наведені три з них.

Для доказу цього посилення теореми Геделя доцільно ввести припущення, що, крім квантора загальності, формалізм F містить ще й квантор існування разом з відносяться до нього формальними способами умовиводів.

Щоб краще зрозуміти доказ повної теореми Геделя, яке буде приведено в § 3 корисно розглянути внутрішній механізм отримання затвердження а за допомогою теореми 1.5 у щойно викладеному доказі.

Це міркування використовує другу теорему Геделя.

Ахілл: Може бути, Теорема Геделя.

Чи означає це, що Теорема Геделя не привносить нічого нового в наші роздуми про власний розум. Мені здається, що це не так, - певний зв'язок тут є, але не в тому містичному і обмеженому сенсі, як вважають деякі. Думаю, що процес розуміння Геделева докази з його довільними кодами, складними ізоморфізму, високим і низьким рівнями інтерпретації і здатністю до самоотраженія може збагатити наше уявлення про символи та їх обробки, що, в свою чергу, може розвинути наше інтуїтивне розуміння розумових структур на різних рівнях.

Останній іронічний штрих для доведення теореми Геделя про неповноту потрібно впровадити парадокс Епіменіда прямо в серце Підстав математики - бастіону, який вважався недоступним для Дивних петель Хоча Геделева Дивна Петля і не зруйнувала Підстав математики, вона зробила їх набагато менш цікавими для математиків, довівши ілюзорність мети, спочатку поставленої Расселом і Уайтхед.

Мені здається, що переклад теореми Геделя в інші області може навести нас на нові ідеї, якщо ми домовимося заздалегідь про те, що переклади - тільки метафори і не повинні розумітися дослівно. З подібною застереженням я бачу дві основні аналогії, соотносящие Теорему Геделя з людським мисленням. Одна з них стосується проблеми роздумів про власній нормальності. Яким чином ви можете вирішити, що ви не божевільний.

Поява в 1931 р двох теорем Геделя про неповноту, в 1933 р роботи Тар-ського про поняття істини в формалізованих мовах, в 1934 р Ербран-Геделя-ського поняття загально-рекурсивної функції і в 1936 р пов'язаного з ним тези Черча сповіщає вже нову епоху, в якій математичні засоби застосовуються як для оцінки колишніх програм, так і в нових, не передбачуваних перш напрямках.

Мета цієї глави - довести теорему Геделя про повноту (перша форма) - теорему, зворотну до теоремі 14: будь несуперечливе безліч замкнутих формул має модель. Досить довести цю теорему тільки для теорій. Дійсно, нехай Г - довільне несуперечливе безліч замкнутих формул. Тоді Т - теорія першого порядку, причому Т несуперечлива, так як Г несуперечливо.

Завдяки нашим останнім розгляду твердження другий теореми Геделя про неповноту в застосуванні до формалізму (Z) і (Z) отримує деякий позитивний доповнення.

Як ми вказували, для доведення теореми Геделя досить обмежитися розглядом нормальних формул Сколема. Нехай 51 - нормальна формула Сколема, що є тотожно істинною. Покажемо, що в такому разі принаймні одна з формул & j виведена в обчисленні висловлювань.

Більш докладно про погляди Вейля на теорему Геделя можна дізнатися з його роботи, наведеної в прим.

Щоб довести лему, потрібну нам для теореми Геделя, ми побудуємо змістовну теорію одного класу арифметичних функцій і предикатів і покажемо потім, що кожен предикат цього класу нумерично висловимо в формальної системі гл.

Незвичайний погляд на те, яким чином теореми Геделя і Черча пов'язані з епістеміологіей і психологією. Закінчується обговоренням понять краси і творчих здібностей.

Тепер викладемо в тому ж стилі доказ теореми Геделя. Таким чином, виникає деякий перелічуваних безліч, яке зазвичай задають як проекцію можна розв'язати безлічі. Саме, вводять деяке поняття докази. При цьому докази є словами в деякому алфавіті. Безліч доказів вирішується, тобто є алгоритм, який відрізняє справжні докази від текстів, який не є такими.

Яке з цих самоотраженія найбільше нагадує Теорему Геделя.

Я описав це бачення в зв'язку з теоремою Геделя, хоча, взагалі кажучи, тут міститься сутність математичного розуміння. Спілкування математиків стає можливим остільки, оскільки у кожного з них в цей момент є прямий шлях до істини, а свідомість кожного здатне при цьому осягати математичні істини безпосередньо, шляхом бачення. Справді, часто акт розуміння супроводжується словами типу О, я бачу. Так як кожен математик може встановити безпосередній контакт зі світом ідей Платона, то спілкування їх один з одним проходить значно легше, ніж це можна було б очікувати. Ментальні образи, що виникають у кожного з них, коли здійснюється стикання з миром Платона, можуть бути істотно різними, але спілкування проте можливо, оскільки кожен перебуває в прямому контакті з одним і тим же існуючим поза світом Платона.

Цей факт не вступає в протиріччя з теоремою Геделя, оскільки використовувані для ультраннтуіціоінстского обгрунтування теорії множин поняття не формалізуються в рамках ФА (н взагалі в якій би то не було формальної системі), спираючись безпосередній.

Цей факт не вступає в протиріччя з теоремою Геделя, оскільки використовувані для ультраїнтуїционістськой обгрунтування теорії множин поняття не формалізуються в рамках ФА (і взагалі в якій би то не було формальної системі), спираючись безпосередній.

Але це зовсім не означає якого-небудь спростування другий теореми Геделя. Дійсно, ця теорема, як ми пам'ятаємо, містить в якості посилок умови 1 2 і 3 накладені на поняття виводимості, і ми не показали, що ці умови в F виконані. При найближчому розгляді умова 1 для F виявляється взагалі невизначеним, тому що в F не визначена виводимість однієї формули з іншого.

Легко читається підручник, остання глава якого присвячена теорем Геделя і Черча. У цій книзі читач знайде підхід, відмінний від більшості підручників за логікою; це робить її гідною уваги,: Jensen, Hans. Можливо, найкраща книга про символічних писемностях світу, як сучасних, так і давніх. У книзі багато краси і таємниці - наприклад, нерозшифрованими писемність острова Пасхи.