А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Тензор - валентність

Тензор валентності р q можна уявляти собі у вигляді р - мірної матриці, звичайні матриці плоскі.

Тензор валентності два, визначається симетричною білінійної формою, називається симетричним тензором.

Тензор валентності два, визначається антисиметричною билинейной формою, називається антисиметричних тензором.

При перетворенні тензорів будь валентності легко зберегти ту ж техніку обчислень. Це видно з їх диадного уявлення.

Зручно також називати скаляр тензором валентності нуль.

Якщо мова йде про тензори валентності вище другий, то формули перетворення координат досить складні. Обчислення компонент тензора в цьому випадку вимагає великої затрати праці та часу.

Їх можна також легко узагальнити на випадок тензорів будь валентності, в яких умови симетричності або антисиметричність розглядаються більш ніж для двох індексів обов'язково однаковою варіантності. Це узагальнення дуже просто по відношенню до симетричності.

Для простоти ми виведемо ці правила на прикладах тензорів невеликих валентностей - висновок в загальному випадку буде точно таким же.

Але легко бачити, що і, назад, всякий тензор валентності два визначає в лінійному просторі L3 лінійне перетворення.

Відзначимо, що звичайні диференціали da-t координат векторного поля в криволінійній системі координат вже не утворюють тензора першої валентності. Так як в прямокутній декартовій системі координат (і тільки в такій системі координат) (про (- у 0 то в ній і тільки в ній абсолютні диференціали координат вектора збігаються з його звичайними диференціалами. Зі сказаного вище випливає, що сукупність полілінейних форм ступеня р, так само як і сукупність тензорів валентності р, утворює лінійний простір.

так як da - вектор, то з рівності (5) випливає, що DUJ - координати тензора першої валентності.

Звернення до орієнтаційний методам усереднення робить предмет аналізу математично певним, оскільки закони перетворення всіх змінних в кутових просторах відомі і зводяться до використання визначень такого поняття, як тензор довільної валентності. у той же час усереднення по просторовим координатам трудноосуществимо, так як конкретний розподіл деформацій, напружень та інших змінних за координатами зазвичай абсолютно невідомо . У деяких випадках будемо вдаватися до статистичних методів усереднення, якщо шукані характеристики дійсно визначаються будь-якої просторової статистикою.

Аналогічно визначається антисиметричність полілінейной форми ступеня р за двома будь-яким аргументам. Тензор валентності р, визначається такою формою, буде антисиметричних тензором за відповідними індексами.

Показати, що будь-який тензор валентності (2 0) однозначно розкладається в суму симметрического і до зі симметрического доданків. Привести приклад тензора валентності (3 0), для якого це не вірно.

Скалярна величина є тензором нульовий валентності і має тільки одну компоненту. Вектор є тензором першої валентності і має г компонент.

Довести, що числа xy xixj утворюють тензор валентності два.

Цей вислів показує, що матриця коефіцієнтів билинейной форми пор збігається з матрицею Л (аг) лінійного перетворення А. Але матриця коефіцієнтів билинейной форми ср утворює, як ми знаємо, тензор валентності два. Отже, матриця лінійного перетворення А також є тензор валентності два.

Множення тензорів, очевидно, є операція комутативна і асоціативна. Множення тензора на скаляр можна розглядати як окремий випадок попередньої операції, а саме як множення тензора на тензор валентності нуль.

Причина криється в винятковому математичному зручність цього апарату, що дозволяє в стислому і наочному вигляді формулювати складні алгебраїчні і диференціальні співвідношення для тензорів будь валентності.

Цей вислів показує, що матриця коефіцієнтів билинейной форми пор збігається з матрицею Л (аг) лінійного перетворення А. Але матриця коефіцієнтів билинейной форми ср утворює, як ми знаємо, тензор валентності два. Отже, матриця лінійного перетворення А також є тензор валентності два.

Так як s - k - тензор, то вираз, що стоїть в лівій частині цієї рівності, являє скалярную функцію. Тому ця скалярная функція є полілінейной формою ступеня п'ять. Отже, числа а-у г є коефіцієнтами цієї полілінейной форми, утворюють тензор валентності п'ять. Точно так же ця теорема доводиться і в загальному випадку.

Всі ці співвідношення виконуються як в плоскому і конформно-плоскому просторі-часі, так і в довільному просторі-часі. Відзначимо, що з рівності (6733) слід конформная инвариантность рівняння для дивергенції КОВЕК-тора ваги - 2 або симетричного бесследового тензора валентності[]і ваги - 2 отмечавшаяся в гл.

Визначення, а також формулювання і доказу відповідних пропозицій були б майже дослівним повторенням сказаного і ми не наводимо їх. Зауважимо тільки, що для евклідових тензорів згортання можливо по будь-якій парі індексів, і транспонувати їх можна теж з будь-якого безлічі індексів. Наприклад, якщо, обмежуючись ортонормированном базисі, ми ототожнив квадратичную форму з приєднаним до неї перетворенням, то отриманий новий об'єкт - евклидов тензор валентності 2-матиме інваріантну згортку (як лінійне перетворення) і інваріантної буде задовольняти рівності о. Инвариантность тут, зрозуміло, має місце тільки щодо заміни ортонормированного базису іншим ортонормірованньш.