А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Временіподобная крива

Временіподобная крива, яка також часто називається світової лінією, може бути визначена за допомогою рівнянь виду х х (т), де т, взагалі кажучи, - довільний параметр.

Якщо вихідна временіподобная крива а[а, Ь ]не має самоперетинів, то, застосувавши до неї наведений вище факт, отримаємо необхідну протиріччя.

Тоді кожна временіподобная крива перетинає задану ізотропну.

Таким чином, временіподобная крива з р (0) в (3 (1) існує.

У цьому випадку існує замкнута временіподобная крива, що проходить через р, і простір-час називають мають порушення причинності. Наприклад, на циліндрі М S1 XR з Лоренцеве метрикою ds2 - d92 Л2 окружності t - const є замкнутими временіподобнимі кривими. Саме через проблеми, тісно пов'язаних з прикладами порушення причинності в останні роки в загальній теорії відносності було дано велике число різних формулювань умов причинності.

Розглянемо в просторі - часу деяку временіподобную криву з параметром%, зростаючим від минулого до майбутнього.

Безлічі виду /(р Г. - (9 гДе Р Ч. М довільні утворюють базис топології Александрова. Ця топологія завжди є щонайменше настільки ж грубої, що і вихідна топологія на М. Топологія Александрова збігається з вихідною топологією тоді і тільки тоді , коли (М, g сильно причинно. Якщо р gq, то існують временіподобние криві з р в q (дуже близькі до кусочно гладким ізотропним кривим), що мають довільно малу довжину. Таким чином, точна нижня грань лоренцевих довжин дуг всіляких кусочно гладких кривих, що з'єднують дві довільні хронологічно пов'язані точки р, q (р q), дорівнює нулю. Отже, на відміну від ріманової функції відстані лоренцева функція відстані апріорі може приймати нескінченні значення.

Розглянемо сукупність (можливо, порожню) всіх временіподобних кривих, що з'єднують з деяку точку з Я. Якщо ця сукупність містить наідліннейшую криву з:[а, Ь ]- - (М, g), то з повинна бути гладкою временіподобной геодезичної.

Пропозиція 2.6. Будь-яке компактне простір-час (М, g) містить замкнуту временіподобную криву і тому не може бути хронологічним.

Нехай Y - (а, Ь) - - М - непродолжаемая временіподобная крива, а з: (а, (3) - - М - непродолжаемая ізотропна геодезична. Ясно, що в довільних лоренцевих многовидах у і з можуть перетинатися більше одного разу.

Зауважимо, що якщо (М, g) одинзв'язного в майбутньому, то простір шляхів гладких временіподобних кривих з р в q зв'язно. Тим самим, залучаючи лемму 411 Чігера і Ебіна (1975 с. Морса для простору шляхів (див. Евер-сон і Толбот (1976), Уленбек (1975), Вудхауз (1976)), отримуємо наступне твердження. Пропозиція 1123. нехай з:[а, Ь ]- (М, g) - нормальна кусочно-гладка временіподобная крива.

Нещодавно Тіплер довів, що деякі класи компактних просторів містять замкнуті временіподобние геодезичні але не містять інших замкнутих временіподобних кривих. З огляду на те що в доказі цього факту істотно використовується лоренцева функція відстані розгляд результату Тіплер відкладається до розд.

Зауважимо також, що в разі коли М S1 інтегральні криві поля Т на М є замкнутими временіподобнимі кривими.

Якщо і d (p, q) 0 і d (q, p) 0 то можна вказати спрямовані в майбутнє временіподобние криві yt з р в q і у2 з q в р відповідно.

В цьому розділі слідуючи Уленбек (1975) (див. Також Вудхауз (1976)), ми розглянемо теорію Морса для простору шляхів спрямованих в майбутнє временіподобних кривих, що з'єднують дві хронологічно пов'язані точки в глобально гіперболічному просторі-часі. Обидва підходи ґрунтуються на викладі теорії Морса для простору шляхів повного ріманова різноманіття, запропонованому Мілнора (1966 с. Вони скористалися результатом Кларке (1970) про те, що будь-яке чотиривимірне глобально гіперболічне простір-час можна з-симетрично вкласти в простір-час Маньківського високої розмірності задаючи тим самим на підкласі временіподобних кривих в М структуру гильбертова різноманіття.

Тому в силу умови (973) варіація а геодезичної р[О, /2 ]задовольняє умові (970) леми 971. Застосовуючи цю лему, знаходимо, що ця варіація дає временіподобние криві as з р (0) в Р (U) для малих s Ф О, як і було потрібно.

Визначення 5.7. Простір-час (М, g) називається О. У. повним, якщо все спрямовані в майбутнє (відповідно в минуле) непродолжаемие в майбутнє (відповідно в минуле) С2 - гладкі временіподобние криві з одиничним вектором швидкості і обмеженим прискоренням мають нескінченну довжину. Якщо ж знайдеться спрямована в майбутнє (або в минуле) непродолжаемая в майбутнє (або в минуле) С2 - гладка часу-подібна крива з одиничним вектором швидкості і обмеженим прискоренням, але з кінцевою довжиною, то (М, g) називається О. У. неповним.

Нижня половина циліндра W (t, 8): t 0 є НП, яке можна уявити як /- (у) для спрямованої в майбутнє і непродолжаемой в майбутнє временіподобной кривої у.

Якщо обрані конкретні X і у на конгруенції, то ми отримуємо систему координат. конгруенція временіподобних кривих називається системою відліку.

Ясно, що відносини і: транзитивності. Якщо існує спрямована в майбутнє временіподобная крива, що йде з р в д, то існує і околиця t /точки д, така, що будь-якої точки з U можна досягти спрямованої в майбутнє временіподобноі кривої. Звідси випливає справедливість наступного твердження.

Шукане протиріччя встановлюється наступним чином. Можна показати, що в просторі-часі з поверхнею Коші існує конгруенція временіподобних кривих. Отже, 2 має кордон в 2 але це суперечить тому, що Е /(5) - різноманіття без краю. Отримане протиріччя завершує доведення теореми Пенроуза про сингулярності.

Хронологічний (відповідно причинне майбутнє заданої точки складається з усіх точок, які можна досягти з цієї точки спрямованими в майбутнє временіподобнимі кривими (відповідно непространственноподоб-ними. В даному прикладі причинне майбутнє J (Г точки г є замиканням хронологічного майбутнього 1 (г цієї точки. З іншого боку, безліч J (q не є замиканням /(q. Зокрема, точка w лежить в замиканні J (q, але не належить J (q. По- мабуть, двома найпростішими властивостями, якими треба забезпечити конформну структуру С (М, g), є наступні: (М, g) є або хронологічним, або причинним. Це означає, що (М, g) не містить замкнутих временіподобних кривих.

. Показано універсальне накриття двовимірного простору-часу де Ситтера другого роду. Однак все спрямовані в майбутнє временіподобние геодезичні які виходять із р, знову фокусуються в майбутньому у вре-меніподобно сполученої точці р Тому временіподобних геодезичних в М, що йдуть з р в q, немає. Внаслідок цього серед кривих, що з'єднують р і q, не існує ні максимальної временіподобной геодезичної, ні максимальної временіподобной кривої.

У цьому випадку існує замкнута временіподобная крива, що проходить через р, і простір-час називають мають порушення причинності. Наприклад, на циліндрі М S1 X R з Лоренцеве метрикою ds2 - d92 Л2 окружності t - const є замкнутими временіподобнимі кривими. Саме через проблеми, тісно пов'язаних з прикладами порушення причинності в останні роки в загальній теорії відносності було дано велике число різних формулювань умов причинності.

Показано простір-час Райссисра - Нордстрема з с2 т2. вибираючи временіподобние криві у, що йдуть з р в q близько до У і У - ми можемо зробити L (V довільно великим. Тому d (p, д. Підкреслимо, що лоренцеве відстань d (p, q) не обов'язково має бути кінцевим. Однією з можливостей того, що d (p, q) - - - - оо, може бути наступна: временіподобние криві з р в с /при підході до деяких граничним точкам простору-часу можуть досягати довільно великих довжин.

Уже на цій стадії проявляється основна відмінність між Лоренцеве і ріманової геометриями. З фізичних міркувань просторово-часові різноманіття загальної теорії відносності зазвичай передбачаються хронологічними. Однак легко показати, що якщо М компактно, то (М, g) містить замкнуту временіподобную криву. Тому просторово-часові різноманіття, які зазвичай розглядаються в загальній теорії відносності передбачаються некомпактності.

Внаслідок того що сильна причинність в точці р порушується, для кожного k знайдеться спрямована в майбутнє непространственноподобная крива YS. Ніякі дві точки у хронологічно не пов'язані тому що в противному випадку можна було б отримати замкнуту временіподобную криву, а простір-час (М, g) хронологічний. Це призводить до протиріччя з огляду на те, що за припущенням кожна ізотропна геодезична має зв'язані точки і тому містить точки, які можна з'єднати временіподобнимі кривими.

В цьому розділі слідуючи Уленбек (1975) (див. Також Вудхауз (1976)), ми розглянемо теорію Морса для простору шляхів спрямованих в майбутнє временіподобних кривих, що з'єднують дві хронологічно пов'язані точки в глобально гіперболічному просторі-часі. Обидва підходи ґрунтуються на викладі теорії Морса для простору шляхів повного ріманова різноманіття, запропонованому Мілнора (1966 с. Вони скористалися результатом Кларке (1970) про те, що будь-яке чотиривимірне глобально гіперболічне простір-час можна з-симетрично вкласти в простір-час Маньківського високою розмірності задаючи тим самим на підкласі временіподобних кривих в М структуру гильбертова різноманіття.

З фізичної точки зору велику важливість мають часу-подібні криві і пространственноподобние гіперповерхні в просторі-часі. Перші визначаються умовою ds2 Про для будь-яких двох точок, що знаходяться на такій кривій . Ясно, що временіподобние криві і пространственноподобние (тривимірні) гіперповерхні є інваріантними геометричними образами. Пространственноподобние гіперповерхні важливі тим, що на них можна довільно задавати стану фізичних об'єктів, не піклуючись про виконання принципу причинності.

Зауважимо, що в теоремі941 топологія С ( Р,) не пов'язана з вихідною топологією різноманіття. Нехай (М, g) - глобально гіперболічне простір-час, що задовольняє умові (Уленбека) зростання метрики. Тоді існує клас гладких временіподобних кривих у:[0 оо) - М з наступним властивістю.

Діаграма Пенроуза аналітичного продовження метрики Керра - Ньюмена при Е7п /2. Точка г0 відповідає кільцевої сингулярності при 6 л. /2. Різноманіття аналітично продовжується в область - оо /(через диск г 006я /2 межею якого є кільцева сингулярність. Керра - Ньюмена є таким чином кордоном диска г006: я /2 всередині якого метрика не має особливостей . її можна тому аналітично продовжити всередину кільцевої-й сингулярності на область негативних значень координати г аж до г - - оо. Це призводить до ускладнення причинного структури різноманіття. Поблизу кільцевої сингулярності вектор Кіл-линга (Ф) стає временіподобним, а його замкнуті орбіти будуть являти собою замкнуті временіподобние криві. Цікаво також відзначити, що ефекти поляризації вакууму квантової теорії поля призводять до руйнації внутрішнього горизонту.

Користуючись пропозицією 1133і компактністю Я, отримуємо, що об'єднання всіх таких ізотропних геодезичних сегментів з Я в фокальную точку міститься в компактному безлічі К, що складається з ізотропних геодезичних сегментів, що починаються на Я. Я), то г можна з'єднати з Я спрямованої в минуле ізотропної геодезичної, але не можна спрямованої в минуле временіподобной кривої. Ця послідовність має граничну точку х - К. Я), звідки випливає, що х G Е (Н) - Проведене міркування показує, що Е (Я) є замкнутим підмножиною компактного безлічі До і отже, саме компактно.

Внаслідок того що сильна причинність в точці р порушується, для кожного k знайдеться спрямована в майбутнє непространственноподобная крива YS. Ніякі дві точки у хронологічно не пов'язані тому що в противному випадку можна було б отримати замкнуту временіподобную криву, а простір-час (М, g) хронологічний. Це призводить до протиріччя з огляду на те, що за припущенням кожна ізотропна геодезична має зв'язані точки і тому містить точки, які можна з'єднати временіподобнимі кривими.