А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Спектральна теорія

Спектральна теорія операторних пучків.

Спектральна теорія характеризує спектри н резольвентних безлічі операторів. Дослідження інтегральних операторів по суті еквівалентно вивченню інтегральних рівнянь.

Згідно спектральної теорії, будь-який стаціонарний процес може бути отриманий як межа послідовності з дискретним спектром.

Згідно спектральної теорії /3940 /причиною ушпренія спектральних ліній є. З викладеного вище випливає, що ейнштейнівська коефіцієнти поглинання в багатокомпонентних стохастичних системах розподілені за законом Бернуллі. У зв'язку з цим викладені в частині 2 результати, інтерпретує як розкладання коефіцієнтів Ейнштейна для сили осциляторів багатокомпонентної суміші, на пуассоновскуго і залишкову, В багатокомпонентних сумішах коефіцієнти Ейнштейна пов'язані в енергетичні статистичні безлічі, В таких енергетично неоднорідних системах одні молекули тільки переходять в збуджений стан коли інші вже досягли рівноваги. Отже, існує бернуллевскіе розподілу за часом життя збудженого стану.

Про спектральної теорії відображень топологічного простору в алгебру ендоморфізм банахових просторах.

Основу спектральної теорії регулярних операторів другого порядку становить так звана теорія Штурма-Ліувілля, названа так на честь двох видатних математиків, які поклали своїми працями початок глибокого вивчення цих питань. Регулярні системи двох рівнянь першого порядку почали вивчатися значно пізніше.

Найбільш розроблена спектральна теорія самосопряженних і унітарних операторів в гільбертовому просторі Я. Так, самосопряженних оператор А має чисто дійсний спектр.

На підставі спектральної теорії знаходяться параметри навантажувального режиму для vt і Q; на даному дорожньому покритті.

систематична розробка спектральної теорії операторів в гільбертовому просторі почалася в СРСР зовсім недавно - не більше ніж десять років тому. Разом з тим за цей короткий період радянським дослідникам вдалося розробити ряд важливих глав цієї теорії, капітальним чином завершальних основні її побудови.

При побудові спектральної теорії оператора І важливу роль відіграє виключення деякого рахункового замкнутого безлічі, точки якого називаються порогами. Для оператора (I.I) визначення порога полягає в наступному.

Деякі питання спектральної теорії старших моментів, Теорія вероят.

При побудові спектральної теорії цілком неперервних операторів повнота простору, як ми нижче побачимо, використовується не всюди. З іншого боку, при відмові від вимоги повноти область додатків теорії розширюється. Тому в цьому розділі поряд з пропозиціями, що стосуються операторам в просторі Гільберта Н, буде встановлено ряд пропозицій щодо операторів в довільній лінійної метрізованной системі R. До числа цих пропозицій відносяться також дві леми, яким присвячений цей пункт.

В основі спектральної теорії стаціонарних випадкових процесів лежать дві основні функції: кореляційний і спектральної щільності.

Введення в спектральну теорію поліноміальних операторних пучків.

Фур'є, спектральну теорію унітарних операторів, теорію Жорданових нормальних форм і систем звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, а також основою нек-яких розділів оргодіческой теорії, квантової механіки, статистичної фізики і теорії поля.

У розділі III Спектральна теорія операторів розглядаються насамперед питання повноти і базисних систем функцій. У § 1 доведені різні критерії повноти м базисних (наприклад, теорема Банаха про базис), вивчено важливе поняття бі-ортогональної системи. У § 2 доведені три теореми про самосопряженних операторах - про їх приведення до діагонального вигляду, а саме спектральні теореми. Спочатку доводиться спектральна теорема для операторів в я-вимірному просторі, потім для лінійних цілком неперервних операторів та обмежених операторів. Вивчається спектр таких операторів. Маючи на увазі додатки, в § 3 Аналітичні методи в спектральної теорії операторів розвивається необхідний матеріал теорії функцій комплексного змінного. Поєднання результатів і методів теорії операторів і теорії аналітичних функцій сильно розширює можливості додатків абстрактних результатів. У § 3 вивчаються елементарні властивості абстрактних векторнозначних і операторнозначних функцій, аналітично залежать від комплексного параметра, а також досліджуються пучки операторів.

В даний час спектральна теорія відкритих електродинамічних структур робить лише перші кроки на шляху свого становлення. Основні труднощі в її розвитку пов'язані з несамосопряженних операторів, що виникають при вирішенні спектральних задач. Теорія таких операторів, складова одне з нових напрямків у функціональному аналізі, ще далека від завершення. Тому часто доводиться вдаватися до чисельного експериментування, грунтуючись на фізичній передумові, що спектр відкритих хвилеводних структур є дискретним і конечнократ-ним.

Справжня глава присвячена спектральної теорії деяких класів цілком неперервних операторів. Будучи прямим і легко доступним для огляду узагальненням відповідних розділів лінійної алгебри та елементарної теорії інтегральних рівнянь, спектральна теорія цілком неперервних операторів являє найбільш природне введення в загальну спектральну теорію операторів в просторі Гільберта.

Справжня глава присвячена спектральної теорії операторів в гільбертовому та банаховому просторах Найважливішими завданнями цієї теорії є твердження про приведення досліджуваних операторів до так званого діагонального вигляду - спектральні теореми, твердження про повноті і базисні власних векторів операторів, про властивості спектра і власні значення. Найбільш вивченим класом операторів є цілком безперервні оператори і їх підкласи - ядерні оператори і оператори Гільберта-Шмідта.

Монографія присвячена побудові спектральної теорії звичайних диференціальних операторів другого порядку за допомогою операторів перетворення. Такий підхід дозволив єдиним способом і досить просто отримати всі основні результати спектральної теорії як в самосопряженних, так і в несамосопряженних випадку. Особливу увагу приділено новим розділах теорії (зворотним завданням, асимптотическим формулами для спектральних функцій і ін.), Для яких апарат операторів перетворення виявився найбільш сильним і природним знаряддям дослідження. У кожному параграфі наведені завдання, що містять узагальнення та уточнення, що викладається.

Фізики зазвичай розглядають спектральную теорію таких операторів і навіть операторів ширшого класу на підставі напівформальних евристичних принципів, отриманих з ілюстративних прикладів.

Головним в книзі є спектральна теорія для сингулярних операторів. Фон-Неймана та інших математиків загальної спектральної теорії симетричних і самосопряженних операторів. Вейля про граничний колі і граничної точці дає повний опис для симетричного диференціального оператора другого порядку всіх його самосопряженних розширень. Загальна задача опису всіх самосопряженних розширень симетричного оператора була вирішена значно пізніше Дж.

Спочатку здавалося, що абстрактна спектральна теорія повністю охоплює різні приватні задачі і дає відповіді в принципі на всі питання.

Іншим дивним прикладом використання спектральної теорії є встановлення фундаментальних фактів, зокрема що стосуються повноти, в теорії зображень безперервних компактних груп.

Для можливості застосування апарату спектральної теорії при розрахунку дисперсій і спектральних густин випадкових функцій зазвичай використовують прийом статистичної лінеаризації, який базується на заміні нелінійної випадкової функції fji l в області її математичного очікування лінійної випадкової функцією kvx, що відповідає деяким критеріям найкращого наближення.

Рішення ряду важливих завдань спектральної теорії операторів пов'язано з теорією аналітичних функцій. Справа в тому, що основні об'єкти, що характеризують спектральну задачу для оператора, такі, як резольвента, характеристичний визначник, іулямі якого є власні значення оператора, і ін, є аналітичними функціями спектрального параметра в певних областях.

Застосування нових результатів з спектральної теорії стаціонарних процесів, отриманих А.Н. Колмогоровим, до питань розширення та інтерполяції статистичних стаціонарних рядів і емпіричного визначення спектральних властивостей таких рядів. У вигляді області застосувань і перевірки практичної придатності методів намічається вибрати ряди індексів сонячної і ионосферной активності.

Розглянуто також деякі питання спектральної теорії диференціальних операторів /г-го порядку, однак зі значно меншою докладністю, ніж це зроблено для операторів другого порядку. Так що ті частини монографії, які відносяться до операторів /г-го порядку, можуть служити лише введенням в цю область, яка до теперішнього часу встигла вже стати досить великою.

Псев до диференціальні оператори і спектральна теорія.

Розширено матеріал глави IV, присвяченій спектральної теорії операторів. У ЕГУ главу доданий параграф, присвячений необмеженим операторам і спектральної теорії самосопряженних необмежених операторів, включений також матеріал, присвячений компактним операторам. Проведено докази деяких тверджень, які в першому виданні містилися у вигляді завдань, а для ряду тверджень дані більш докладні докази.

У книзі викладаються основні питання спектральної теорії звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та систем двох рівнянь першого порядку. Розглянуто також окремі важливі питання, які стосуються спектральної теорії звичайних диференціальних рівнянь довільного порядку.

Але незабаром він поширив свою спектральну теорію на значно ширший клас - клас обмежених симетричних лінійних операторів в гільбертовому просторі. Дійсно, обмежуватися інтегральними операторами було б неприродно, бо вже найпростіший оператор х - х не є оператором такого типу. Конеч-до, ця квантово-фізична інтерпретація сильно підвищила інтерес до теорії і привела до більш ретельному дослідженню її, дав численні спрощення та узагальнення.

Розкладання по гармонійним функцій складають класичну спектральную теорію. Узагальнена спектральна теорія досліджує загальні закономірності спектрального аналізу для різних систем базисних функцій і розглядає особливості вибору базисних систем при вирішенні задач передачі і обробки сигналів.

Нарешті, в зв'язку зі спектральної теорією системи рівнянь типу системи Дірака ми розглядали гільбертовому просторі, елементами якого є вектор-функції.

Іноді вживаються терміни кореляційний теорія і спектральна теорія.

У питаннях конкретного опису розкладання одиниці загальна спектральна теорія мало допомагає. Мабуть, цим пояснюється той парадоксальний факт, що через кілька років після фактичного завершення абстрактної спектральної теорії самосопряженних операторів майже одночасно в різних країнах почалася інтенсивна робота по спектральної теорії самосопряженних диференціальних операторів. Ця робота триває і в даний час, особливо для операторів з приватними похідними.

Прикладом такого роду застосувань може служити спектральна теорія динамічних систем.

У вітчизняній монографічної літературі перший виклад спектральної теорії для сингулярних операторів другого порядку було дано одним з авторів (Б. М. Левітан[1]), Який також запропонував новий метод обгрунтування цієї теорії. Ідея цього методу дуже проста і полягає в тому, що основні спектральні співвідношення для сингулярного оператора виходять з відповідних співвідношень в регулярному випадку за допомогою граничного переходу. Цей метод і результати вищевказаної монографії широко використовуються в цій книзі. Однак дана монографія ні в якому разі не може розглядатися як розширене видання тієї монографії. Зміни і додавання настільки значні, що ця книга безсумнівно є новою.

Почнемо з короткого опису деяких аспектів спектральної теорії операторів в гільбертовому просторі, використовуваних в розд.

Зазначене властивість лежить в основі методів спектральної теорії хвиль і статистичної динаміки та застосовується лише для лінійних динамічних систем і стаціонарних випадкових функцій на вході.

Відзначимо, що роботи М.Г.Крейна по спектральної теорії струни містять виклад результатів, як правило, без доказів. Детальний виклад доказів значної їх частини приведено в гл.

Ця умова є основною аксіомою викладається нижче загальної спектральної теорії, головні прототипи якої містяться в спектральної теорії операторів, в теорії комутативний Банахової алгебри і в алгебраїчній геометрії. У подальшому викладі алгебра 91 передбачається спектральної.

Одне з цікавих напрямків у розвитку спектральної теорії останнього часу пов'язано з підходом, протилежним нашому; саме, можна вирушати від операційного обчислення для відповідного класу функцій, заданих на безлічі, що містить спектр оператора. Ми обговоримо деякі такі питання в окремому пункті цього параграфа.

Спектральний ТЕОРІЯ диференціальних операторів - розділ загальної спектральної теорії операторів, к-рий вивчає спектральні властивості диференціальних операторів в різних просторах функції, особливо в Гільбертових просторах вимірних функцій.

Для зручності читачів, незнайомих з абстрактної спектральної теорією, в книзі вміщено глава (XIII), в якій в досить конспективно формі і в основному без докази викладені основні пропозиції цієї теорії і вказуються деякі зв'язку зі спектральної теорією диференціальних операторів.

Від застосування цього методу бере свій початок спектральна теорія диференціальних операторів.

Мінімальні унітарні дилатації і певні на основі спектральної теорії функції від них дозволяють побудувати функціональне числення для С. Цілком неунітарний стиснення Т належить, за визначенням, класу С0 якщо існує функція р Я% і (К) 0 така, що u (T ) - Q. К) є дільником всіх інших внутрішніх функцій, що володіють тим же властивістю. Безліч нулів мінімальної функції шт (Х) стиснення Т в D разом з доповненням до одиничному колі до об'єднання тих дуг, через к-які ГПТ (К) допускає аналитич. Поняття мінімальної функції стиснення Т класу Са дозволяє поширити для цього класу С.

Розвиваючи далі запропоновані їм в зворотних задачах спектральної теорії струни методи, Марк Григорович в спільних з А.А.Нудельманом роботах[277, 278, 282]вирішив задачу про відновлення, можливо, сингулярной струни з тертям на одному кінці по послідовності власних частот в припущенні кінцівки статичного моменту щодо цього кінця і пов'язані з такою струною задачі теорії функцій.

Крім того, з'явилися численні статті з загальної спектральної теорії операторів в 5-просторах, що не відносяться спеціально (або безпосередньо) до спектральних операторам.