А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Скалярний критерій
Скалярний критерій для оцінки складності ситуації, застосовуваний в оптимізації.
Застосування скалярного критерію і методів згортки дозволяє лінійно впорядковувати порівнювані об'єкти, тобто вибудувати їх по старшинству оцінок. Ранжування по Парето при багатокритеріальних оцінках дозволяє впорядковувати об'єкти не лінійно, а по групам, вважаючи, що всі елементи всередині групи рівноцінні, тобто перейти від лінійного упорядкування до групового. При цьому перевага встановлюється не між окремими об'єктами, а між їх рівноцінними групами. Такий підхід не дає ніяких переваг, якщо упорядкування проводиться по одному показнику, але відкриває нові можливості, якщо таких показників кілька.
Якщо все скалярні критерії завдання вибору підлягають мінімізації, то в якості біутопіческой точки доцільно взяти точку початку координат простору критеріїв. У цьому випадку необхідність в процедурах скалярною мінімізації відпадає і може бути створений дуже ефективний з обчислювальної точки зору алгоритм.
Максимальне число скалярних критеріїв, з яких може бути сформований векторний критерій, мабуть одно сумарному числу керуючих і вихідних параметрів керованого процесу. При розрахунку систем управління число критеріїв зазвичай прагнуть зменшити. Сам по собі факт додавання нового критерію до обраної системі критеріїв ще не означає зміни рішень, одержуваних щодо рішень, знайдених раніше. Ці зміни пов'язані, перш за все, зі скаляризації, призначенням вагових коефіцієнтів або порогів. Очевидно, що існують такі значення вагових коефіцієнтів або порогів для нового і колишнього векторного критерію, які забезпечать одні і ті ж результати.
Затвердження 4.3. Безліч скалярних критеріїв, яке формує векторний критерій оптимізації, на етапі постановки завдання може бути доповнено будь-яким новим критерієм.
На жаль, сконструювати скалярні критерії елементів, оптимізація яких свідомо призводить до глобального оптимуму, вдається не часто. Тому передбачається наступна процедура вибору критеріїв елементів.
Для такого порівняння повинен бути обраний деякий скалярний критерій, який об'єднує приватні показники в багатокритеріальних ситуаціях.
Ключовим питанням при будь-оптимізації є вибір скалярного критерію Q, здійснюваний неформально виходячи з компромісу між відповідністю суті завдання управління і простотою, що допускає рішення задачі оптимізації. Найбільш завершеним метод аналітичного синтезу виходить при використанні в якості критерію математичного очікування від квадратического функціоналу (квадратич-ської форми) координат синтезується системи управління.
Існує кілька способів зведення задачі векторної оптимізації до задачі оптимізації скалярного критерію і отримання, тим самим, однозначної відповіді. Відмітимо, що всі способи, які розглядаються нижче, задовольняють необхідній умові: мінімізація скалярного критерію дає рішення з області Парето.
Для ланки 3 ез - р max е2 р, і скалярний критерій може бути обраний управлінським персоналом виходячи з інтересів цієї ланки і обмежень ез -, якщо вони задані. Наприклад, при оптимізації управління ділянками металургійного підприємства в ланцюгу мартен-блюмінг, якщо продуктивність мартенівського цеху нижче продуктивності блюмінга, слід максимізувати продуктивність мартенівського цеху.
У цьому випадку завдання порівняння альтернатив зводиться до прийняття рішень зі скалярним критерієм, а всі інші критерії враховуються у вигляді заданих обмежень. Оцінки альтернатив, які не відповідають заданим значенням д /0), показують, що їх можна далі не розглядати.
Безліч досяжних значень критеріїв оптимальності F і множин Парето Ff. У більшості випадків вибір відносини порядку призводить векторну задачу до задачі зі скалярним критерієм. Іноді цю процедуру називають сверткой критеріїв.
Вектори ефективності (4) і (6) можуть бути доповнені будь-яким скалярним критерієм.
Якщо результати альтернатив оцінюються за одним критерієм, то говорять про завдання прийняття рішень зі скалярним критерієм, якщо за кількома, то - про завдання прийняття рішень з векторним критерієм.
Розглянуті в цьому розділі механізми вибору засновані на вимірі з незалежних шкалами, сукупності незалежних шкал (скалярний критерій), векторному критерію, але можуть бути застосовані і до парно-домінантним механізму вибору. Логічні процедури вибору, використовують нечіткі оцінки, є продуктом окремого дослідження.
Один з можливих підходів до синтезу хіміко-технологічних систем в умовах невизначеності полягає в тому, щоб сформувати скалярний критерій гнучкості системи, а для визначення значень проектних змінних на першому етапі використовувати тільки деяку підмножину можливих реалізацій невизначених параметр ів.
Класифікація критеріїв оптимальності. Перший спосіб полягає в нормуванні всіх вихідних параметрів схеми за допомогою вагових коефіцієнтів і подальше об'єднання їх в узагальнений формальний скалярний критерій оптимальності, який потім і піддається максимізації або мінімізації. Другий спосіб зводиться до побудови минимаксного узагальненого критерію оптимальності, що полягає в використанні на кожному кроці оптимізації максимального відхилення будь-якого з вихідних параметрів від свого оптимального (або номінального) значення і вирішення завдання мінімізації даного максимального відхилення. І та і інша постановка задачі будуть детально розглянуті в наступних параграфах.
Застосовуючи цей підхід, можна уявити собі, що всі локальні критерії при проектуванні об'єднуються (згортаються) в скалярний критерій, екстремум якого потім знаходять за допомогою ЦВМ з урахуванням обмежень.
Поняття ефективного вектора результатів навряд чи має велике значення, оскільки не дає нічого нового в порівнянні з оптимізацією скалярного критерію ефективності при наявності невизначених факторів.
Як ми знаємо з першого розділу, аналіз подібної конфлікт-ної ситуацій повинен початися зі відомості векторного критерію (3.8) до деякого скалярного критерію.
Як ми знаємо з першого розділу, аналіз подібної конфліктної ситуації повинен початися зі відомості векторного критерію (3.8) до деякого скалярного критерію.
Зведення задач оптимізації з векторним критерієм (кожен вихідний параметр являє собою компоненту даного вектора) до задачі оптимізації зі скалярним критерієм, що представляє собою певним чином обрану згортку критеріїв, буде приведено в наступних параграфах.
Для оцінки якості води в річках Росії і вирішення проблеми їх очищення в роботі[3.13]використовувалися чотири, але векторних критерію: санітарний, токсикологічний, рибогосподарський, загальний і скалярний критерій вартості робіт, останній у багатьох випадках розглядався як обмеження.
Незалежно від прийнятого принципу оптимальності під час розв'язання задачі (15.4) динамічного синтезу основна трудомісткість пов'язана з багатокроковими оптимізаційними процедурами, що полягають у визначенні кількісних значень узагальненого скалярного критерію ефективності А для варьируемой динамічної моделі при поточних значеннях динамічних параметрів. Визначення поточного значення критерію А вимагає обчислень поточних значень всіх локальних критеріїв ефективності, якими в основному завданню синтезу є динамічні критерії якості елементів силового ланцюга машинного агрегату. Обчислювальна трудомісткість динамічного синтезу з прийнятим узагальненим скалярним критерієм ефективності істотно залежить від математичної форми подання критерію.
При формуванні формальних узагальнених критеріїв виникає задача перетворення всіх разноразмерних вихідних параметрів в безрозмірні величини, які вже можна порівнювати між собою і об'єднувати в скалярні критерії або згортки. Таке перетворення досягається шляхом масштабування або нормування вихідних параметрів. При цьому призначення коефіцієнтів нормування або вагових коефіцієнтів для деяких критеріїв оптимальності визначає ступінь впливу кожного окремого вихідного параметра на цільову функцію.
Оскільки безліч ефективних альтернатив може містити дуже велику (або навіть нескінченна) кількість елементів, в ряді випадків приймаються деякі угоди, що дозволяють побудувати єдиний скалярний критерій, який включає складові векторного критерію Q і дозволяє порівнювати різні варіанти проекту.
Площина критеріїв.
Крива АВ визначає для даного прикладу область Парето, яка характеризується тим властивістю, що будь-який належить цій області рішення не можна поліпшити одночасно по всьому скалярним критеріям.
До недоліків методу послідовних поступок слід віднести необхідність формування експертних оцінок як для призначення пріоритетів, так і для призначення поступок, а також необхідність застосування різних процедур оптимізації, якщо скалярні критерії мають різну математичну форму. Крім того, виникають додаткові труднощі при невдалому виборі пріоритетів або поступок, коли резерви пошуку локально оптимальних рішень виявляються вичерпаними раніше, ніж розглянуті всі скалярні критерії. Зазначені недоліки практично виключають можливість застосування методів даної групи до завдань прийняття оперативних рішень.
ВЕКТОРНА ОПТИМІЗАЦІЯ[vector optimization ]- Комплекс методів вирішення задач математичного програмування, в яких критерій оптимальності являє собою вектор, компонентами якого є, в свою чергу, не зводяться один до одного скалярні критерії оптимальності підсистем, що входять в дану систему (напр. При цьому завдання оптимізації істотно видозмінюється в порівнянні з тими завданнями, які розглядаються в більшості статей словника. У них вона зводиться до того, щоб, знаючи умови і обмеження, знайти такий план, який би максимізувати або мінімізував єдиний заданий критеріальний показник.
При визначенні кількості інформації є можливість врахувати вплив ненадійності статистики не шляхом вказівки довірчих рівнів, а безпосередньо зменшенням відповідних величин інформації. Одиничний скалярний критерій - кількість інформації - дозволяє брати до уваги вплив різних чинників /в тому числі і обсягу статистики /, не зачіпаючи самої структури аналізу.
Для вимірювання ефективності обраного управління ми вводимо скалярний критерій помилки - деяку просту міру якості управління. Таким чином, завдання зводиться до відшукання управління, що забезпечує найменше значення цього критерію. Деякі характеристики такого процесу мінімізації описані в гл.
Ці вимоги можуть бути виконані тим успішніше, ніж більш точні наші відомості про зв'язок між інтересами центру і показниками елементів. Граничним випадком тут є можливість апріорного завдання скалярних критеріїв елементів, оптимізація яких призводить до глобального оптимуму.
Для вирішення цього завдання запропоновано цілий ряд методів. Зазвичай прагнуть згорнути приватні критерії Zj (л :) в один узагальнений скалярний критерій, мінімізація якого призводить до ефективного вирішення.
Чебишовських принцип оптимальності забезпечує при пошуку оптимального рішення задачі (15.4) більш рівномірний, ніж при інтегральному принципі оптимальності, зниження рівня всіх локальних критеріїв ефективності. Перехід від інтегрального до чебишовських принципом оптимальності доцільний, якщо завдання синтезу (15.4) при узагальненому скалярном критерії у формі (15.6) або (15.7) виявляється неспроможною. Використання критерію А в вигляді (1510) дозволяє оцінити за результатами синтезу граничні можливості досліджуваного структурного класу моделей при заданих обмеженнях параметрів.
Існує кілька способів зведення задачі векторної оптимізації до задачі оптимізації скалярного критерію і отримання, тим самим, однозначної відповіді. Відзначимо, що всі способи, які розглядаються нижче, задовольняють необхідній умові: мінімізація скалярного критерію дає рішення з області Парето.
Як уже відзначено, для оптимізації ХТМ будуються спеціальні економіко-математичні моделі, формалізовано описують можливі варіанти функціонування. Хоча і в описаних практичних завданнях поставлені цілі виражалися одним-єдиним критерієм, при оптимізації ХТМ облік лише одного скалярного критерію оптимізації в багатьох випадках виявляється недостатнім. Це пояснюється тим, що в дійсності обраний скалярний критерій оптимальності відповідає на вимогу, що пред'являється лише до одного якості оптимізується системи, тоді як інші вимоги, часом не менш важливі, ігноруються. З іншого боку, все зростаюча складність знаходження найкращих рішень в тій чи іншій проізврдственной1 ситуації породжує необхідність її одночасної оцінки за різними критеріями, кожен з яких характеризує ту чи іншу якісну сторону прийнятого рішення. І, нарешті, в умовах, коли не сформульована і не доведена теоретична можливість побудови єдиного народногосподарського критерію, а локальний критерій оптимальності визначається не єдиним способом, використання множинних показників для оцінки діяльності конкретних господарських об'єктів неминуче. Звісно ж взагалі малообоснованним думку, що в будь-якій економічній ситуації може бути однозначно визначено і кількісно виражений єдиний критерій оптимальності - йдеться в[21 с. Там же далі зазначається, що в Насправді така можливість залежить від ступеня структуризації вирішуваної проблеми.
Рішення ж, що визначаються будь-який з точок кривої АВ, можна поліпшити одночасно за двома критеріями. Зі сказаного випливає, що, по-перше, шукані рішення повинні бути Парето-оптімал'нимі, оскільки інші рішення свідомо гірше відразу по всьому скалярним критеріям, і, по-друге, необхідна якась додаткова інформація для вибору єдиного з множин Па-рето- оптимальних рішень.
Легко бачити, що точки відрізків АВ Е АТ є ефективними рішеннями і утворюють переговорний безліч, яке не є опуклим. Тому замість того щоб перебирати точки переговорного безлічі відповідно до деякого критерію, зазвичай прагнуть приватні критерії gk (х) згорнути в один узагальнений скалярний критерій, мінімізація якого призводить до ефективного вирішення.
До недоліків методу послідовних поступок слід віднести необхідність формування експертних оцінок як для призначення пріоритетів, так і для призначення поступок, а також необхідність застосування різних процедур оптимізації, якщо скалярні критерії мають різну математичну форму. Крім того, виникають додаткові труднощі при невдалому виборі пріоритетів або поступок, коли резерви пошуку локально оптимальних рішень виявляються вичерпаними раніше, ніж розглянуті всі скалярні критерії. Зазначені недоліки практично виключають можливість застосування методів даної групи до завданням прийняття оперативних рішень.
Тут зосередимо увагу на понятті суттєвої многокритериальности, наявність якої робить необхідним проведення багатокритеріальної оптимізації (МО) при вирішенні відповідних завдань планування. Істотну многокр-матеріальних охарактеризуємо: 1) наявністю багатьох формалізованих критеріїв 9 2) їх неспівмірністю між собою, що не дозволяє на досить об'єктивної та достовірної основі звести всі ці критерії в єдиний скалярний критерій оптимальності, а вимагає розглядати ці критерії як деяку сукупність або вектор.
Незалежно від прийнятого принципу оптимальності під час розв'язання задачі (15.4) динамічного синтезу основна трудомісткість пов'язана з багатокроковими оптимізаційними процедурами, що полягають у визначенні кількісних значень узагальненого скалярного критерію ефективності А для варьируемой динамічної моделі при поточних значеннях динамічних параметрів. визначення поточного значення критерію А вимагає обчислень поточних значень всіх локальних критеріїв ефективності, якими в основному завданню синтезу є динамічні критерії якості елементів силового ланцюга машинного агрегату. Обчислювальна трудомісткість динамічного синтезу з прийнятим узагальненим скалярним критерієм ефективності істотно залежить від математичної форми подання критерію.
Як уже відзначено, для оптимізації ХТМ будуються спеціальні економіко-математичні моделі, формалізовано описують можливі варіанти функціонування. Хоча і в описаних практичних завданнях поставлені цілі виражалися одним-єдиним критерієм, при оптимізації ХТМ облік лише одного скалярного критерію оптимізації в багатьох випадках виявляється недостатнім. Це пояснюється тим, що в дійсності обраний скалярний критерій оптимальності відповідає на вимогу, що пред'являється лише до одного якості оптимізується системи, тоді як інші вимоги, часом не менш важливі, ігноруються. З іншого боку, все зростаюча складність знаходження найкращих рішень в тій чи іншій проізврдственной1 ситуації породжує необхідність її одночасної оцінки за різними критеріями, кожен з яких характеризує ту чи іншу якісну сторону прийнятого рішення. І, нарешті, в умовах, коли не сформульована і не доведена теоретична можливість побудови єдиного народногосподарського критерію, а локальний критерій оптимальності визначається не єдиним способом, використання множинних показників для оцінки діяльності конкретних господарських об'єктів неминуче. Звісно ж взагалі малообоснованним думку, що в будь-якій економічній ситуації може бути однозначно визначено і кількісно виражений єдиний критерій оптимальності - йдеться в[21 с. Там же далі зазначається, що в дійсності така можливість залежить від ступеня структуризації вирішуваної проблеми.
У зв'язку з цим завданням глобального динамічного синтезу є забезпечення виключення резонансних зон, породжуваних зазначеної своєю формою, з робочого швидкісного діапазону двигуна. При цьому слід прагнути, щоб власна форма з частотою &. Тоді як скалярного критерію ефективності, що оцінює рівень динамічної навантаженості силового ланцюга машинного агрегату, при вирішенні даної задачі синтезу може бути прийнятий максимальний пружний момент або утомлююча пошкодження сочленяющимся з'єднання.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокршперіальна), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять сб оптимізації по векторних критеріям, маючи на увазі під Цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокритеріальних), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять про оптимізацію по векторних критеріям, маючи на увазі під цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо. Методи ув'язки таких приватних оптимальних рішень і знаходження прийнятних рішень з урахуванням кількох критеріїв повели б нас далеко за рамки цієї книги, і ми їх розглядати не будемо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокршперіальна), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять сб оптимізації по векторних критеріям, маючи на увазі під Цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокритеріальних), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять про оптимізацію по векторних критеріям, маючи на увазі під цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо. Методи ув'язки таких приватних оптимальних рішень і знаходження прийнятних рішень з урахуванням кількох критеріїв повели б нас далеко за рамки цієї книги, і ми їх розглядати не будемо.
Застосування скалярного критерію і методів згортки дозволяє лінійно впорядковувати порівнювані об'єкти, тобто вибудувати їх по старшинству оцінок. Ранжування по Парето при багатокритеріальних оцінках дозволяє впорядковувати об'єкти не лінійно, а по групам, вважаючи, що всі елементи всередині групи рівноцінні, тобто перейти від лінійного упорядкування до групового. При цьому перевага встановлюється не між окремими об'єктами, а між їх рівноцінними групами. Такий підхід не дає ніяких переваг, якщо упорядкування проводиться по одному показнику, але відкриває нові можливості, якщо таких показників кілька.
Якщо все скалярні критерії завдання вибору підлягають мінімізації, то в якості біутопіческой точки доцільно взяти точку початку координат простору критеріїв. У цьому випадку необхідність в процедурах скалярною мінімізації відпадає і може бути створений дуже ефективний з обчислювальної точки зору алгоритм.
Максимальне число скалярних критеріїв, з яких може бути сформований векторний критерій, мабуть одно сумарному числу керуючих і вихідних параметрів керованого процесу. При розрахунку систем управління число критеріїв зазвичай прагнуть зменшити. Сам по собі факт додавання нового критерію до обраної системі критеріїв ще не означає зміни рішень, одержуваних щодо рішень, знайдених раніше. Ці зміни пов'язані, перш за все, зі скаляризації, призначенням вагових коефіцієнтів або порогів. Очевидно, що існують такі значення вагових коефіцієнтів або порогів для нового і колишнього векторного критерію, які забезпечать одні і ті ж результати.
Затвердження 4.3. Безліч скалярних критеріїв, яке формує векторний критерій оптимізації, на етапі постановки завдання може бути доповнено будь-яким новим критерієм.
На жаль, сконструювати скалярні критерії елементів, оптимізація яких свідомо призводить до глобального оптимуму, вдається не часто. Тому передбачається наступна процедура вибору критеріїв елементів.
Для такого порівняння повинен бути обраний деякий скалярний критерій, який об'єднує приватні показники в багатокритеріальних ситуаціях.
Ключовим питанням при будь-оптимізації є вибір скалярного критерію Q, здійснюваний неформально виходячи з компромісу між відповідністю суті завдання управління і простотою, що допускає рішення задачі оптимізації. Найбільш завершеним метод аналітичного синтезу виходить при використанні в якості критерію математичного очікування від квадратического функціоналу (квадратич-ської форми) координат синтезується системи управління.
Існує кілька способів зведення задачі векторної оптимізації до задачі оптимізації скалярного критерію і отримання, тим самим, однозначної відповіді. Відмітимо, що всі способи, які розглядаються нижче, задовольняють необхідній умові: мінімізація скалярного критерію дає рішення з області Парето.
Для ланки 3 ез - р max е2 р, і скалярний критерій може бути обраний управлінським персоналом виходячи з інтересів цієї ланки і обмежень ез -, якщо вони задані. Наприклад, при оптимізації управління ділянками металургійного підприємства в ланцюгу мартен-блюмінг, якщо продуктивність мартенівського цеху нижче продуктивності блюмінга, слід максимізувати продуктивність мартенівського цеху.
У цьому випадку завдання порівняння альтернатив зводиться до прийняття рішень зі скалярним критерієм, а всі інші критерії враховуються у вигляді заданих обмежень. Оцінки альтернатив, які не відповідають заданим значенням д /0), показують, що їх можна далі не розглядати.
Безліч досяжних значень критеріїв оптимальності F і множин Парето Ff. У більшості випадків вибір відносини порядку призводить векторну задачу до задачі зі скалярним критерієм. Іноді цю процедуру називають сверткой критеріїв.
Вектори ефективності (4) і (6) можуть бути доповнені будь-яким скалярним критерієм.
Якщо результати альтернатив оцінюються за одним критерієм, то говорять про завдання прийняття рішень зі скалярним критерієм, якщо за кількома, то - про завдання прийняття рішень з векторним критерієм.
Розглянуті в цьому розділі механізми вибору засновані на вимірі з незалежних шкалами, сукупності незалежних шкал (скалярний критерій), векторному критерію, але можуть бути застосовані і до парно-домінантним механізму вибору. Логічні процедури вибору, використовують нечіткі оцінки, є продуктом окремого дослідження.
Один з можливих підходів до синтезу хіміко-технологічних систем в умовах невизначеності полягає в тому, щоб сформувати скалярний критерій гнучкості системи, а для визначення значень проектних змінних на першому етапі використовувати тільки деяку підмножину можливих реалізацій невизначених параметр ів.
Класифікація критеріїв оптимальності. Перший спосіб полягає в нормуванні всіх вихідних параметрів схеми за допомогою вагових коефіцієнтів і подальше об'єднання їх в узагальнений формальний скалярний критерій оптимальності, який потім і піддається максимізації або мінімізації. Другий спосіб зводиться до побудови минимаксного узагальненого критерію оптимальності, що полягає в використанні на кожному кроці оптимізації максимального відхилення будь-якого з вихідних параметрів від свого оптимального (або номінального) значення і вирішення завдання мінімізації даного максимального відхилення. І та і інша постановка задачі будуть детально розглянуті в наступних параграфах.
Застосовуючи цей підхід, можна уявити собі, що всі локальні критерії при проектуванні об'єднуються (згортаються) в скалярний критерій, екстремум якого потім знаходять за допомогою ЦВМ з урахуванням обмежень.
Поняття ефективного вектора результатів навряд чи має велике значення, оскільки не дає нічого нового в порівнянні з оптимізацією скалярного критерію ефективності при наявності невизначених факторів.
Як ми знаємо з першого розділу, аналіз подібної конфлікт-ної ситуацій повинен початися зі відомості векторного критерію (3.8) до деякого скалярного критерію.
Як ми знаємо з першого розділу, аналіз подібної конфліктної ситуації повинен початися зі відомості векторного критерію (3.8) до деякого скалярного критерію.
Зведення задач оптимізації з векторним критерієм (кожен вихідний параметр являє собою компоненту даного вектора) до задачі оптимізації зі скалярним критерієм, що представляє собою певним чином обрану згортку критеріїв, буде приведено в наступних параграфах.
Для оцінки якості води в річках Росії і вирішення проблеми їх очищення в роботі[3.13]використовувалися чотири, але векторних критерію: санітарний, токсикологічний, рибогосподарський, загальний і скалярний критерій вартості робіт, останній у багатьох випадках розглядався як обмеження.
Незалежно від прийнятого принципу оптимальності під час розв'язання задачі (15.4) динамічного синтезу основна трудомісткість пов'язана з багатокроковими оптимізаційними процедурами, що полягають у визначенні кількісних значень узагальненого скалярного критерію ефективності А для варьируемой динамічної моделі при поточних значеннях динамічних параметрів. Визначення поточного значення критерію А вимагає обчислень поточних значень всіх локальних критеріїв ефективності, якими в основному завданню синтезу є динамічні критерії якості елементів силового ланцюга машинного агрегату. Обчислювальна трудомісткість динамічного синтезу з прийнятим узагальненим скалярним критерієм ефективності істотно залежить від математичної форми подання критерію.
При формуванні формальних узагальнених критеріїв виникає задача перетворення всіх разноразмерних вихідних параметрів в безрозмірні величини, які вже можна порівнювати між собою і об'єднувати в скалярні критерії або згортки. Таке перетворення досягається шляхом масштабування або нормування вихідних параметрів. При цьому призначення коефіцієнтів нормування або вагових коефіцієнтів для деяких критеріїв оптимальності визначає ступінь впливу кожного окремого вихідного параметра на цільову функцію.
Оскільки безліч ефективних альтернатив може містити дуже велику (або навіть нескінченна) кількість елементів, в ряді випадків приймаються деякі угоди, що дозволяють побудувати єдиний скалярний критерій, який включає складові векторного критерію Q і дозволяє порівнювати різні варіанти проекту.
Площина критеріїв.
Крива АВ визначає для даного прикладу область Парето, яка характеризується тим властивістю, що будь-який належить цій області рішення не можна поліпшити одночасно по всьому скалярним критеріям.
До недоліків методу послідовних поступок слід віднести необхідність формування експертних оцінок як для призначення пріоритетів, так і для призначення поступок, а також необхідність застосування різних процедур оптимізації, якщо скалярні критерії мають різну математичну форму. Крім того, виникають додаткові труднощі при невдалому виборі пріоритетів або поступок, коли резерви пошуку локально оптимальних рішень виявляються вичерпаними раніше, ніж розглянуті всі скалярні критерії. Зазначені недоліки практично виключають можливість застосування методів даної групи до завдань прийняття оперативних рішень.
ВЕКТОРНА ОПТИМІЗАЦІЯ[vector optimization ]- Комплекс методів вирішення задач математичного програмування, в яких критерій оптимальності являє собою вектор, компонентами якого є, в свою чергу, не зводяться один до одного скалярні критерії оптимальності підсистем, що входять в дану систему (напр. При цьому завдання оптимізації істотно видозмінюється в порівнянні з тими завданнями, які розглядаються в більшості статей словника. У них вона зводиться до того, щоб, знаючи умови і обмеження, знайти такий план, який би максимізувати або мінімізував єдиний заданий критеріальний показник.
При визначенні кількості інформації є можливість врахувати вплив ненадійності статистики не шляхом вказівки довірчих рівнів, а безпосередньо зменшенням відповідних величин інформації. Одиничний скалярний критерій - кількість інформації - дозволяє брати до уваги вплив різних чинників /в тому числі і обсягу статистики /, не зачіпаючи самої структури аналізу.
Для вимірювання ефективності обраного управління ми вводимо скалярний критерій помилки - деяку просту міру якості управління. Таким чином, завдання зводиться до відшукання управління, що забезпечує найменше значення цього критерію. Деякі характеристики такого процесу мінімізації описані в гл.
Ці вимоги можуть бути виконані тим успішніше, ніж більш точні наші відомості про зв'язок між інтересами центру і показниками елементів. Граничним випадком тут є можливість апріорного завдання скалярних критеріїв елементів, оптимізація яких призводить до глобального оптимуму.
Для вирішення цього завдання запропоновано цілий ряд методів. Зазвичай прагнуть згорнути приватні критерії Zj (л :) в один узагальнений скалярний критерій, мінімізація якого призводить до ефективного вирішення.
Чебишовських принцип оптимальності забезпечує при пошуку оптимального рішення задачі (15.4) більш рівномірний, ніж при інтегральному принципі оптимальності, зниження рівня всіх локальних критеріїв ефективності. Перехід від інтегрального до чебишовських принципом оптимальності доцільний, якщо завдання синтезу (15.4) при узагальненому скалярном критерії у формі (15.6) або (15.7) виявляється неспроможною. Використання критерію А в вигляді (1510) дозволяє оцінити за результатами синтезу граничні можливості досліджуваного структурного класу моделей при заданих обмеженнях параметрів.
Існує кілька способів зведення задачі векторної оптимізації до задачі оптимізації скалярного критерію і отримання, тим самим, однозначної відповіді. Відзначимо, що всі способи, які розглядаються нижче, задовольняють необхідній умові: мінімізація скалярного критерію дає рішення з області Парето.
Як уже відзначено, для оптимізації ХТМ будуються спеціальні економіко-математичні моделі, формалізовано описують можливі варіанти функціонування. Хоча і в описаних практичних завданнях поставлені цілі виражалися одним-єдиним критерієм, при оптимізації ХТМ облік лише одного скалярного критерію оптимізації в багатьох випадках виявляється недостатнім. Це пояснюється тим, що в дійсності обраний скалярний критерій оптимальності відповідає на вимогу, що пред'являється лише до одного якості оптимізується системи, тоді як інші вимоги, часом не менш важливі, ігноруються. З іншого боку, все зростаюча складність знаходження найкращих рішень в тій чи іншій проізврдственной1 ситуації породжує необхідність її одночасної оцінки за різними критеріями, кожен з яких характеризує ту чи іншу якісну сторону прийнятого рішення. І, нарешті, в умовах, коли не сформульована і не доведена теоретична можливість побудови єдиного народногосподарського критерію, а локальний критерій оптимальності визначається не єдиним способом, використання множинних показників для оцінки діяльності конкретних господарських об'єктів неминуче. Звісно ж взагалі малообоснованним думку, що в будь-якій економічній ситуації може бути однозначно визначено і кількісно виражений єдиний критерій оптимальності - йдеться в[21 с. Там же далі зазначається, що в Насправді така можливість залежить від ступеня структуризації вирішуваної проблеми.
Рішення ж, що визначаються будь-який з точок кривої АВ, можна поліпшити одночасно за двома критеріями. Зі сказаного випливає, що, по-перше, шукані рішення повинні бути Парето-оптімал'нимі, оскільки інші рішення свідомо гірше відразу по всьому скалярним критеріям, і, по-друге, необхідна якась додаткова інформація для вибору єдиного з множин Па-рето- оптимальних рішень.
Легко бачити, що точки відрізків АВ Е АТ є ефективними рішеннями і утворюють переговорний безліч, яке не є опуклим. Тому замість того щоб перебирати точки переговорного безлічі відповідно до деякого критерію, зазвичай прагнуть приватні критерії gk (х) згорнути в один узагальнений скалярний критерій, мінімізація якого призводить до ефективного вирішення.
До недоліків методу послідовних поступок слід віднести необхідність формування експертних оцінок як для призначення пріоритетів, так і для призначення поступок, а також необхідність застосування різних процедур оптимізації, якщо скалярні критерії мають різну математичну форму. Крім того, виникають додаткові труднощі при невдалому виборі пріоритетів або поступок, коли резерви пошуку локально оптимальних рішень виявляються вичерпаними раніше, ніж розглянуті всі скалярні критерії. Зазначені недоліки практично виключають можливість застосування методів даної групи до завданням прийняття оперативних рішень.
Тут зосередимо увагу на понятті суттєвої многокритериальности, наявність якої робить необхідним проведення багатокритеріальної оптимізації (МО) при вирішенні відповідних завдань планування. Істотну многокр-матеріальних охарактеризуємо: 1) наявністю багатьох формалізованих критеріїв 9 2) їх неспівмірністю між собою, що не дозволяє на досить об'єктивної та достовірної основі звести всі ці критерії в єдиний скалярний критерій оптимальності, а вимагає розглядати ці критерії як деяку сукупність або вектор.
Незалежно від прийнятого принципу оптимальності під час розв'язання задачі (15.4) динамічного синтезу основна трудомісткість пов'язана з багатокроковими оптимізаційними процедурами, що полягають у визначенні кількісних значень узагальненого скалярного критерію ефективності А для варьируемой динамічної моделі при поточних значеннях динамічних параметрів. визначення поточного значення критерію А вимагає обчислень поточних значень всіх локальних критеріїв ефективності, якими в основному завданню синтезу є динамічні критерії якості елементів силового ланцюга машинного агрегату. Обчислювальна трудомісткість динамічного синтезу з прийнятим узагальненим скалярним критерієм ефективності істотно залежить від математичної форми подання критерію.
Як уже відзначено, для оптимізації ХТМ будуються спеціальні економіко-математичні моделі, формалізовано описують можливі варіанти функціонування. Хоча і в описаних практичних завданнях поставлені цілі виражалися одним-єдиним критерієм, при оптимізації ХТМ облік лише одного скалярного критерію оптимізації в багатьох випадках виявляється недостатнім. Це пояснюється тим, що в дійсності обраний скалярний критерій оптимальності відповідає на вимогу, що пред'являється лише до одного якості оптимізується системи, тоді як інші вимоги, часом не менш важливі, ігноруються. З іншого боку, все зростаюча складність знаходження найкращих рішень в тій чи іншій проізврдственной1 ситуації породжує необхідність її одночасної оцінки за різними критеріями, кожен з яких характеризує ту чи іншу якісну сторону прийнятого рішення. І, нарешті, в умовах, коли не сформульована і не доведена теоретична можливість побудови єдиного народногосподарського критерію, а локальний критерій оптимальності визначається не єдиним способом, використання множинних показників для оцінки діяльності конкретних господарських об'єктів неминуче. Звісно ж взагалі малообоснованним думку, що в будь-якій економічній ситуації може бути однозначно визначено і кількісно виражений єдиний критерій оптимальності - йдеться в[21 с. Там же далі зазначається, що в дійсності така можливість залежить від ступеня структуризації вирішуваної проблеми.
У зв'язку з цим завданням глобального динамічного синтезу є забезпечення виключення резонансних зон, породжуваних зазначеної своєю формою, з робочого швидкісного діапазону двигуна. При цьому слід прагнути, щоб власна форма з частотою &. Тоді як скалярного критерію ефективності, що оцінює рівень динамічної навантаженості силового ланцюга машинного агрегату, при вирішенні даної задачі синтезу може бути прийнятий максимальний пружний момент або утомлююча пошкодження сочленяющимся з'єднання.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокршперіальна), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять сб оптимізації по векторних критеріям, маючи на увазі під Цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокритеріальних), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять про оптимізацію по векторних критеріям, маючи на увазі під цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо. Методи ув'язки таких приватних оптимальних рішень і знаходження прийнятних рішень з урахуванням кількох критеріїв повели б нас далеко за рамки цієї книги, і ми їх розглядати не будемо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокршперіальна), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять сб оптимізації по векторних критеріям, маючи на увазі під Цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо.
Якщо ризик являє собою скалярную величину (завдання вирішення однокритеріальних), то має сенс говорити про оптимальне рішення, що мінімізує ризик. У таких випадках ризик є векторною функцію і про оптимальні рішення, строго кажучи, мови бути не може. Дійсно, в загальному випадку не існує рішення, для якого все координати векторного ризику одночасно мають мінімальні можливі значення. Проте на практиці часто говорять про оптимізацію по векторних критеріям, маючи на увазі під цим вироблення прийнятного рішення, досить гарного з точки зору всіх скалярних критеріїв. Всі вони в тій чи іншій мірі містять визначення рішень, оптимальних з точки зору кожного скалярного критерію окремо. Методи ув'язки таких приватних оптимальних рішень і знаходження прийнятних рішень з урахуванням кількох критеріїв повели б нас далеко за рамки цієї книги, і ми їх розглядати не будемо.