А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Сімейство - випадкова величина

Сімейство випадкових величин (Xfe) незалежно.

Сімейство випадкових величин, індексом якого служить часовий параметр /, називається випадковим (або стохастичним) процесом. Xt: (І, s, P) - (R, Щ, називається випадковим процесом (або випадковою функцією) з безліччю 0 допустимих значень індексу /і безліччю станів R. Надалі індексним параметром буде час і індексним безліччю 8 буде або речова пряма R, або (якщо процес починається з t 0) неотрицательная полупрямая. Зауважимо, що випадкова величина, як уже говорилося, є функція, яка відображає простір елементарних подій в речові числа. Якщо ми зафіксуємо перший аргумент, час, і дозволимо зі приймати будь-які значення з простору елементарних подій, то, за визначенням, Х /(-) - випадкова величина.

Сімейство випадкових величин (Ха АЕЛ називається незалежним в сукупності), коли буде той дім a[Xa ]  aeA незалежно в сукупності. Сімейство випадкових величин Xat ct е - Л називається мезя-яісімим від а-поля & -, якщо a[Xa: сс Л ]і незалежні і сукупності.

Сімейство випадкових величин - Xj, t Е Е з R утворює випадковий процес (СП), де t називається параметром СП, а 9 - параметричних безліччю. СП називається СП з дискретним часом. Якщо 9 - інтервал на числової осі, то СП називається СП з безперервним часом. UQ) як функція параметра t називається реалізацією (траєкторією) СП. Значення x (t) при фіксованому t - t x - x (i) називається вибірковим значенням або просто значенням СП. Безліч вибіркових значень х &, tfc G Т З 9 називається тимчасовим поруч.

Тоді сімейство випадкових величин л Л1 є рівномірно інтегрованим.

Якщо сімейство випадкових величин Х рівномірно інтегрувального (зокрема, якщо з ймовірністю одиниця Х С.

Випадкової функцією називається сімейство випадкових величин, залежне від одного або декількох параметрів.

Випадковим процесом називають сімейство випадкових величин, що залежать від часу, які змінюються в процесі досвіду.

Доведіть, що сімейство випадкових величин W (r /п), п G N є рівномірно інтегрованим.

Однак можливі й інші випадки канонічно стійких сімейств випадкових величин.

У розділі I випадкова функція була визначена як сімейство випадкових величин, що залежать від параметра. Аксіоматика теорії ймовірностей безпосередньо підказує, що під випадковою функцією природно розуміти довільне сімейство випадкових величин, заданих на одному і тому ж імовірнісний просторі.

Mg оо тоді і тільки тоді, коли сімейство випадкових величин% п п рівномірно інтегрувального.

Ця модель стосовно складної водогосподарської системі являє собою сімейство випадкових величин Q /, які приймають тільки дійсні і позитивні значення, де t пробігає безліч цілих чисел.

Витрати води, що притікає до кожного водосховища, складають вказане вище сімейство випадкових величин і розглядаються як випадковий вектор, компоненти якого стохастически пов'язані в силу деякої спільності ландшафтних і кліматичних умов стокообразованія. Однак ці компоненти не підпорядковані ніяким додатковим умовам у вигляді нерівності Qi Qa - - Qn, так як в побудовах використовуються не витрати води в створі річки, а бічні притоки між створами.
 Випадкову ф-цію можна розглядати як однопараметричне - з параметром /- сімейство випадкових величин.

Нехай X (Х, ЕГ) - субмартінгал, для якого сімейство випадкових величин Х рівномірно інтегрувального.

Нехай Х - (Х,) - субмартінгал, для якого сімейство випадкових величин[Хп ]рівномірно інтегрувального.

Визначення 121. Випадковою послідовністю в вимірному просторі (Г, 9) називається сімейство випадкових величин, які задані на одному і тому ж просторі Лебега, приймають значення з Г і заіндексувати цілими числами, лробегающімі деяку підмножину множини всіх цілих чисел.

Нехай X - (ХП, eFn) - субмартінгал, для якого сімейство випадкових величин ХП рівномірно інтегрувального.

Дати загальне формулювання властивості асимптотичної еквівалентності неравновероятних можливостей рівноймовірної допомагає поняття ентропійному стійкості сімейства випадкових величин.

кінцеві сімейства випадкових величин (випадкова величина, випадковий вектор) можуть розглядатися як окремий випадок довільних сімейств випадкових величин. Якщо Т містить лише одну точку, С - випадкова величина, а якщо безліч Т звичайно, С - Кінцевомірними випадковий вектор. Більш складний випадок, коли Т - безліч цілих чисел, призводить до поняттю бесконечномерного випадкового вектора або, як кажуть, випадкового процесу з дискретним параметром - часом. І, нарешті, якщо Т - інтервал дійсної осі, то сімейство випадкових величин називають випадковим процесом з безперервним параметром - часом. Її прийнято називати реалізацією, або вибіркової функцією.

Теорема 112. Якщо межі (1510) існують і кінцеві і перший з них відмінний від нуля, то сімейство випадкових величин Ентропійно стійко.

На закінчення цього параграфа обчислимо дисперсію ентропії, яку корисно знати при дослідженні питання про ентропійному стійкості (див. § 1.5) сімейства гауссових випадкових величин.

Починаючи з 20 - 30 років в теорії ймовірностей бурхливо розвивається один з її нових розділів - теорія випадкових процесів, що займається вивченням сімейств випадкових величин, що еволюціонують у часі. Була створена теорія марковських процесів, теорія стаціонарних процесів, теорія мартингалів, теорія граничних теорем для випадкових процесів.

Починаючи з 20 - 30 років в теорії ймовірностей бурхливо розвивається один з її нових розділів - теорія випадкових процесів, що займається вивченням сімейств випадкових величин, що еволюціонують у часі. Була створена теорія марковських процесів, теорія стаціонарних процесів, теорія мартингалів, теорія граничних теорем для випадкових процесів. До недавнього часу належить виникнення теорії інформації.

Сімейство випадкових величин (Ха АЕЛ називається незалежним в сукупності), коли буде той дім a[Xa ]aeA незалежно в сукупності. Сімейство випадкових величин Xat ct е - Л називається мезя-яісімим від а-поля & -, якщо a[Xa: сс Л ]і незалежні і сукупності.

Нехай сімейство випадкових величин ЩП п 1 рівномірно інтегрувального і Mlim rt існує.

Мартингали називають сімейство випадкових величин% (t), t T (T-безліч дійсних чисел), що володіють деяким байдужістю до минулого. Це байдужість полягає в тому, що умовні математичні очікування збільшень () - (Л) (i t2) при заданих значеннях (s), s t, незалежно від цих значень дорівнюють нулю.

Перетворення 6S вимірні на (&, Більш точно, перетворення (6Я) - взаємно однозначно відображає Л на J. Отже, перетворення Z-ZBS взаємно однозначно відображає сімейство оо-вимірних випадкових величин Z на сімейство і 1-вимірних випадкових величин. Якщо ми позначимо через x (t) число викликів, що надходять за проміжок часу (0 /), то для кожного фіксованого значення /]0 x (t) являє собою випадкову величину. При змінному /, x (t) являє собою одне-параметричне сімейство випадкових величин, яке називають випадковим процесом або випадковою функцією. Для функції x (t) характерно те, що вона: 1) може приймати тільки цілі невід'ємні значення і 2) із зростанням t ніколи не убуває.

Цей підхід цілком задовільний, коли мають справу лише з однією парою випадкових величин X, Y. Однак коли доводиться мати справу з цілими родинами випадкових величин, то неєдиний умовних розподілів призводить до серйозних труднощів. Тому чудово те, що на практиці можна обійтися без цієї громіздкої теорії.

Поняття теорії ймовірностей можуть бути визначені в термінах понять теорії міри. Оскільки ймовірність є нормованої мірою, а випадкові величини - кінцевими вимірними функціями, у властивостях послідовностей випадкових величин міститься щось нове в порівнянні з властивостями послідовностей вимірних функцій, визначених на загальних просторах з мірою. Так як в теорії ймовірностей імовірнісні простору потрібні тільки для того, щоб служити областю визначення родин випадкових величин, то ймовірні властивості будуть виражатися тільки в термінах законів розподілу цих родин. Закони розподілу є функціями множин, певні на борелевская полях в просторах значень випадкових величин; вони задаються функціями розподілу, які є функціями точок в тих же просторах значень. Перетворення Фур'є - Стільтьеса функцій розподілу (звані характеристичні функціями) в значній мірі спростять подальші дослідження.

Кінцеві сімейства випадкових величин (випадкова величина, випадковий вектор) можуть розглядатися як окремий випадок довільних сімейств випадкових величин. Якщо Т містить лише одну точку, С - випадкова величина, а якщо безліч Т звичайно, С - Кінцевомірними випадковий вектор. Більш складний випадок, коли Т - безліч цілих чисел, призводить до поняттю бесконечномерного випадкового вектора або, як кажуть, випадкового процесу з дискретним параметром - часом. І, нарешті, якщо Т - інтервал дійсної осі, то сімейство випадкових величин називають випадковим процесом з безперервним параметром - часом. Її прийнято називати реалізацією, або вибіркової функцією.