А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Твір - тензор
Твір тензорів залежить від порядку співмножників.
Твір тензорів, взагалі кажучи, залежить від порядків ка сомножителей.
Твором тензорів називається тензор, компоненти якого дорівнюють добуткам компонент сомножителей. В результаті множення утворюється новий тензор, ранг якого дорівнює сумі рангів перемножуєте тензорів.
Визначаючи твір тензора А на асиметричний тензор другого-рангу Т як вектор з компонентами (підсумовування по повторюваним індексам.
Визначаючи твір тензора Z на асиметричний тензор другого порядку Т як вектор з компонентами (підсумовування по повторюваним індексам.
Аналогічно визначається твір тензорів інших рангів, зокрема, вище (див. (X.
Аналогічно визначається твір тензорів інших рангів, зокрема, вьше (див. (X.
Правило коваріантного диференціювання твори тензорів збігається зі звичайним правилом диференціювання.
Існує два типи творів тензорів: зовнішнє і внутрішнє.
Разом з тим визначено твір тензорів для будь-якого числа співмножників.
Квадратними дужками позначена альтернация звичайного твори тензорів ху.
Будемо для стислості називати твором тензора на тензор такий тензор, складові якого виходять за правилами § 21 шляхом перемноження складових двох даних тензорів.
Таким чином, абсолютний диференціал твори тензорів дорівнює абсолютному диференціалу першого множника, помноженому на другий множник, плюс твір першого множника на абсолютний диференціал другого.
Визначимо тепер поряд з розглянутими вище звичайним твором тензорів тензорний добуток двох тензорів однаковою розмірності.
Правила коваріантного диференціювання для суми і твори тензорів збігаються з правилами звичайного диференціювання.
Сказане стосується і до коваріантного диференціювання твори складових тензорів.
Якщо в будь-якому вираженні (тензор або творі тензорів) індекс повторюється двічі. Це правило називається правилом Ейнштейна; ми вже скористалися ним в попередніх співвідношеннях.
Тензор, побудований в пропозицію 6 називається твором тензора А на тензор В і позначається А 8 В.
Тензор, побудований в реченні 6 називається твором тензора А на тензор В і позначається А В.
Без цих властивостей визначення лінійних операцій иад тензорами і твори тензорів було б безглуздим.
Відомо[см. (1.9.16) ], Що головні значення творів тензорів Q Q і Q Q дорівнюють один одному.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число /і позначимо ЯА.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число К і позначимо ЯА.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число Я і позначимо АА.
Що таке тензорне (зовнішнє) і скалярний (внутрішнє) твір тензорів. Однозначно Чи скалярний твір тензорів.
Тому і під інтегралом можна залишити тільки бесследовий тензор, оскільки твір бесследового тензора на одиничний дає при повному згортанні нуль.
Корисно помітити, що індекси, за якими проводиться підсумовування в творах тензорів (німі індекси), мають деяку свободу пересування.
Зі структури формули (33.5) легко зробити висновок, що правила коваріантного диференціювання сум і творів тензорів тотожні з застосовуваними в звичайному диференціюванні.
Звідси з урахуванням формул (53) і (71) До Jft, де твір тензора інерції (54) на вектор кутової швидкості ю розуміється як результат матричного множення.
Розглядаючи систему (1019), ми бачимо, що її можна представити у вигляді добутку тензора U на вектор dr - dv dx i - f - dx3e3 в такому вигляді.
За допомогою формул (9.7) і (9.8) легко доводиться, що ко-варіантні і контраваріантниє похідні суми, різниці та добутку тензорів підкоряються звичайними правилами диференціювання відповідно суми, різниці та добутку функцій.
Це і є загальне вираження для прискорення частинки Перша частина - приватна похідна по t, друга - твір тензора (10111) на.
Показати, що бівектор довільного тензора 7 /залежить тільки від T[i - ], Проте твір TtiSij тензора Тц на симетричний тензор Si - від[iy ]не залежить.
Розподілу напружень у пластичній зоні гу вершини тріщини при плосконапряженном стані (а і плоскої деформації (б. Розподіл напружень у вір шини тріщини при плоскому напруженому стані на прикладі тонкої пластини з тріщиною аналізувалося Хатчинсом[250], Який по одержав сингулярність типу г -]для твору тензора напружень на тензор деформацій, KajK і в роботі[112]для плоскої деформації, але тільки для радіального розподілений ня. для розподілу по куту воно відрізняється від розподілу при плоскій деформації.
Зауважимо ще, що т - X ч V і X ч ч якщо розглядати скаляр як тензор нульового рангу, то можна сформулювати наступне очевидне правило: твір двох псевдотензора є тензором, твір тензора на псевдотензора є псевдотензора.
При використанні змішаних компонент тензора в фіксованому простому полібазісе має місце відповідність між алгеброю тензорів другого рангу і алгеброю матриць в тому сенсі, що лінійної комбінації тензорів відповідає та ж лінійна комбінація матриць змішаних компонент, а твору тензорів відповідає твір матриць. При заміні базису за формулами (1.5), (1.7) матриця змішаних компонент замінюється подібної матрицею. Завдяки такому відповідності, багато понять і факти з теорії матриць відповідним чином переносяться на тензори другого рангу.
Сума векторів в неевклідовий просторі. Всякому вектору і кожному числу Котельников ставить у відповідність новий вектор з тим же початком і тій же прямій, з тим же напрямком, коли число позитивно, і з протилежним напрямком, коли число негативно, і з тензором, рівним твору тензора даного вектора на абсолютне значення даного числа.
Твір тензора на псевдотензора є псевдотензора.
Твір звичайного тензора на осьової є осьової тензор.
Можна вважати очевидним, що сума двох тензорів дає тензор, компоненти якого дорівнюють сумам відповідних компонент доданків. Точно так же твір тензора на скаляр дає тензор, компоненти якого виходять множенням відповідних компонентів даного тензора на цей скаляр. Перша з цих операцій коммутативна н асоціативна, друга коммутативна і дистрибутивних.
При цьому всі операції і властивості твори тензорів мають ті ж особливості, що і твори матриць (див. Гл. Внутрішнім твором двох тензорів називається результат операції згортання, застосованої до зовнішнього твору даних тензорів, причому збігаються індекси повинні фігурувати по одному в кожному з сомножителей. Для довідок наведемо деякі часто використовувані в механіці суцільного середовища твори тензорів, записані в індексних і в символічних позначеннях.
Всі операції алгебри, що встановлюються таким чином над тензорами, представляють безпосереднє застосування загальних ідей, що містяться в алгебрі Грассмана. Вони не носять на собі ніякого специфічного відбитка тензорного обчислення крім того, що сума або твір тензорів завжди являє собою також тензор. Але подальший розвиток спирається на основну теорему, вже специфічно випливає з тензорного характеру екстенсіва.
В обох випадках під твором тензора на вектор розуміють деякий вектор.
Для середовищ, що володіють різною симетрією, тензориі їх Непріводімие уявлення мають різне число компонент. Для порівняння між собою фізичних величин, описуваних цими тензорами, використовують норми тензорів. Нормою тензора називається сума квадратів всіх його елементів, тобто згорнуте за всіма індексами твір тензора самого на себе.
Твір тензорів, взагалі кажучи, залежить від порядків ка сомножителей.
Твором тензорів називається тензор, компоненти якого дорівнюють добуткам компонент сомножителей. В результаті множення утворюється новий тензор, ранг якого дорівнює сумі рангів перемножуєте тензорів.
Визначаючи твір тензора А на асиметричний тензор другого-рангу Т як вектор з компонентами (підсумовування по повторюваним індексам.
Визначаючи твір тензора Z на асиметричний тензор другого порядку Т як вектор з компонентами (підсумовування по повторюваним індексам.
Аналогічно визначається твір тензорів інших рангів, зокрема, вище (див. (X.
Аналогічно визначається твір тензорів інших рангів, зокрема, вьше (див. (X.
Правило коваріантного диференціювання твори тензорів збігається зі звичайним правилом диференціювання.
Існує два типи творів тензорів: зовнішнє і внутрішнє.
Разом з тим визначено твір тензорів для будь-якого числа співмножників.
Квадратними дужками позначена альтернация звичайного твори тензорів ху.
Будемо для стислості називати твором тензора на тензор такий тензор, складові якого виходять за правилами § 21 шляхом перемноження складових двох даних тензорів.
Таким чином, абсолютний диференціал твори тензорів дорівнює абсолютному диференціалу першого множника, помноженому на другий множник, плюс твір першого множника на абсолютний диференціал другого.
Визначимо тепер поряд з розглянутими вище звичайним твором тензорів тензорний добуток двох тензорів однаковою розмірності.
Правила коваріантного диференціювання для суми і твори тензорів збігаються з правилами звичайного диференціювання.
Сказане стосується і до коваріантного диференціювання твори складових тензорів.
Якщо в будь-якому вираженні (тензор або творі тензорів) індекс повторюється двічі. Це правило називається правилом Ейнштейна; ми вже скористалися ним в попередніх співвідношеннях.
Тензор, побудований в пропозицію 6 називається твором тензора А на тензор В і позначається А 8 В.
Тензор, побудований в реченні 6 називається твором тензора А на тензор В і позначається А В.
Без цих властивостей визначення лінійних операцій иад тензорами і твори тензорів було б безглуздим.
Відомо[см. (1.9.16) ], Що головні значення творів тензорів Q Q і Q Q дорівнюють один одному.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число /і позначимо ЯА.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число К і позначимо ЯА.
Тензор, побудований в реченні 4 ми назвемо твором тензора А на число Я і позначимо АА.
Що таке тензорне (зовнішнє) і скалярний (внутрішнє) твір тензорів. Однозначно Чи скалярний твір тензорів.
Тому і під інтегралом можна залишити тільки бесследовий тензор, оскільки твір бесследового тензора на одиничний дає при повному згортанні нуль.
Корисно помітити, що індекси, за якими проводиться підсумовування в творах тензорів (німі індекси), мають деяку свободу пересування.
Зі структури формули (33.5) легко зробити висновок, що правила коваріантного диференціювання сум і творів тензорів тотожні з застосовуваними в звичайному диференціюванні.
Звідси з урахуванням формул (53) і (71) До Jft, де твір тензора інерції (54) на вектор кутової швидкості ю розуміється як результат матричного множення.
Розглядаючи систему (1019), ми бачимо, що її можна представити у вигляді добутку тензора U на вектор dr - dv dx i - f - dx3e3 в такому вигляді.
За допомогою формул (9.7) і (9.8) легко доводиться, що ко-варіантні і контраваріантниє похідні суми, різниці та добутку тензорів підкоряються звичайними правилами диференціювання відповідно суми, різниці та добутку функцій.
Це і є загальне вираження для прискорення частинки Перша частина - приватна похідна по t, друга - твір тензора (10111) на.
Показати, що бівектор довільного тензора 7 /залежить тільки від T[i - ], Проте твір TtiSij тензора Тц на симетричний тензор Si - від[iy ]не залежить.
Розподілу напружень у пластичній зоні гу вершини тріщини при плосконапряженном стані (а і плоскої деформації (б. Розподіл напружень у вір шини тріщини при плоскому напруженому стані на прикладі тонкої пластини з тріщиною аналізувалося Хатчинсом[250], Який по одержав сингулярність типу г -]для твору тензора напружень на тензор деформацій, KajK і в роботі[112]для плоскої деформації, але тільки для радіального розподілений ня. для розподілу по куту воно відрізняється від розподілу при плоскій деформації.
Зауважимо ще, що т - X ч V і X ч ч якщо розглядати скаляр як тензор нульового рангу, то можна сформулювати наступне очевидне правило: твір двох псевдотензора є тензором, твір тензора на псевдотензора є псевдотензора.
При використанні змішаних компонент тензора в фіксованому простому полібазісе має місце відповідність між алгеброю тензорів другого рангу і алгеброю матриць в тому сенсі, що лінійної комбінації тензорів відповідає та ж лінійна комбінація матриць змішаних компонент, а твору тензорів відповідає твір матриць. При заміні базису за формулами (1.5), (1.7) матриця змішаних компонент замінюється подібної матрицею. Завдяки такому відповідності, багато понять і факти з теорії матриць відповідним чином переносяться на тензори другого рангу.
Сума векторів в неевклідовий просторі. Всякому вектору і кожному числу Котельников ставить у відповідність новий вектор з тим же початком і тій же прямій, з тим же напрямком, коли число позитивно, і з протилежним напрямком, коли число негативно, і з тензором, рівним твору тензора даного вектора на абсолютне значення даного числа.
Твір тензора на псевдотензора є псевдотензора.
Твір звичайного тензора на осьової є осьової тензор.
Можна вважати очевидним, що сума двох тензорів дає тензор, компоненти якого дорівнюють сумам відповідних компонент доданків. Точно так же твір тензора на скаляр дає тензор, компоненти якого виходять множенням відповідних компонентів даного тензора на цей скаляр. Перша з цих операцій коммутативна н асоціативна, друга коммутативна і дистрибутивних.
При цьому всі операції і властивості твори тензорів мають ті ж особливості, що і твори матриць (див. Гл. Внутрішнім твором двох тензорів називається результат операції згортання, застосованої до зовнішнього твору даних тензорів, причому збігаються індекси повинні фігурувати по одному в кожному з сомножителей. Для довідок наведемо деякі часто використовувані в механіці суцільного середовища твори тензорів, записані в індексних і в символічних позначеннях.
Всі операції алгебри, що встановлюються таким чином над тензорами, представляють безпосереднє застосування загальних ідей, що містяться в алгебрі Грассмана. Вони не носять на собі ніякого специфічного відбитка тензорного обчислення крім того, що сума або твір тензорів завжди являє собою також тензор. Але подальший розвиток спирається на основну теорему, вже специфічно випливає з тензорного характеру екстенсіва.
В обох випадках під твором тензора на вектор розуміють деякий вектор.
Для середовищ, що володіють різною симетрією, тензориі їх Непріводімие уявлення мають різне число компонент. Для порівняння між собою фізичних величин, описуваних цими тензорами, використовують норми тензорів. Нормою тензора називається сума квадратів всіх його елементів, тобто згорнуте за всіма індексами твір тензора самого на себе.