А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Твір - простір
Твори просторів і ьмучлйньі.
Твір просторів Х X Xi прийнято називати п-мірним.
Твір просторів, кожне з яких має властивість Додання, також володіє цією властивістю (пор. Докази цих тверджень аналогічні попереднім. Твір просторів кинематически незалежних систем є тензорним твором просторів. Твором просторів Х1 і Х2 називається простір X, що позначається Х ХГ X Х%, точками якого є всілякі впорядковані пари (xv x2), де ХГ.
Кожен твір зв'язкових просторів складно. Назад, якщо твір непорожньої просторів складно, то кожне з просторів-співмножників зв'язно.
Побудова творів просторів без праці узагальнюється на випадок незліченної кількості множників.
Застосування творів просторів в дослідженні незалежних функцій виходить далеко за межі описаного окремого випадку. Нехай, наприклад, fn - послідовність незалежних функцій і Y-декартовій твір послідовності числових прямих, на кожній з яких вимірність розуміється в сенсі Бореля.
У творі сепарабельних просторів будь сімейство попарно непересічних непустих відкритих множин лічильно.
Твердження, що твір простору на час є завжди найменшій можливій величиною, нам здається неправильним, тому що, згідно Лейбніца (і це вже вважається доведеним), зазначене твір є іноді і найбільшою можливою величиною.
Для того щоб твір просторів EL було компактно, необхідно і достатньо, щоб кожне А було компактно (теорема Тихонова, гл. Таким чином, твір навантажених просторів допускає також структуру навантаженого простору. Зазначена тут структура називається твором занурень просторів X і У. По індукції побудова може бути поширене на будь-яке число множників.
Безліч станів визначається твором просторів RDXRiXRzX Безліч D фіксує виконувану дію.
Якщо певна на творі просторів д, с. X интегрируема, то майже всі її перетину Х інтегровними.
Звичайно, на творі просторів можна визначити і інші ймовірності, наприклад, в термінах умовних ймовірностей. Вже згадана tr - алгебра множин 31 завжди буде не менше 91 ( 11х511 і в той же час за межі 5М11) х № 3 доводиться виходити досить рідко.
Довести, що декартовій твір Сепар-кабельної просторів сепарабельном.
Доведемо тепер, що твір зв'язкових просторів складно.
Переходимо до узагальнення поняття твори просторів на випадок нескінченного - числа множників.
ЕТ ізоморфно векторному подпространству твори повних полунормірованних просторів. Тому досить показати, що будь безперервне лінійне відображення і простору Ет в повне полунормірованное простір F переводить А в предкомпактное безліч.
Побудоване імовірнісний простір називається твором просторів (Qb 5 Я) і (Q2 a - а) і позначається (І.
Якщо координатні простору пов'язані, твір просторів складно. Якщо координатні простору метрізуемості, твір просторів метрізуемості. Інакше кажучи, П - твір просторів Келлі - це твір їх носіїв з келліфікаціей звичайної топології твори. Кополнота слід звідси безпосередньо.
Можна отримати те ж саме одномірне твір простору на ширину смуги пропускання, що описується виразом (18), якщо об'єднати коефіцієнт збільшення, визначається виразом (19), і відповідне йому умову фокусування з межею дозволу по збільшеному об'єкту. Таким чином, відповідно до зроблених припущеннями одномірний ППШПП голограми обмежується параметрами фотоплівки і не залежить від збільшення.
Нехай 10-мірний простір-час розкладається на твір простору Маньківського і компактного 6-мірного різноманіття К. Тоді фонова кривизна Ло описує геометрію К.
Простір X гомеоморфним замкнутому подпространству твори просторів, метрізуемості повної метрикою.
Якщо координатні простору сепарабельном, то твір просторів сепарабельном.
Будь-яке Х (п) є нескінченновимірних твір просторів, подібне Х (Х)) тому все висновки.
У попередніх параграфах була розвинена теорія творів просторів в разі двох множників; тепер ми подивимося, як можна поширити цю теорію на довільне кінцеве число множників.
Тим самим доведено, що в творі просторів ХХ X X Х2 виконується друга аксіома отделимости.
Для нас буде важливо визначення заходів на творі просторів, що відображає властивість незалежності їх елементів.
Фреше[1910]першим розглядав (кінцеве) декартовій твір абстрактних просторів. Кінцеві і рахункові твори метричних просторів належать до топологическому фольклору 20 - х років. Теорема 2323 була доведена Тихоновим[1930], А теорема 2326 - Александровим[1936]; пов'язані з ними результати є в упр.
Зауважимо, нарешті, що характерйзаціі в термінах творів просторів в принципі теж можуть виявитися обчислюваності. Справді, якби можна було вказати, наскільки швидко об'єднання перших п множин в даному поданні наближається до счетному об'єднання, можна було б дати алгоритм для вирішення (за вказану кількість операцій) того, чи лежить дана точка в е-околиці розглянутого безлічі.
Якщо координатні простору задовольняють першій аксіомі счетностн, то твір просторів задовольняє першій аксіомі счетності.
З іншого боку, комплексне проективне простір Рп, твір комплексних проективних просторів не є голоморфних повними комплексними різноманітті. На них в силу теореми Ліувілля все голоморфні функції зводяться до постійних і, отже, вони голоморфної невіддільні.
У цьому параграфі ми розглянемо зв'язок між інтегралами за твором просторів і інтегралами по множників.
Ця теорема легко випливає з встановленої вище зв'язку між творами просторів і поняттям незалежності.
Однорідний многочлен Р ваги л визначається своїми значеннями на л-мірних декартових творах проективних просторів.
Так як заходи щ і Ц2 cr - кінцеві, то твір просторів розкладені на лічильну суму прямокутників зі сторонами кінцевої заходи. Отже, без обмеження спільності ми можемо припустити, що вихідні заходи кінцеві. Тому еМ містить всі вимірні прямокутники, а отже, поле кінцевих сум таких прямокутників. Але по теоремі про монотонної збіжності клас замкнутий щодо граничного переходу в неубутних послідовності, а по теоремі про збіжність мажоріруемой сел льодов атечьності і в силу кінцівки заходів Ж1 замкнутий щодо граничного переходу в незростаюча послідовності. Отже, по 1.6 цей клас містить твір а-полів х 2 і рівність інтегралів доведено. Кінцева функція множин ц, певна таким чином на, є в силу теореми про монотонної збіжності мірою. По теоремі про продовження заходів доведена формула однозначно визначає цей захід.
Об'єднання (недоладне) і твір топологічних просторів визначають суму і твір градуювальних просторів.
Доказ безпосередньо випливає з теореми Додання і з того, що твір паракомпактпого простору на бікомпактних простір Параку.
Аналогічно доводяться теореми про квазісжатой і стислій стійкості різницевої системи в творі просторів.
Нехай f (x, у) - інтегрована функція на творі просторів (X, лх) і (Y, цу), де заходи цх і цу повні і а-адитивні.
У цьому пункті буде доведена належить радянському математику А. Н. Тихонову теорема про бікомпактіостн твори просторів, яка відіграє центральну роль в теорії бікомпактних просторів і є однією з фундаментальних теорем загальної топології.
Неважко, комбінуючи теорію скінченновимірних творів з теорією безконечномірних творів, побудувати твори просторів, в яких кінцеве число множників має не цілком кінцевої, а лише а-кінцевої мірою.
У попередніх розділах основну роль грали поняття вимірної функції, інтеграла та твори просторів; Зараз ми з'ясуємо, який зміст набувають ці поняття в теорії ймовірностей.
Вимірні простір (X, 21), де Х ЕТ є л-кратне твір простору Е саме на себе, а про-алгебра 21 - 23Г є я-кратне добуток відповідних о-алгебр 23 називається вимірним координатним простором.
Нами розглянута теорема вибірки в координатному і частотному просторах і використано поняття твори простору на ширину смуги для визначення зв'язку загального числа точок вибірки з шириною спектра функції. Наведені приклади з оптики, що ілюструють використання теореми вибірки в ряді застосувань. Представлено статистичний опис випадкових сигналів, що припускає виконання умов стаціонарності і ергодичності, підкреслено значення усреднений по ансамблю і координатами.
Для подальшого розвитку теорії твістор з різних причин необхідно ввести в розгляд твори твісторних просторів, наприклад ТХТ і ТХТХТ, і досліджувати ко-гомології і деформації підмножин цих творів.
Процес /7 можна розглядати як точковий процес, певний на цьому творі просторів.
Твір просторів Х X Xi прийнято називати п-мірним.
Твір просторів, кожне з яких має властивість Додання, також володіє цією властивістю (пор. Докази цих тверджень аналогічні попереднім. Твір просторів кинематически незалежних систем є тензорним твором просторів. Твором просторів Х1 і Х2 називається простір X, що позначається Х ХГ X Х%, точками якого є всілякі впорядковані пари (xv x2), де ХГ.
Кожен твір зв'язкових просторів складно. Назад, якщо твір непорожньої просторів складно, то кожне з просторів-співмножників зв'язно.
Побудова творів просторів без праці узагальнюється на випадок незліченної кількості множників.
Застосування творів просторів в дослідженні незалежних функцій виходить далеко за межі описаного окремого випадку. Нехай, наприклад, fn - послідовність незалежних функцій і Y-декартовій твір послідовності числових прямих, на кожній з яких вимірність розуміється в сенсі Бореля.
У творі сепарабельних просторів будь сімейство попарно непересічних непустих відкритих множин лічильно.
Твердження, що твір простору на час є завжди найменшій можливій величиною, нам здається неправильним, тому що, згідно Лейбніца (і це вже вважається доведеним), зазначене твір є іноді і найбільшою можливою величиною.
Для того щоб твір просторів EL було компактно, необхідно і достатньо, щоб кожне А було компактно (теорема Тихонова, гл. Таким чином, твір навантажених просторів допускає також структуру навантаженого простору. Зазначена тут структура називається твором занурень просторів X і У. По індукції побудова може бути поширене на будь-яке число множників.
Безліч станів визначається твором просторів RDXRiXRzX Безліч D фіксує виконувану дію.
Якщо певна на творі просторів д, с. X интегрируема, то майже всі її перетину Х інтегровними.
Звичайно, на творі просторів можна визначити і інші ймовірності, наприклад, в термінах умовних ймовірностей. Вже згадана tr - алгебра множин 31 завжди буде не менше 91 ( 11х511 і в той же час за межі 5М11) х № 3 доводиться виходити досить рідко.
Довести, що декартовій твір Сепар-кабельної просторів сепарабельном.
Доведемо тепер, що твір зв'язкових просторів складно.
Переходимо до узагальнення поняття твори просторів на випадок нескінченного - числа множників.
ЕТ ізоморфно векторному подпространству твори повних полунормірованних просторів. Тому досить показати, що будь безперервне лінійне відображення і простору Ет в повне полунормірованное простір F переводить А в предкомпактное безліч.
Побудоване імовірнісний простір називається твором просторів (Qb 5 Я) і (Q2 a - а) і позначається (І.
Якщо координатні простору пов'язані, твір просторів складно. Якщо координатні простору метрізуемості, твір просторів метрізуемості. Інакше кажучи, П - твір просторів Келлі - це твір їх носіїв з келліфікаціей звичайної топології твори. Кополнота слід звідси безпосередньо.
Можна отримати те ж саме одномірне твір простору на ширину смуги пропускання, що описується виразом (18), якщо об'єднати коефіцієнт збільшення, визначається виразом (19), і відповідне йому умову фокусування з межею дозволу по збільшеному об'єкту. Таким чином, відповідно до зроблених припущеннями одномірний ППШПП голограми обмежується параметрами фотоплівки і не залежить від збільшення.
Нехай 10-мірний простір-час розкладається на твір простору Маньківського і компактного 6-мірного різноманіття К. Тоді фонова кривизна Ло описує геометрію К.
Простір X гомеоморфним замкнутому подпространству твори просторів, метрізуемості повної метрикою.
Якщо координатні простору сепарабельном, то твір просторів сепарабельном.
Будь-яке Х (п) є нескінченновимірних твір просторів, подібне Х (Х)) тому все висновки.
У попередніх параграфах була розвинена теорія творів просторів в разі двох множників; тепер ми подивимося, як можна поширити цю теорію на довільне кінцеве число множників.
Тим самим доведено, що в творі просторів ХХ X X Х2 виконується друга аксіома отделимости.
Для нас буде важливо визначення заходів на творі просторів, що відображає властивість незалежності їх елементів.
Фреше[1910]першим розглядав (кінцеве) декартовій твір абстрактних просторів. Кінцеві і рахункові твори метричних просторів належать до топологическому фольклору 20 - х років. Теорема 2323 була доведена Тихоновим[1930], А теорема 2326 - Александровим[1936]; пов'язані з ними результати є в упр.
Зауважимо, нарешті, що характерйзаціі в термінах творів просторів в принципі теж можуть виявитися обчислюваності. Справді, якби можна було вказати, наскільки швидко об'єднання перших п множин в даному поданні наближається до счетному об'єднання, можна було б дати алгоритм для вирішення (за вказану кількість операцій) того, чи лежить дана точка в е-околиці розглянутого безлічі.
Якщо координатні простору задовольняють першій аксіомі счетностн, то твір просторів задовольняє першій аксіомі счетності.
З іншого боку, комплексне проективне простір Рп, твір комплексних проективних просторів не є голоморфних повними комплексними різноманітті. На них в силу теореми Ліувілля все голоморфні функції зводяться до постійних і, отже, вони голоморфної невіддільні.
У цьому параграфі ми розглянемо зв'язок між інтегралами за твором просторів і інтегралами по множників.
Ця теорема легко випливає з встановленої вище зв'язку між творами просторів і поняттям незалежності.
Однорідний многочлен Р ваги л визначається своїми значеннями на л-мірних декартових творах проективних просторів.
Так як заходи щ і Ц2 cr - кінцеві, то твір просторів розкладені на лічильну суму прямокутників зі сторонами кінцевої заходи. Отже, без обмеження спільності ми можемо припустити, що вихідні заходи кінцеві. Тому еМ містить всі вимірні прямокутники, а отже, поле кінцевих сум таких прямокутників. Але по теоремі про монотонної збіжності клас замкнутий щодо граничного переходу в неубутних послідовності, а по теоремі про збіжність мажоріруемой сел льодов атечьності і в силу кінцівки заходів Ж1 замкнутий щодо граничного переходу в незростаюча послідовності. Отже, по 1.6 цей клас містить твір а-полів х 2 і рівність інтегралів доведено. Кінцева функція множин ц, певна таким чином на, є в силу теореми про монотонної збіжності мірою. По теоремі про продовження заходів доведена формула однозначно визначає цей захід.
Об'єднання (недоладне) і твір топологічних просторів визначають суму і твір градуювальних просторів.
Доказ безпосередньо випливає з теореми Додання і з того, що твір паракомпактпого простору на бікомпактних простір Параку.
Аналогічно доводяться теореми про квазісжатой і стислій стійкості різницевої системи в творі просторів.
Нехай f (x, у) - інтегрована функція на творі просторів (X, лх) і (Y, цу), де заходи цх і цу повні і а-адитивні.
У цьому пункті буде доведена належить радянському математику А. Н. Тихонову теорема про бікомпактіостн твори просторів, яка відіграє центральну роль в теорії бікомпактних просторів і є однією з фундаментальних теорем загальної топології.
Неважко, комбінуючи теорію скінченновимірних творів з теорією безконечномірних творів, побудувати твори просторів, в яких кінцеве число множників має не цілком кінцевої, а лише а-кінцевої мірою.
У попередніх розділах основну роль грали поняття вимірної функції, інтеграла та твори просторів; Зараз ми з'ясуємо, який зміст набувають ці поняття в теорії ймовірностей.
Вимірні простір (X, 21), де Х ЕТ є л-кратне твір простору Е саме на себе, а про-алгебра 21 - 23Г є я-кратне добуток відповідних о-алгебр 23 називається вимірним координатним простором.
Нами розглянута теорема вибірки в координатному і частотному просторах і використано поняття твори простору на ширину смуги для визначення зв'язку загального числа точок вибірки з шириною спектра функції. Наведені приклади з оптики, що ілюструють використання теореми вибірки в ряді застосувань. Представлено статистичний опис випадкових сигналів, що припускає виконання умов стаціонарності і ергодичності, підкреслено значення усреднений по ансамблю і координатами.
Для подальшого розвитку теорії твістор з різних причин необхідно ввести в розгляд твори твісторних просторів, наприклад ТХТ і ТХТХТ, і досліджувати ко-гомології і деформації підмножин цих творів.
Процес /7 можна розглядати як точковий процес, певний на цьому творі просторів.