А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Твір - відображення
Твори відображень S2S і 5А є зрушення або повороти (див. Стор. Отже, твір двох співмножників S2Si і S Sz є або зсув, або поворот (див. Стор. Так як рух є твором відображень. У групі, що складається з творів відображень, зрушення утворюють підгрупу. Твори відображень, які містять парне число співмножників, також утворюють підгрупу.
Таким чином, відображення, зворотне твору відображень, є знову твір відображень.
Обидва автоморфізм F і S F є творами відображень.
Ми бачимо, що операція (11.3), що дорівнює добутку відображення аг і повороту на кут 0 є дзеркальний поворот, тоді як операція (11.4), що дорівнює добутку інверсії і повороту на кут 0 є інверсійний поворот.
Отже, будь-яке представлення тотожного автоморфізм /у вигляді твору відображень містить парне число відображень.
Таким чином, відображення, зворотне твору відображень, є знову твір відображень.
Чи не складає труднощів довести цю-теорему; досить висловити задані обертання як твори відображень (попарно) в площинах, що утворюють сторони сферичного треугольнікаRP, PQ; PQ, QR; QR RP. Ця теорема і дане вище доказ представлені в роботі Коксетер ([8], Стор. Звідси випливає також, що будь-який автоморфизм можна представити у вигляді добутку відображень. Чи можна, поглянувши на автоморфизм, відразу, тобто не розкладаючи його на витвір відображень, сказати, чи є він рухом.
Якщо перетворення we W залишає на місці feE, то w представляється у вигляді добутку відображень ra (a е Д), кожне з яких залишає f на місці.
Покажемо, що найпростіші перетворення симетрії I роду руху - паралельний перенос і поворот - представляють твори відображень в двох площинах.
Необхідно, звичайно, показати, що кінцевий результат не залежить від уявлення у у вигляді твору відображень.
За допомогою аналогічних міркувань можна показати, що твір taSh ( a) (a 1 0) є дзеркальним поворотом навколо деякої точки і що taSk (0) є твір відображення в деякій площині ofc на трансляцію уздовж цієї площини.
У групі, що складається з творів відображень, зрушення утворюють підгрупу. Твори відображень, які містять парне число співмножників, також утворюють підгрупу.
Вони також утворюють групу. Твір будь-яких двох творів відображень саме є твором відображень.
Отже, автоморфізм простору утворюють гру пу. Ту ж групу утворюють твори відображень. Будь автоморфизм допускає подання до вигляді твору не більш ніж чотирьох відображень.
Відображення сфери S (z, аг) від діаметра, яке переводить а й а, переводить окружність К (ч,), де 0 е аг - az, в коло /С (а, е); а так як відображення зберігає довжину кривих, то кут з вершиною а матиме ту ж міру, що і кут з вершиною а, відповідний йому при цьому відображенні. Таким чином, відображення і твори відображень зберігають кутову міру.
Зручне властивість групи Isom 2) полягає в тому, що вона породжена відображеннями. Щоб показати це, розглянемо твір відображень аїр щодо прямих /і m відповідно.
Вони також утворюють групу. Твір будь-яких двох творів відображень саме є твором відображень.
Автоморфізм простору утворюють групу. Прикладами автоморфізмів можуть служити відображення відносно площин і твори відображень, що утворюють групу. Вона входить в групу всіх автоморфізмів простору як невласна (тобто збігається з усією групою) підгрупа.
Якщо площини Si, S2 паралельні, то твір S2Si відображень збігається із зсувом, тільки не площині, а простору: вектори, що йдуть від точки х до її образу S2S x, для всіх точок простору паралельні і мають однакову довжину і однаковий напрямок. Навпаки, будь-який зрушення простору можна представити у вигляді добутку відображень щодо двох належним чином підібраних паралельних площин.
Загальна доказ придатності цього способу, дане Кос-ТАНТА, ґрунтується на деяких властивостях групи Вейля і головною тривимірної подалгебри комплексної алгебри Лі G, відповідній групі &. Фундаментальну роль відіграє елемент R групи Вейля, який є твором відображень, пов'язаних з усіма простими корінням. Позначимо через h порядок цього елемента.
Доказ пропозиції 111. Оскільки група O (W) породжена відбитками щодо гіперплоскостей, відображення X сюр'ектів-но. Більш того, елемент а повинен антікоммутіровать з будь-яким w e W. Так як Tg є твір відображень, саме g є твором елементів з W.
Твори парного числа віддзеркалень відноси тельно плосковтей свідомо утворюють групу. Але чи є вона власною підгрупою групи автоморфізмів простору. Інакше кажучи, чи можна бути впевненим в тому, що підгрупа творів парного числа віддзеркалень не збігається з усією групою автоморфізмів. Будь автоморфизм допускає безліч найрізноманітніших уявлень у вигляді твору відображень, і цілком можна було б думати, що автоморфизм, які представлені у вигляді твору непарного числа віддзеркалень, уявімо і у вигляді твору парного числа віддзеркалень.
Таким чином, відображення, зворотне твору відображень, є знову твір відображень.
Обидва автоморфізм F і S F є творами відображень.
Ми бачимо, що операція (11.3), що дорівнює добутку відображення аг і повороту на кут 0 є дзеркальний поворот, тоді як операція (11.4), що дорівнює добутку інверсії і повороту на кут 0 є інверсійний поворот.
Отже, будь-яке представлення тотожного автоморфізм /у вигляді твору відображень містить парне число відображень.
Таким чином, відображення, зворотне твору відображень, є знову твір відображень.
Чи не складає труднощів довести цю-теорему; досить висловити задані обертання як твори відображень (попарно) в площинах, що утворюють сторони сферичного треугольнікаRP, PQ; PQ, QR; QR RP. Ця теорема і дане вище доказ представлені в роботі Коксетер ([8], Стор. Звідси випливає також, що будь-який автоморфизм можна представити у вигляді добутку відображень. Чи можна, поглянувши на автоморфизм, відразу, тобто не розкладаючи його на витвір відображень, сказати, чи є він рухом.
Якщо перетворення we W залишає на місці feE, то w представляється у вигляді добутку відображень ra (a е Д), кожне з яких залишає f на місці.
Покажемо, що найпростіші перетворення симетрії I роду руху - паралельний перенос і поворот - представляють твори відображень в двох площинах.
Необхідно, звичайно, показати, що кінцевий результат не залежить від уявлення у у вигляді твору відображень.
За допомогою аналогічних міркувань можна показати, що твір taSh ( a) (a 1 0) є дзеркальним поворотом навколо деякої точки і що taSk (0) є твір відображення в деякій площині ofc на трансляцію уздовж цієї площини.
У групі, що складається з творів відображень, зрушення утворюють підгрупу. Твори відображень, які містять парне число співмножників, також утворюють підгрупу.
Вони також утворюють групу. Твір будь-яких двох творів відображень саме є твором відображень.
Отже, автоморфізм простору утворюють гру пу. Ту ж групу утворюють твори відображень. Будь автоморфизм допускає подання до вигляді твору не більш ніж чотирьох відображень.
Відображення сфери S (z, аг) від діаметра, яке переводить а й а, переводить окружність К (ч,), де 0 е аг - az, в коло /С (а, е); а так як відображення зберігає довжину кривих, то кут з вершиною а матиме ту ж міру, що і кут з вершиною а, відповідний йому при цьому відображенні. Таким чином, відображення і твори відображень зберігають кутову міру.
Зручне властивість групи Isom 2) полягає в тому, що вона породжена відображеннями. Щоб показати це, розглянемо твір відображень аїр щодо прямих /і m відповідно.
Вони також утворюють групу. Твір будь-яких двох творів відображень саме є твором відображень.
Автоморфізм простору утворюють групу. Прикладами автоморфізмів можуть служити відображення відносно площин і твори відображень, що утворюють групу. Вона входить в групу всіх автоморфізмів простору як невласна (тобто збігається з усією групою) підгрупа.
Якщо площини Si, S2 паралельні, то твір S2Si відображень збігається із зсувом, тільки не площині, а простору: вектори, що йдуть від точки х до її образу S2S x, для всіх точок простору паралельні і мають однакову довжину і однаковий напрямок. Навпаки, будь-який зрушення простору можна представити у вигляді добутку відображень щодо двох належним чином підібраних паралельних площин.
Загальна доказ придатності цього способу, дане Кос-ТАНТА, ґрунтується на деяких властивостях групи Вейля і головною тривимірної подалгебри комплексної алгебри Лі G, відповідній групі &. Фундаментальну роль відіграє елемент R групи Вейля, який є твором відображень, пов'язаних з усіма простими корінням. Позначимо через h порядок цього елемента.
Доказ пропозиції 111. Оскільки група O (W) породжена відбитками щодо гіперплоскостей, відображення X сюр'ектів-но. Більш того, елемент а повинен антікоммутіровать з будь-яким w e W. Так як Tg є твір відображень, саме g є твором елементів з W.
Твори парного числа віддзеркалень відноси тельно плосковтей свідомо утворюють групу. Але чи є вона власною підгрупою групи автоморфізмів простору. Інакше кажучи, чи можна бути впевненим в тому, що підгрупа творів парного числа віддзеркалень не збігається з усією групою автоморфізмів. Будь автоморфизм допускає безліч найрізноманітніших уявлень у вигляді твору відображень, і цілком можна було б думати, що автоморфизм, які представлені у вигляді твору непарного числа віддзеркалень, уявімо і у вигляді твору парного числа віддзеркалень.