А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Увага - математик

Увага математиків давно прикута до проблеми ефективної обробки результатів експериментів. Ця проблема вивчається в розділі математичної статистики, практичну корисність якої відчуває численний загін експериментаторів-дослідників, що працюють в різних областях науки і техніки. Значно молодший інша область математичної статистики, яка називається плануванням експерименту. Практика показала, що розумний розподіл експериментальних витрат, ефективне планування експерименту не менш важливо, ніж ефективна обробка результатів експерименту. Вміле застосування цих двох областей математичної статистики дозволяє найбільш повно використовувати наявні ресурси і значно підняти ефективність експериментальних досліджень.

У цей період увагу математиків до дослідження диференціальних рівнянь з відхиляється аргументом значно підвищилася як в зв'язку з завданнями теорії керуючих систем, так і з-за внутрішнього багатства і краси властивостей таких рівнянь. Однак ця область інтенсивно розвивалася лише в невеликому числі напрямків зусиллями дуже обмеженого кола людей. Основною заслугою Л. Е. Ельсгольція є те, що він, одним з перших оцінивши значення і перспективи цієї галузі організував її всебічне вивчення, яке привело в кінцевому підсумку до оформлення в останні роки теорії диференціальних рівнянь з відхиляється аргументом як самостійної області математичного аналізу. З ініціативи Л. Е. Ельсгольція він сам, його учні і співробітники, багато інших математики, так чи інакше пов'язані з Л. Е. Ельсгольція, аналізували різні розділи теорії звичайних диференціальних рівнянь, з'ясовуючи, в якій формі відповідні результати переносяться на теорію диференціальних рівнянь із відхиленнями аргументом, які принципово новиною властивості виникають при такому перенесенні; виявивши такі властивості Л. Е. Ельсгольція ініціював їх детальне дослідження. Цьому чимало сприяли регулярні виступи Л. Е. Ельсгольція з аналізом проблем в цій галузі.

Ми сподіваємося на прихильну увагу математиків, які просто навчають основам лінійної алгебри. Це - справжня мета нашої книги і хочеться думати, що математиків не відлякувати численні підрахунки числа операцій і інші зауваження обчислювального характеру, особливо в гл. З практичної точки зору важливість таких зауважень очевидна. Але вони мають і серйозну теоретичну мета-сприяти більш детальному вивченню процесу виключення через фактичне підрахунку числа кроків.

Необхідно відзначити, що увага математиків цього періоду було залучено до нових методів дослідження геометричних питань.

Велику роль в залученні уваги математиків до спектральної теорії диференціальних операторів зіграла монографія Е. Ч. Тітчмарша[1]- W2w2w21. , В якій дано новий підхід до теорії сингулярних операторів другого порядку і поставлений (частково під впливом завдань квантової механіки) і вирішений цілий ряд нових завдань.

Інтегральне уявлення операторів давно привертає увагу математиків.

Елементарна і проективна геометрія привертають увагу математиків гл. Але основними відділами геометрії, що привертають найбільш значні наукові сили, стає диференціальна і алгебраїчна геометрія. Дарбу і ін. Пізніше бурхливо розвивається диференціальна геометрія різних, більш широких (чим група евклідових дні кеній) груп перетворень і особливо диференціальна геометрія багатовимірних просторів.

Елементарна і проективна геометрія привертають увагу математиків гл. Але основними відділами геометрії, де зосереджуються найбільш значні наукові сили, стають диференціальна геометрія, алгебраїчна геометрія, ри-Манова геометрія.

Подібні ланцюжка завдань звернули на себе увагу ще грецьких математиків, як про це свідчить одне місце у Паппа.

Завдання перевірки простоти натуральних чисел здавна привертала увагу математиків. Це завдання має як теоретичний, так і практичний інтерес. Наприклад, простота чисел Ферма Fk 22 /г 1 пов'язана з можливістю побудови циркулем і лінійкою правильних багатокутників. В даний час виникає необхідність перевіряти простоту чисел з десятками і сотнями десяткових цифр. Для цього потрібні швидкі алгоритми. Теоретично оптимальним можна вважати алгоритм, який працює за поліноміальний від довжини вхідних даних час; в задачі перевірки простоти натурального числа п подібний алгоритм робив би 0 ((logn) c) кроків з деякою абсолютною постійної с.

Завдання Аполлонія про дотичних колах неодноразово привертала увагу математиків XVII - XVIII ст.

Є деякі проблеми, які вже багато років привертають увагу математиків, але до сих пір залишилися невирішеними.

Теорія ортогональних многочленів незмінно приваблювала і привертає до себе увагу математиків і фізиків усього світу - досить вказати, що в бібліографії з теорії ортогональних многочленів Я. Уолша[1], Що вийшла в 1940 р, наведено близько двох тисяч робіт в цій галузі. Такий інтерес до цих питань пояснюється тим, що система ортогональних многочленів є найпростішою - після тригонометричної системи - системою ортогональних функцій і тому є дуже цінним апаратом для наближеного представлення функцій складнішої природи. У багатьох випадках розкладання функції в ряд ортогональних многочленів можливо при менших обмеженнях, накладених на неї, ніж в разі розкладання в ряд Маклорена.

Цікавий наступне питання, ко-торий свого часу привернув увагу математиків.

Однак починаючи з 1951 року (див. 116]) увагу математиків привернули різні питання, пов'язані з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда - Леонтьєва.

марковские процеси прийняття рішень або керовані марковские процеси вже давно привертають увагу математиків, як цікава, змістовна і разом з тим важка область творчості. У той же час ці процеси використовуються для вирішення багатьох завдань, що зустрічаються при дослідженні операцій, в системному аналізі теорії надійності діагностики, управлінні запасами, прогнозуванні причому застосування оптимальних стратегій управління, одержуваних за допомогою алгоритмів, розроблених в рамках теорії керованих марківських процесів, може дати досить значний економічний ефект при вирішенні завдань практики. Тому апарат теорії керованих процесів стає робочим інструментом все зростаючого числа фахівців, які працюють у зазначених областях.

Сотні інтригуючих комбінаторних задач-головоломок, старих і нових, залучають тепер увага серйозних математиків.

У дукатах або в доларах, оцінка очікувань Павла довгий час привертала увагу провідних математиків, філософів та економістів.

У зв'язку з загальнодоступністю обчислювальної техніки даний час характерно зниженням інтелектуального рівня завдань, що вимагають уваги математиків, зокрема фахівців в області чисельних методів.

З перманенту таких матриць пов'язана одна з найзнаменитіших комбінаторних задач, приковували понад півстоліття увагу математиків.

Уже тому основні поняття теорії обчислюваності (або, як кажуть, загальної теорії алгоритмів) варті уваги математиків і програмістів. Але ця теорія має і більш широкий культурний аспект.

Я вважаю, що вищесказане вірно і для DT, і сподіваюся, що ця тема приверне увагу математиків.

Теорія потенціалу та пов'язані з нею питання математичної фізики вже з початку XIX століття були в центрі уваги математиків. Але до самого кінця XIX століття не було проведено суворого дослідження властивостей різних потенціалів, і тим самим був цілий ряд необґрунтованих моментів при застосуванні теорії потенціалу до граничних завданням математичної фізики.

Келі (1821 - 95) одночасно з Сильвестром (1814 - 97) в 185Q році привернули увагу математиків до Англії, розвиваючи в блискучих: роботах частина алгебри, яку називають теорією инварианте алгебраїчних форм. Але в той час як Сильвестр трактував цю дисципліну дуже абстрактно, Келі приєднав ще геометричну інтерпретацію і цим дав поштовх панування в аналітітеской геометрії того напрямку, який було розпочато в Німеччині Гессе спільно з Якобі.

Пташіцкій під назвою Про інтегруванні в кінцевому вигляді ірраціональних диференціалів[180]має своїм предметом вельми важливе питання, звертав на себе увагу математиків, які займалися інтеграцією ірраціональних диференціалів. Ще Ейлер, якого по справедливості можна назвати засновником інтегрального числення, шукав після найпростіших і відомих випадків інші коли інтеграл від таких диференціалів виражається в кінцевому вигляді.

У 1924 році згадавши про минулі часи, я побував в Геттінгені; виявилося, що мої нові ідеї звернули на себе увагу тамтешніх математиків. Тому в 1925 році зробивши разом з Александером з Прінстонського університету невелику екскурсію в гори, я на зворотному шляху знову приїхав в Геттінген.

Але як раз до цього часу з'являється метод розкладання в ряди, який скоро в руках закоренілих алгебраїстів набуває виключно формальний характер і відволікає увагу математиків від питань збіжності що піднімаються розумним використанням рядів в області дійсних чисел.

Під час публікації першої статті мій метод був далекий від застосування у своїй остаточній формі і я, зрозуміло, не привернув би увагу математиків до щойно розпочатим мною дослідженням, якби не передбачав необхідності перервати їх на тривалий час.

П'єр Варіньон застеріг математиків проти беззастережного перенесення на нескінченні ряди властивостей многочленів (кінцевих рядів), заявивши, що несходящіеся ряди непридатні для обчислень, увагу математиків XVIII в. Ейлера, було звернуто на практику застосування рядів, на формальну розробку теорії рядів.

Зокрема: апарати теорії алгорифм і загально (теорії обчислень доведені до високого рівня тих нической оснащеності ґрунтовне дослідження зв'язку між різними варіантами цих апаратів величезну роль в роз'ясненні ряду корінних питань основ математики зіграв створений К - Геделеи конструктивний метод арифметизации формально-дедуктивних систем і арифметичної інтерпретації поня тия виводимості; широку популярність здобули Тео реми про неможливість алгорифм, вирішальних деякі (тривалий час привертали увагу математиків масові проблеми теорії логічних і логіко-математичних обчислень, алгебри, топології математичного аналізу та інших розділів математики; значні результати досягнуті у вивченні різних способів відомості одних масових проблем до інших і в дослідженні ієрархії складнощів масових проблем; введення в обіг математики різноманітних критеріїв складності конструктивних об'єктів (наприклад, алгорифм) і конструктивних процесів (наприклад, процесів застосування алгорифм до вихідних даних привело до формування нових перспективних напрямків досліджень, вже зарекомендували себе серйозними результатами; крок за кроком уточнювалися і поглиблювалися принципи конструктивного розуміння математичних суджень про конструктивні об'єктах; були розроблені і отримали значний розвиток апарати логічного висновку, узгоджені з конструктивним розумінням математичних суджень.

Тож не дивно, що вся історія математики складається з чергуються процесів розширень і скорочень. Наприклад, увагу математиків привертає якась задача, пишуться сотні ставний, кожна з яких висвітлює лише одну сторону істини. Потім якийсь геній, спираючись на всі дані зібрані з таким трудом, заявляє: Все, що ми знаємо, стане майже очевидним, якщо подивитися на це ось з такої точки зору.

Бернуллі в 1696 році запропонував увазі математиків; шуканої кривої виявилася циклоїда, причому правильні рішення були отримані найвизначнішими математиками того часу: самим І.

Тим часом, так званий метод Хевісайда є не чим іншим, як добре відомим математикам символічним методом. Коли вже в нашому столітті цей метод знову привернув увагу математиків (Бромвіча, Ван дер Поля і ін.), Виявилося, що він являє собою лише інше трактування методу інтегральних перетворень, широко застосовувався ще Лапласом і Коші. Символ р став трактуватися як комплексне змінне, і операційне числення стало тісно пов'язаним з теорією аналітичних функцій.

Orlin Grabbe), перший (одновимірний) фрактал був запропонований увазі математиків любителем парадоксів Джорджем Кантором (George Cantor) ще в 1870 р Алгоритм побудови його нескладний і полягає в тому, що лінія, рівна по довжині якоїсь умовної одиниці ділиться на три рівні частини. Потім середина вилучається, а дві залишилися лінійні частини знову піддаються тією ж процедурою видалення однієї третини, тобто центральній частині.

Експлуатація кожного пристрою починається з моменту закінчення терміну служби попереднього. Цей процес називається процесом відновлення і в даний час привертає все більше уваги математиків зважаючи важливих додатків в техніці і біології.

До сих пір дослідження випадкових мереж - таких, як річкові системи в моделях Леопольда-лангбейніт і Ховарда - обмежуються лише декількома комп'ютерними моделями. Це дуже сумно, і я, користуючись нагодою, хотів би привернути увагу математиків до цих найцікавішим завданням. Той факт, що СББС, як було неодноразово доведено, надзвичайно погано піддається аналізу, ймовірно, відлякає тих, кому більше до душі нескладні але високооплачувані завдання; хоча варіант Леопольда-лангбейніт може виявитися не такий суворий.

Перпендикулярні і паралельні прямі є основними поняттями елементарної геометрії. Можна було б думати, що перенесення цих понять на більш загальні простору має привернути увагу математиків; проте насправді цього не було), і таким чином, вийшло, що справжня глава менше пов'язана з роботами інших авторів, ніж будь-яка інша в цій книзі. Тому даний введення буде досить докладно.

У дукатах або в доларах, оцінка очікувань Павла довгий час привертала увагу провідних математиків, філософів та економістів. Увага математиків до петербурзького парадоксу різко зросла після того, як Джон Мейнард Кейнс послався на нього в своєму Курсі теорії ймовірності (A Treatise of Probability), опублікованому в 1921 році.

В результаті з'явилася книга, незвичайна зі всіх точок зору. книга швидко привернула увагу математиків як в Італії, так і по всій Європі.

Рівняння Зайберга - Віттен вперше з'явилися в 1994 р в роботі Зайберга і Віттен. Ця робота була фізична, але в тому ж 1994 р вийшла стаття Віттен, де він намітив математичні застосування знайдених рівнянь. Рівняння Зайберга - Віттен негайно опинилися в центрі уваги математиків, перш за все 4-мірних топології, оскільки з їх допомогою вдалося побудувати нові гладкі інваріанти 4-мірних різноманіть, які отримали назву інваріантів Зайберга - Віттен. Виявилося, що вони містять ту ж інформацію, що і введені раніше поліноми Дональдсона. З іншого боку, рівняння Зайберга - Віттен абелеві і тому обчислювати інваріанти Зайберга - Віттен зручніше і простіше, ніж інваріанти Дональдсона. Крім цього з'ясувалося, що інваріант Громова 4-мірних симплектичних різноманіть (який, грубо кажучи, дорівнює числу псевдоголоморфних кривих в заданому топологічному класі) теж може бути виражений через інваріанти Зайберга - Віттен.

Що ж стосується загальної характеристики аргументації Кантора в[10], То не можна не погодитися з Юнгом писав[4 с. Мабуть, частково тому його дослідження довго не привертали уваги математиків; головною ж причиною відсутності інтересу до канторовской результатами і міркуванням в[101 було те зазначене Шенфліса[1 с. Задум Кантора був занадто претензійний - почати вивчення довільних точкових множин, що в деякому сенсі залишається непосильним і сучасним математикам.

У новітній час роль комбінаторики значно зросла в зв'язку з розробкою складних керуючих і лічильно-обчислювальних пристроїв і розвитком теорії інформації. В комбінаториці з'явилося багато нових завдань, які знову привертають увагу математиків.

Їх поради та зауваження безумовно сприяли поліпшенню якості книги. На жаль, в нашій країні людей, що активно працюють в новій, актуальною області вельми і вельми мало. Препараті який висловив надію, що поява книги російською мовою приверне увагу молодих математиків і інформатиків до нової і швидко розвивається області наукового пошуку і змагання.

Йуассон в одному зі своїх мемуарів виклав вельми загальну теорему, на якій він заснував новий метод викладу теорії варіації довільних сталих. Хоча ця теорема сама по собі представлялася надзвичайно цікавою, Пуассон задовольнився застосуванням її до спеціальної мети, яку він собі поставив, не зазначивши навіть тієї обставини, що її можна застосувати і в інших випадках. Через більше ніж тридцять років після цього, вже в момент смерті Пуассона, увагу математиків знову було залучено до цього питання знаменитим Якобі який вказав на теорему Пуассона як на чудове досягнення, на його думку, - найбільш важливе у всій науці про рух. Втім, нібито не підкріпив будь-якими висновками свого затвердження, щодо якого, можливо, ми знайдемо більш докладні вказівки в його посмертних працях. Мета цієї статті полягає в тому, щоб викласти теорему Пуассона і вказати ту користь, яка може бути з неї вилучено для інтегрування диференціальних рівнянь механіки.

Якось Джером Виноград зустрів математика з Кал-ТЕХА (так називають скорочено Каліфорнійський технологічний інститут) Брока Фуллера і попросив його допомогти розібратися в проблемі кільцевих ДНК, оскільки сам він на той час зовсім заплутався. Фуллер жваво зацікавився розповіддю Винограду. Він відчув, що тут можуть виявитися корисними деякі результати, як раз привернули увагу математиків в той час.

Ці функції, що представляють деякі чудові аналогією з аналітичними функціями, які є їх окремими випадками (наприклад, з точки зору збіжності формул екстраполяції), в той же час володіють абсолютно відмінними диференціальними властивостями і можуть навіть не мати похідних. У моїх цитованих вже вище лекціях я дав багато прикладів і поставив кілька проблем, які я пропоную увазі молодих математиків, не повторюючи їх тут знову.

Уніфікація двох термів щодо теорії Т рівносильна рішенням рівняння в цій теорії. Слід зазначити, що математичні дослідження, присвячені вирішенню рівнянь в відомих теоріях, мають настільки ж давню історію, як і сама математика. Ці дослідження сягають вавилонській математиці (приблизно 2000 років до нашої ери) і продовжують залишатися в центрі уваги математиків аж до сьогоднішнього дня.

Однак зазначені застосування носять занадто спеціальний характер, щоб на них можні було побудувати доказ загального принципу; крім того, вони кілька невизначені і довільні що надає деяку ненадійність і висновків, які можна було б зробити на підставі їх про точність самого принципу. Тому мені здається, було б неправильно викладений в такому вигляді принцип ставити в один ряд з тими принципами, які були вказані вище. Існує, однак, і інший спосіб його застосування, більш загальний і більш точний, який один тільки й заслуговує на увагу математиків.

Однак зазначені застосування носять занадто спеціальний характер, щоб на них можна було побудувати доказ загального принципу; крім того, вони кілька невизначені і довільні що надає деяку ненадійність і висновків, які можна було б зробити на їх підставі про точність самого принципу. Тому мені здається, що було б неправильно викладений в такому вигляді принцип ставити в один ряд з тими принципами, які були вказані вище. Існує, однак, і інший спосіб його застосування, більш загальний і більш точний, який один тільки й заслуговує на увагу математиків. Першу ідею цього принципу дав Ейлер в кінці свого твору De isoperimetricis, надрукованого в Лозанні в 1744 р .; він показав, що при траєкторіях, описаних під дією центральних сил, інтеграл швидкості помножений на елемент кривої, завжди є максимумом або мінімумом.

Інша інтерпретація, за якою функція з А в В не повинна бути всюди визначена, є привабливою, і було б приємно, якби хтось на ранній стадії розвитку математики прийшов до думки відрізняти таким чином функцію від відображення. Однак цього не сталося, і я не знаю, чи розумно нині міняти всю термінологію лише для того, щоб було зручніше формулювати деякі шкільні завдання. Як би там не було, проблеми навчання теорії множин - чималі проблеми, але погано, якщо одне лише їхнє існування відволікає увагу математиків від дійсно важливих проблем.