А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Примітивний елемент

Примітивний елемент Про Е F (коли F Р (в)) існує в точності тоді, коли число проміжних полів Е (F D E D P) звичайно. Якщо F сепарабел'но над Р, то примітивний елемент 0 існує.

Вибір примітивного елемента а, через який виражаються всі інші елементи поля, є кілька довільним.

Нехай - примітивний елемент в GF (22), де 2 1 Нехай а - примітивний елемент поля GF (24), задовольняють.
  Теорема про примітивне елементі дозволяє нам знайти одну творчу to розширення K (X) /L.

Якщо р - примітивний елемент поля GF (qm), n qm - 1 то код називається примітивним.

Зразки будуються з різних примітивних елементів, які ми зараз розглянемо окремо. Можна вважати, що кожен примітивний елемент визначає деякий допустимий спосіб переміщення покажчика CURSOR з його поточної позиції в ході операції зіставлення.

По теоремі про примітивному елементі з початкової теорії полів ця функція повинна породжувати все поле абелевих функцій, ніж наша теорема і доведена.

Теорема 1015. Нехай а - примітивний елемент в GF (2m) і нехай g (x) Ц (л: - а), де Ц - твір за всіма цілим j з 0 2т - 2]з w (/) С т - м Якщо З - циклічний код довжини 2т, породжений g (x), то код З еквівалентний РМ-коду г-го порядку.

Кінцеве поле порядку q містить примітивний елемент (порядку q - 1), ступеня якого пробігають всі ненульові елементи поля.

Теорема 661. Будь-яке поле Галуа містить примітивний елемент.

Подвоєння хорди. | Приклад подвоєння хорд в діаграмі. В результаті подвоєння вийшло 3 окружності. | Перевірка рівності (1 (3. Всі вважають, що розмірність простору примітивних елементів зростає, але це не доведено. Швидкість зростання теж невідома. Інакше кажучи, а повинно бути примітивним елементом поля Галуа GF (p), а також вони а завжди існують. Роботу асиметричні алгоритми шифрування можна ілюстр - ровать на прикладі обміну шифрованими повідомленнями між двома абонентами. Припустимо, ці абоненти бажають передати один одному конфіденційні повідомлення СА і РБ відповідно.

Тим самим, хордові діаграми не є примітивними елементами. У полиномиальной алгебри Хопфа елемент примітивний тоді і тільки тоді, коли є лінійної комбінацією утворюють. Примітивні елементи повністю визначають структуру алгебри Хопфа. В кожному просторі А[есть подпространство P - t С Д /, состоящее из примитивных элементов.
Если А - факториальное кольцо, то произведение примитивных элементов кольца А[х ]примітивно.

Відповіддю на це питання є наступна теорема про первісний елемент, справедлива для досить широкого класу випадків.

Для будь-якого кінцевого поля існує принаймні один примітивний елемент ап. Будь-який елемент поля з - (at f - 0) представимо у вигляді а г ап.

Хоча значення (i, /) залежать від вибору примітивного елемента W, система ціклотоміческіх чисел є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Найкращі відомі коди довжини 2. МУЦх) - мінімальний багаточлен для а, а а - примітивний елемент поля Fe4 (див. Розд. Будь-яке кінцеве поле порядку q містить точно ф (д - 1) примітивних елементів поля. Однак, дотримуючись пропозицією Мак-Еліса[9]при визначенні bm, можна уникнути завдання примітивного елемента GF (2m) або, що еквівалентно, примітивного полінома ступеня m над GF (2), якщо вчинити так.

Для кінцевого поля Р все ясно, оскільки F, і 0 буде примітивним елементом.

Очевидно, що будь-який гіперболічний елемент у представимо у вигляді Y - V де YI - примітивний елемент.

Нехай - примітивний елемент в GF (22), де 2 1 Нехай а - примітивний елемент поля GF (24), задовольняють.

Наступне питання - як виглядає матриця для логічного блоку загального вигляду, який складається з послідовності примітивних елементів. Матриця М діє, змінюючи ці самі чотири атома так, що вони виявляються в стані а, b, с, d), відповідному цьому логічного блоку. Тобто, якщо п) являє собою входить стан чотирьох бітів, то М - матриця, яка генерує виходить стан j out) М фт Для цих чотирьох бітів.

Транзисторні ланцюга для NOT і NAND. Яка мінімальна вільна енергія, яка має витрачатися, щоб діяв ідеальний комп'ютер, зроблений з таких примітивних елементів. Наприклад, коли діє AND, що виходить лінія з приймає одне з двох значень і при цьому неважливо, що було до цього, ентропія змінюється на In 2 одиниць. Протягом багатьох років це значення розглядалося як абсолютний мінімум кількості теплоти, яке повинно диссипировать на першому кроці в процесі обчислень.

Вивести звідси, що в GF (q) є рівно р (q - 1) примітивних елементів, де р - функція Ейлера.

Теорема 8.4. Бінарний циклічний код довжини п 2т - 1 для якого породжує многочленом служить мінімальний многочлен примітивного елемента поля GF (2m), еквівалентний (п п - т) - бінарним кодом Хеммінга.

У цьому випадку слід використовувати PC-код над розширеним полем GF (qm) і вибрати а в (4) як примітивний елемент цього поля.

Регістр зсуву зі зворотним зв'язком для множення на а. У загальному випадку побудова таких таблиць можливо тоді і тільки тоді, коли кожен ненульовий елемент поля є ступенем одного, так званого примітивного елемента. В теоремі 424 ми доведемо, що кожне кінцеве поле містить такий елемент. Отже, подібні таблиці логарифмів і антилогарифмів можуть бути побудовані для будь-якого кінцевого поля.

Простір fn можна представити у вигляді прямої суми простору Рп і його прямого доповнення, яке натягнуто на незв'язні графи (то, що виходить множенням елементів меншого порядку): fn Рп - Тим самим, кожному графу можна зіставити його проекцію на простір примітивних елементів. проекція йде уздовж того доповнення, яке я описав.

Підраховуючи ступеня і порядки, знаходимо, що ступінь поля F над R непарна. В силу теореми про примітивне елементі існує елемент a.

Зразки будуються з різних примітивних елементів, які ми зараз розглянемо окремо. Можна вважати, що кожен примітивний елемент визначає деякий допустимий спосіб переміщення покажчика CURSOR з його поточної позиції в ході операції зіставлення.

Далі, якщо YI - інший примітивний елемент з позитивними власними значеннями такої, що у]Ф у, то класи vf - У і Y b - Y l будуть все різні між собою.

Примітивний елемент Про Е F (коли F Р (в)) існує в точності тоді, коли число проміжних полів Е (F D E D P) звичайно. Якщо F сепарабел'но над Р, то примітивний елемент 0 існує.

Елемент АБЛ називається примітивним, якщо баа 1 - - 1 а. Легко довести, що безліч ЩЛ) всіх примітивних елементів біалгебри Л є подалгебру в А щодо операції коммутирования, y]xy - ух.

Група GF (рп) циклічна, її утворюють - Первісні корені з одиниці ступеня рп - 1 число К-яких одно rf (pn - 1), де ф - Ейлера функція. Кожен первісний корінь з одиниці ступеня рп-1 є примітивним елементом розширення GF (pn) /GF (p), але не навпаки.

Знайдіть т - 3 кореня полінома ДХ) 1 X X3 і визначте, примітивний чи поліном. Для цього перевірте, чи є серед коренів полінома хоча б один примітивний елемент.

Локальне кільце точки е (одиничного елемента) групи G має природну структуру алгебри Хопфа. Дотичний простір Ті до G в точці е може бути ототожнене з безліччю примітивних елементів цієї алгебри Хопфа.

Існує ще один, надзвичайно простий спосіб перевірки, чи є поліном примітивним. У нередуціруемого полінома, який є примітивним, по крайней мере, хоча б один з коренів повинен бути примітивним елементом. Примітивним елементом називається такий елемент поля, який, будучи зведеним в більш високі ступені, дасть всі ненульові елементи поля. Оскільки дане поле є кінцевим, кількість таких елементів також звичайно.

Існує ще один, надзвичайно простий спосіб перевірки, чи є поліном примітивним. У нередуціруемого полінома, який є примітивним, по крайней мере, хоча б один з коренів повинен бути примітивним елементом. Примітивним елементом називається такий елемент поля, який, будучи зведеним в більш високі ступені, дасть всі ненульові елементи поля. Оскільки дане поле є кінцевим, кількість таких елементів також звичайно.

Ці результати в точності збігаються з отриманими в гл. Іншими словами, ми показали, що трансляції, реалізовані на просторі поворотів, є фундаментальним поданням квантової теорії симетричного дзиги. Поворот є примітивним елементом в цій реалізації.

Так як для підгруп з кінцевим числом утворюють структурний ізоморфізм є наслідок групового, то V циклічна. Будь-циклічна група має кінцеве число примітивних елементів.

Нехай V - кільце цілих елементів в До, ми отримуємо гомоморфізм R - V. Такий вибір можливий: якщо Lj - рясний примітивний елемент 5 то досить велика кратність L nZ /i (зокрема, з (п, р) 1) задовольняє цим умовами. Тепер до формальної схемою У /Spf V застосовна теорема алгебра-ізації Гротендіка ([22], 545), звідки і випливає твердження теореми.

При такому підході особливу роль відіграють так звані примітивні елементи. Нагадаємо, що елемент групи називається примітивним, якщо це не поодинокий елемент або якщо його не можна представити у вигляді ступеня інших елементів групи. Тоді ясно, що з точки зору тільки що встановленого відповідності примітивний елемент групи відповідає примітивної періодичної орбіті.

На другому етапі отримана система рівнянь, яка є розрідженій, вирішується в зазначеному кільці відрахувань. В результаті обчислюються логарифми елементів факторної бази. Обчислення на першому і другому етапах виконуються лише один раз для фіксованих значень р і примітивного елемента і, щодо якого обчислюються логарифми.

Автоморфізм[а ]є деяким продовженням автоморфізм а з поля До на поле К. Розглянемо тепер поле /С, що належить до підгрупи Z, і продовжимо автоморфизм т на це поле. Для цього зауважимо, що кожне число поля До представляється у вигляді а, де а 6 К, причому для примітивних елементів поля До таке уявлення однозначно.

Тим самим, хордові діаграми не є примітивними елементами. У полиномиальной алгебри Хопфа елемент примітивний тоді і тільки тоді, коли є лінійної комбінацією утворюють. Примітивні елементи повністю визначають структуру алгебри Хопфа. У кожному просторі А[є підпростір P - t З Д /, що складається з примітивних елементів.