А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Велика теорема

Велика теорема Ферма була врешті-решт доведена Уайл-сом в 1995 Він слідував шляхом, запропонованим лише в останні10 років, що передували його роботі. Цей шлях заснований на теорії еліптичних кривих, в яких Вайлс є експертом.

Велика теорема Ферма являє собою скоріше курйоз, ніж розуміння навколишнього світу. А ось рішення, яке Ферма і Паскаль розробили для завдання про розподіл банку в незавершеною грі до сих пір приносить користь суспільству в якості наріжного каменю сучасної системи страхування та інших форм управління ризиком.

Велика теорема Ферма, незважаючи на весь інтерес, який вона до себе викликала і продовжує викликати, все ж є проблемою приватного характеру, те чи інше рішення якої саме по собі навряд чи могло б значно розширити горизонт наукової думки в її сучасному стані.

Велика теорема Ферма належить до числа пропозицій так званої адитивної теорії чисел. Так називається гілка арифметики, що вивчає закони, за якими числа можуть бути складені з доданків того чи іншого виду, на противагу мультипликативной теорії, що займається вивченням того, як числа складені з множників.

Інтерес до Великої теореми Ферма в нашому суспільстві зростає з кожним роком; про це свідчать численні запити і спроби доказів, одержувані нашими науковими товариствами і установами. Тим часом російською мові не існує скільки-небудь доступною літератури з цього питання, та й в країнах Європи справа йде в цьому відношенні не набагато краще.

Таким чином, велика теорема Ферма означає, що при цілому п 2 в цьому просторі Маньківського одиничне коло (що складається з точок, віддалених від початку на відстань 1) не містить інших раціональних точок, крім чотирьох точок її перетину з осями координат.

Але поки проблема великої теореми не вирішена, Брауер не погодився б з таким доказом існування, тому що воно не дає ніякого прикладу. Нам невідомо ні те, що 5013 служить необхідною прикладом, ні те, що 10 служить таким прикладом.

Кілька десятків років тому великої теоремою Ферма зацікавилася широка публіка і то в зв'язку з заснованої в 1909 р в Німеччині великий грошовою премією, яка повинна була бути виплачена тому, хто доведе велику теорему Ферма або хоча б на одному прикладі виявить її хибність.

Серед них ми знаходимо велику теорему Ферма про те, що рівняння xn - Jrt /n - z неможливо при цілих позитивних значеннях х, у, г, якщо ТГ2 - в 1847 р це призвело Куммера до його теорії ідеальних чисел.

Ферма, на противагу Великої теореми Ферма, якої ми тут займаємося і яка ще чекає повного докази.

Ця пропозиція відомо під назвою Великої теореми Ферма. Тут же Ферма додав, що у нього є воістину дивовижне доказ цього, однак за браком місця він не може його викласти.

Отже, для повного докази Великої теореми Ферма залишається показати, що рівняння (8) ні при якому абсолютно простому непарному числі р не може мати цілих позитивних рішень. Тут ми повинні зробити одне важливе зауваження, яким нам доведеться користуватися нижче. Ми до цих пір говорили завжди про нерозв'язності рівняння (1) в цілих позитивних числах х, у - і z; легко бачити, що це питання абсолютно рівнозначний питанню про можливості розв'язання рівняння (1) в яких завгодно відмінних від нуля цілих числах. Це здається самоочевидним в разі коли число п парне.

Пропозиція, яку зазвичай називають Великою теоремою Ферма, народилося близько середини XVII століття; і у всій подальшій історії математичної думки навряд чи можна знайти іншу задачу, яка в такій мірі привертала б до себе наукові зусилля впродовж століть, як завдання доведення цієї теореми-завдання, що не дозволена і по теперішній час. 
Питання про те, чи правдива велика теорема Ферма чи ні сам по собі не має великого значення для математики.

Втім, багато математики думають, що докази (коректного) великої теореми Ферма ніколи не існувало.

Мабуть, найбільшу славу Ферма принесло написаний на полях Арифметики Діофанта твердження, відоме як велика теорема Ферма. Незважаючи на труднощі його докази, суть цього твердження викласти нескладно.
  Навіть в цьому простому нетривіальною випадку функцій однієї змінної, мабуть, немає простого докази великої теореми, подібного до того, яке було дано в § 3 гл. Будь-яка спроба голими руками довести зроблене твердження, навіть з однією тільки змінної t, призводить до підготовчої теоремі Мальгранжа (строгі джерела) або, що еквівалентно, до теоремі ділення.

Настільки ж просто формулюється і інша важка л до сих пір не вирішене завдання - так звана велика теорема Ферма.

І якщо в більшості випадків нащадки, які володіли більш сильними методами, зуміли відновити втрачені історією докази, то принаймні в одному випадку - у разі Великої теореми Ферма - їм цього зробити не вдалося.

В щасливі роки перед першою світовою війною Геттінгенського академія мала значний, так званий вольфовской, фонд, який спочатку був встановлений для присудження премії в 100000 марок за доказ знаменитої великої теореми Ферма по теорії чисел.

Кілька десятків років тому великої теоремою Ферма зацікавилася широка публіка і то в зв'язку з заснованої в 1909 р в Німеччині великий грошовою премією, яка повинна була бути виплачена тому, хто доведе велику теорему Ферма або хоча б на одному прикладі виявить її хибність.

У цьому додатку ми маємо на увазі докладно викласти основну роботу Куммера, що містить доказ теореми Ферма для всіх регулярних простих показників, - роботу, справедливо почитающуюся найзначнішим з усього, що досі зроблено в напрямку до доказу Великої теореми. Це виклад представляється нам не зайвим з тієї причини, що ми не знаємо не тільки в російській, а й в іноземній літературі такого викладу цього безумовно класичного твору, яке було б доступне читачеві хоча б навіть знайомому з елементами теорії алгебраїчних областей, але не є досвідченим фахівцем в цій галузі арифметики. Робота самого Куммера, крім того, що вона доступна тільки такого фахівця, містить ще ряд неточностей та прогалин, заповнити які може тільки хороший знавець; прекрасне виклад Гільберта в його відомому Bericht. Бахмена-на в його недавно виданій книжці спеціально присвяченій теореми Ферма, настільки неякісне щодо логічної виразності і строгості що навіть знавця може поставити втупік. Нехай чігатель судить, в якій мірі приводиться нижче виклад є задовільним.

Це означає, що він являє собою те саме одне відсутнє напрямок, але він не обов'язково є х, просто він повинен мати ненульовий лінійний член. Велика теорема в цій області (теорема 8.6 нижче) гарантує нам наступне.

Пунктирна лінія на маті дорівнює, очевидно, гіпотенузі прямокутного трикутника, катети якого збігаються зі сторонами двох квадратів, які в сукупності і утворюють весь залишок. Згідно великої теоремі Піфагора, ця пряма повинна бути стороною квадрата, площа якого дорівнює сумі площ двох згаданих вище квадратів. Теорема проілюстрована в правому верхньому куті малюнка. Визначивши цю довжину, ми можемо розрізати залишок циновки, як показано, двома суцільними лініями і скласти потім з трьох отриманих частин потрібний квадрат. Цим способом можна скористатися, щоб зробити правильний квадрат з будь-яких квадратних шматків.

Ці нотатки Ферма були опубліковані його сином лише через 5 років після його смерті; він сам за життя їх не друкував. Серед цих заміток є також і велика теорема, про яку тепер йдеться, з припискою: я знайшов воістину дивовижне доказ, але за браком місця не можу його тут привести.

А ось який: криві (Р) (випадок п2 ми тут виключаємо) не проходять ні через одну точку з раціональними координатами (крім точок з координатами 10і 0 1); вони звиваються, минаючи всюди щільне безліч точок площині з раціональними координатами, не зачіпаючи на своєму шляху жодної такої точки. Це воістину чудовий факт, що випливає з великої теореми Ферма, якщо тільки ця теорема вірна.

Ферма, к-рому належить ряд видатних відкриттів в теорії діофантових рівнянь і в теорії, пов'язаної з делимостью цілих чисел. Їм була висунута гіпотеза, що отримала назву Ферма велика теорема, і доведена теорема, відома як Ферма мала теорема, к-раю грає важливу роль в теорії порівнянь і її пізніших узагальненнях.

Доведене нами в попередньому параграфі пропозицію має значення не тільки окремого випадку. Воно легко дозволяє значно обмежити завдання повного докази Великої теореми.

Оскільки ці рівняння залежать від декількох змінних, вони можуть мати нескінченно багато рішень. Рівняння х3 4 - у3 z3 - окремий випадок великої Теореми Ферма, про яку розповідалося у введенні і наприкінці другого розділу. Як ми бачили, якщо ж, у і z - цілі числа, що задовольняють до цього рівняння, то одне з них має дорівнювати нулю. Це спеціальний випадок теореми, уперше доведений Ейлером в 1770 році.

З огляду на те що дуже багато конкретних питань (наприклад, велика теорема Ферма, § 13) і проблеми розв'язання зводяться до проблеми можливості розв'язання для обчислення предикатів, багато робіт було присвячено цій проблемі в результаті чого були отримані позитивні результати двох родів: (а) редукції загальної проблеми і (Р) рішення для окремих випадків.
 
П'єра Ферма видав книгу олександрійського математика Діофанта, причому були передруковані також і примітки П'єра Ферма, залишені ним на полях одного з примірників цього твору. Одне з цих приміток і містить пропозицію, яке здобуло найменування Великої теореми Ферма.

Для до-броуеровской логіки було само собою зрозумілим, що, якщо і залишався абсолютно невирішеним питання про правильність великої теореми Ферма, то все ж для будь-якого числа я або існує три числа х, у, z такого роду, що х - j - У1 z, або ж для будь-яких натуральних чисел має силу вираження xn - - yndpzn. Формулюючи точніше цю самоочевидним істину старої логіки, згідно з нашою новою концепцією, ми отримаємо наступне твердження: існує закон (в строгому встановленому тут сенсі слова), нічого не породжує з кожного числа я, або породжує три числа хп, уп, zn, - закон такого роду, що в першому випадку для будь-яких трьох чисел х, у, z має силу вираження х - - уп ф г, а у другому випадку ХПП - - УПП znn. При такому формулюванні (відволікаючись від того, що це твердження є тепер чимось само собою зрозумілим) немає ніякого сенсу питати, чи так йде справа або не так, в надії зустріти деякий при важких обставинах, що дає певну відповідь на наше питання. Тут мова йде про абстракції судження, яка має силу, оскільки закон побудований і оскільки правомірні необхідні їм властивості які є загальними твердженнями.

З тих пір пройшло майже триста років, і ми ще не маємо ні докази, ні спростування Великої теореми Ферма; і це не дивлячись на те, що, як уже сказано, завданню цієї безперервно присвячували і продовжують присвячувати своє увагу багато видатні вчені і ще більшу кількість неспеціалістів, яких спокушає простота формулювання проблеми.

Чи не вітер і не прапор - насправді взагалі ніщо не рухається, що випливає з моєї великої Теореми. У ньому записано: Світ Змінюється Виключно Ілюзорно. А з цієї Теореми випливає ще більш велика Теорема, Теорема Зенона: Світ Ультранеподвіжен.

Пояснюється це цілком зрозумілим прагненням вчителя математики або методиста внести свій вклад не тільки в рішення педагогічних проблем, але і в саму математику. При відсутності науково обгрунтованої проблематики і математичної ерудиції в науковому плані це і призводить до спроб вирішення проблем типу великої теореми Ферма, трисекции кута або до спроб створення бічних гілочок, про яких пише Клейн. Звинувачувати в цьому слід не стільки вчителі або методиста, скільки математиків-професіоналів і математиків-популяризаторів, які не подбали про розробку проблематики, доступній і цікавій для широких проблем любителів математики та в той же час представляє якийсь інтерес для сучасної науки.

Але разом з тим ми розуміємо і те почуття високої значущості яке охоплює будь-якого вченого, який прагне проникнути в загадку Великої теореми, бо він стоїть перед обличчям самих основ арифметики, перед обличчям тих найбільших законів, якими керується світ чисел і на яких засновано все наше знання про цей світ.

Його ім'я заслужено носить не тільки відома вам теорема з аналізу. Велика теорема Ферма (Рівняння хп - - у zn не має рішень в натуральних числах при натуральному п, більшому двох), що не доведена, правда, й досі лише один з підсумків його роздумів над проблемами теорії чисел.

Чи випадково зобов'язані ми виникненням цієї будівлі теоремі Ферма. Є деякі підстави вважати, що це не випадково. Розмірковуючи про Велику теоремі Ферма, математичний розум незмінно відчуває себе в колі найгостріших і істотних співвідношень і закономірностей, які тільки знає арифметика. Звідки є це почуття, ніж воно обґрунтоване і що воно нам може обіцяти, про що свідчити.

Підкреслимо той факт, що проблема (у щойно певному сенсі) має дві суттєві складові: питання з багатьма варіантами відповіді і деякий лічильно-безліч конкретизації. Це визначення більш обмежене, ніж широко поширене розуміння слова проблема. Наприклад, в цьому сенсі велика теорема Ферма не є проблемою, бо має лише одну конкретизацію.

У всякому разі слід зазначити, що багато пропозицій, висловлені Ферма без докази і доведені пізніше його послідовниками, були доведені саме цим способом. Цей же прийом дав можливість довести і деякі найпростіші окремі випадки Великої теореми, на чому ми трохи докладніше зупинимося нижче; до речі ми будемо мати випадок детально простежити конкретне застосування методу нескінченного спуску.

Між іншим, застосування цієї теореми в теорії груп було опубліковано тільки в 1941 році в тоненькій зошити Вчених записок Іванівського педінституту. Пробити дорогу для застосувань теореми компактності яку можна віднести до числа великих теорем математики, виявилося не так просто, і навряд чи хто інший міг вказати її, цю дорогу. Тепер, як добре відомо, вона породила не тільки локальні теореми теорії груп, але є і однією з важливих теорем математичного аналізу.

Арифметика Діофанта започаткувала нову алгебри; в ній застосовувалася буквена символіка і були введені негативні числа. Разом з тим Арифметика послужила відправним пунктом і для теоретико-числових досліджень Нового часу: там були розвинені методи вирішення невизначених рівнянь, які отримали нове життя в роботах Ферма, Ейлера, Якобі і Пуанкаре. Саме на полях Арифметики Діофанта написані знамениті зауваження П'єра Ферма (включаючи і його Велику теорему), які послужили програмою для дослідження з теорії чисел протягом двох століть. Ці зауваження вперше перекладені на російську мову тут.

Формули індусів представляють дуже велику цінність. Перш за все вони показують, що в разі п2 рівняння Ферма (1) має безліч рішень. Але цим їх значення не вичерпується: як ми зараз побачимо вони з успіхом можуть бути застосовані до доказу одного окремого випадку Великої теореми Ферма.

Чи припустимо, наприклад, таке: А має властивість В, якщо при всіх цілих л 2 рівняння х уп - z не має рішень в цілих позитивних числах. Тут істинність посилки еквівалентна твердженням Великої теореми Ферма, яка до сих пір ні доведена, ні спростована. Використання таких правил виведення, особливо в додатках, створює безліч труднощів і тому зазвичай накладається обмеження, яке у тому, що правила виведення повинні бути досить простими. Під цим розуміється наступне: для будь-якого даного правила виведення і для будь-якого безлічі слів а, а

Чи не вітер і не прапор - насправді взагалі ніщо не рухається, що випливає з моєї великої Теореми. У ньому записано: Світ Змінюється Виключно Ілюзорно. А з цієї Теореми випливає ще більш велика Теорема, Теорема Зенона: Світ Ультранеподвіжен.

Цермело в має вирішальне значення III аксіомі про подмножествах), більшу точність, ніж в здавався мені незадовільному цермеловском визначенні. Спроба сформулювати ці принципи у вигляді аксіом освіти множин і висловити в явному вигляді вимог, які забороняють існування всіх множин, крім тих, які допускають побудову за допомогою містяться в цих аксіомах конструктивних принципів, застосовуваних кінцеве число раз, не припускаючи при цьому відомим поняття натурального числа, привела мене до далекосяжної і все більш ускладнюється формалізації, так і не доведеної до остаточного результату. Лише в зв'язку з філософськими ідеями, до яких я врешті-решт прийшов після відходу від конвенціоналізму, мені вдалося досягти ясного розуміння того, що я зіткнувся тут з схоластичної псевдопроблемою, і зміцнитися в твердому переконанні (в згоді з Пуанкаре, як ні мало я поділяю його філософську установку в інших питаннях): уявлення про ітерації - ряді натуральних чисел - становить саму основу математичного мислення; і це всупереч теорії ланцюгів Дедекинда, націленої на те, щоб обгрунтувати визначення і умовивід шляхом досконалої індукції силогістичної, без звернення до згаданого вище наочному уявленню. Для того щоб за допомогою наших принципів можна було побудувати деяку математичну теорію, необхідний фундамент: якась основна категорія і якесь первинне відношення. Величиною математики я вбачаю саме в тому, що майже у всіх її теоремах в силу самої її сутності будь-яке питання про нескінченному вирішується на рівні кінцевого; ця нескінченність математичної проблеми базується, проте, на тому, що останній фундамент математики утворюють нескінченний ряд натуральних чисел і пов'язане з ним поняття існування. Наприклад, велика теорема Ферма сама по собі має сенс і або істинна, або помилкова. Однак якщо я скористаюся якимось систематичним методом і почну підставляти один по одному всі числа в обидві частини рівняння Ферма, то отримати відповідь на питання, істинна чи помилкова ця теорема, мені не вдасться.

Ця арифметизации характерна для так званої Берлінської школи і зокрема, для діяльності Леопольда Кронекера. До цієї школи належали такі видатні плідні в області алгебри і теорії чисел алгебри математики, як Кроне-кер, Куммер і Фробенттус. Ернст Куммер був запрошений до Берліна в 1855 р, щоб замінити Діріхле. Він викладав там до 1883 року, коли сам вирішив припинити математичну діяльність, так як відчув, що його творча продуктивність падає. Ця теорія була створена частково в зв'язку зі спробами Кумм-ра довести велику теорему Ферма, частково в зв'язку з теорією Гаусса бпквадратічних відрахувань, в якій поняття простих множників перенесено в область комплексних чисел.

Виникає питання, чи існує яке-небудь (невипадкове) число, яке може бути точно визначено, але цифри якого не можна передбачити. Позитивну відповідь дан в прикладі Шайтіна. Нехай випадкова послідовність з гербів і решек, що виникає при киданні монети, або відповідна їй послідовність з нулів і одиниць, вводиться в деяку машину, а саме в машину Тьюринга. Імовірність того, що машина Тьюринга зупиниться в якийсь момент введення випадкової послідовності і визначає число Шайтіна. Теоретично машина може працювати як завгодно довго, тому що вона не отримує команд, які змушують її зупинитися. Можна довести, що число Шайтіна нецікаво і цифри цього числа передбачити не можна. У той же час це нецікаве число Шайтіна має низку цікавих властивостей. Наприклад, якби було відомо кілька перших тисяч цифр в його десяткового запису, то тим самим ми отримали б рішення деяких класичних невирішених проблем в математиці таких, як велика теорема Ферма і проблема Гольдбаха.