А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Подальша теорема
Наступні теореми доводяться повністю аналогічно відповідним теорем в разі одного рівняння.
Наступні теореми показують, що побудова правильних багатокутників тісно пов'язане з поділом кола на рівні частини.
Усі наступні теореми цього параграфа грунтуються виключно на теоремі Вейерштрасса про коріння многочленів і тим самим виявляться справедливими для всіх впроваджуються пізніше полів, де ця теорема виконана.
Для подальших теорем точні формулювання опускаються, і вона наводиться їх короткі формулювання.
У наступних теоремах ми, як завжди, припускаємо, що системи, що утворюють ансамбль, тотожні за своєю природою і за значеннями зовнішніх координат, які тут розглядаються як постійні.
У наступних теоремах ми позначаємо готичними літерами лише ненульові цілі ідеали в кільці про, а буквою р - з індексами або без - постійно позначається який-небудь ненульовий простий ідеал.
У наступних теоремах ми будемо скорочено говорити: квадрат сторони замість: квадрат числа, що виражає довжину сторони, або: твір відрізків замість: твір чисел, що виражають довжини відрізків. При цьому будемо мати на увазі, що відрізки виміряні однією і тією ж одиницею.
У наступних теоремах ми позначаємо готичними літерами лише ненульові цілі ідеали в кільці про, а буквою р - з індексами або без - постійно позначається який-небудь ненульовий простий ідеал.
У наступних теоремах регулярності аналогічні співвідношення формулюються відразу з г /о 1 причому цей випадок забезпечується там з більш тонких, ніж в теоремі 5.2 міркувань.
При контексті пізніших теорем зручна наступна термінологія. Якщо деякий властивість виконано для всіх точок безлічі Е, за винятком, можливо, безлічі точок заходи нуль, то кажуть, що це властивість виконується майже.
для спрощення формулювань наступних теорем доцільно називати твір чисел т і п в будь-якому (т X п) - прямокутнику площею цього прямокутника. При цьому, зрозуміло, квадрат розглядається як окремий випадок прямокутника.
Так, наприклад, наступні теореми 3 і 4 з теорії подвійності дають можливість вивчати зміни саме такого гатунку за допомогою заміни Р0 залишаючи постійними з і w і не перераховуючи наново величини х при кожній заміні.
Те саме можна сказати і до подальшим теорем.
Це і аналогічні зауваження до наступних теорем параграфа важливі в тому плані, що вони фактично вказують на істотність тих чи інших припущень, при яких в розділі 4 виводитимуться необхідні умови оптимальності в задачах математичного програмування (див. Зауваження до теорем 243.1 і 3.2 гл .
Доказ цієї теореми, а також подальшої теореми 4 принципово нічим не відрізняється від докази аналогічних теорем для системи диференціальних рівнянь.
Доказ цієї теореми, а також подальшої теореми 4 принципово нічим не відрізняється від докази аналогічних теорем для системи диференціальних рівнянь. Теорема 3 дозволяє істотно спростити дослідження стійкості лінійних систем різницевих рівнянь, так як обмеженість рішень цих систем можна встановити безпосередньо з вигляду спільного рішення.
Відзначимо, що в формулюванні кожної з наступних теорем постійна С позитивна і залежить тільки від розглянутого рішення виродженого рівняння.
Це ж зауваження стосується і до всіх наступних теорем подібного роду.
Це зобов'язує нас внести відповідні зміни в формулювання і доказу наступних теорем.
Для Р (k; 3) відповідні відповіді становлять зміст наступних теорем. Перша з них є теорема Янова.
Замість того щоб перераховувати всілякі міри довжини, більшість з яких нам не знадобиться, ми зараз розглянемо вимоги (аксіоми), яким повинна задовольняти довільна міра довжини. Усі наступні теореми про відстані будуть доведені в рамках цих аксіом, тобто в найбільш загальному вигляді. У математиці прийнято замість вираження міра довжини використовувати термін метрика.
Звернемо увагу на один недолік теорем 6.5 і 6.6. Умови цих теорем не дають оцінки з-періодичних рішень. У наступних теоремах такі оцінки будуть виходити автоматично; ця обставина дуже важливо для викладається нижче теорії обмежених рішень.
Так як довжини кодових слів будь-якого однозначно декодіруемой коду задовольняють (323) і так як можна побудувати префіксний код для будь-якого безлічі довжин, які відповідають (323), то будь-який однозначно декодіруемий код можна замінити на префіксний код без зміни довжин кодових слів. Таким чином, наступні теореми щодо середньої довжини кодового слова застосовні як до однозначно декодіруемой кодами, так і до підкласу префіксних кодів.
Зауваження 42.2. Якщо розглядається задача про максимумі (а не про мінімум) функціоналу (40.5), то теорема зберігається в тому ж вигляді, з тією лише різницею, що в співвідношенні про 0 знак нерівності замінюється на протилежний. Це зауваження стосується і до всіх наступних теорем. Однак в подальших теоремах братиме участь нерівність ф010 де випадок o 0 не виключається.
Це питання для довільної моделі 21 надзвичайно важкий, так як з відповіді на нього випливають рішення деяких проблем логіки другого порядку, якими ми ще не володіємо. Якщо питання ставиться для всього класу моделей 21 мови X, як, наприклад, в теоремі Бета і в деяких наших наступних теоремах цього розділу, то можна отримати дуже елегантні відповіді.
Означивание приписує истинностное значення, t або /, атомам мови. Істінностное означивание є розширенням означивания на безліч висловлювань мови. У наступній теоремі 134 буде доведено, що кожне означивание може бути однозначно розширено до истинностного означивания.
В даному розділі нам знадобляться основні властивості конструктивних множин. Замість цього буде наведено короткий огляд, призначений в основному для фіксування позначень і містить тільки необхідні для подальших теорем відомості.
Геделева нумеруються дозволяє розглядати інтерпретовані мови не тільки як мови, що описують натуральні числа (тобто мають безліч натуральних чисел в якості області їх передбачуваної інтерпретації), а й, що підпадають під нумерованим виразами. При цьому виникає можливість того, що деякі пропозиції, очевидним чином пов'язані з деяким числам, маючи на увазі геделеву нумеруються, можна вважати відносяться до деяких виразів, ідентичним самим цим пропозиціям. Описується стан справ не просто можливо: доказ леми про диагонализации виявляє, як подібна ситуація виникає, а наступні теореми показують, як її можна використовувати.
Всі три ознаки рівності трикутників зазвичай доводяться на початку вивчення систематичного курсу планіметрії. Загальновідомо, з якими великими труднощами стикаються шестикласники при доказі третьої ознаки рівності трикутників. Аналіз нині діючих програм та навчальних посібників з геометрії показує, що на початку шостого класу необхідно вивчити тільки перший і другий ознаки рівності трикутників, за допомогою яких ведеться доказ всіх наступних теорем. Доказ третьої ознаки рівності трикутників і всіх трьох ознак подібності трикутників виконується досить просто із застосуванням теорем косинусів і синусів.
Наступні теореми показують, що побудова правильних багатокутників тісно пов'язане з поділом кола на рівні частини.
Усі наступні теореми цього параграфа грунтуються виключно на теоремі Вейерштрасса про коріння многочленів і тим самим виявляться справедливими для всіх впроваджуються пізніше полів, де ця теорема виконана.
Для подальших теорем точні формулювання опускаються, і вона наводиться їх короткі формулювання.
У наступних теоремах ми, як завжди, припускаємо, що системи, що утворюють ансамбль, тотожні за своєю природою і за значеннями зовнішніх координат, які тут розглядаються як постійні.
У наступних теоремах ми позначаємо готичними літерами лише ненульові цілі ідеали в кільці про, а буквою р - з індексами або без - постійно позначається який-небудь ненульовий простий ідеал.
У наступних теоремах ми будемо скорочено говорити: квадрат сторони замість: квадрат числа, що виражає довжину сторони, або: твір відрізків замість: твір чисел, що виражають довжини відрізків. При цьому будемо мати на увазі, що відрізки виміряні однією і тією ж одиницею.
У наступних теоремах ми позначаємо готичними літерами лише ненульові цілі ідеали в кільці про, а буквою р - з індексами або без - постійно позначається який-небудь ненульовий простий ідеал.
У наступних теоремах регулярності аналогічні співвідношення формулюються відразу з г /о 1 причому цей випадок забезпечується там з більш тонких, ніж в теоремі 5.2 міркувань.
При контексті пізніших теорем зручна наступна термінологія. Якщо деякий властивість виконано для всіх точок безлічі Е, за винятком, можливо, безлічі точок заходи нуль, то кажуть, що це властивість виконується майже.
для спрощення формулювань наступних теорем доцільно називати твір чисел т і п в будь-якому (т X п) - прямокутнику площею цього прямокутника. При цьому, зрозуміло, квадрат розглядається як окремий випадок прямокутника.
Так, наприклад, наступні теореми 3 і 4 з теорії подвійності дають можливість вивчати зміни саме такого гатунку за допомогою заміни Р0 залишаючи постійними з і w і не перераховуючи наново величини х при кожній заміні.
Те саме можна сказати і до подальшим теорем.
Це і аналогічні зауваження до наступних теорем параграфа важливі в тому плані, що вони фактично вказують на істотність тих чи інших припущень, при яких в розділі 4 виводитимуться необхідні умови оптимальності в задачах математичного програмування (див. Зауваження до теорем 243.1 і 3.2 гл .
Доказ цієї теореми, а також подальшої теореми 4 принципово нічим не відрізняється від докази аналогічних теорем для системи диференціальних рівнянь.
Доказ цієї теореми, а також подальшої теореми 4 принципово нічим не відрізняється від докази аналогічних теорем для системи диференціальних рівнянь. Теорема 3 дозволяє істотно спростити дослідження стійкості лінійних систем різницевих рівнянь, так як обмеженість рішень цих систем можна встановити безпосередньо з вигляду спільного рішення.
Відзначимо, що в формулюванні кожної з наступних теорем постійна С позитивна і залежить тільки від розглянутого рішення виродженого рівняння.
Це ж зауваження стосується і до всіх наступних теорем подібного роду.
Це зобов'язує нас внести відповідні зміни в формулювання і доказу наступних теорем.
Для Р (k; 3) відповідні відповіді становлять зміст наступних теорем. Перша з них є теорема Янова.
Замість того щоб перераховувати всілякі міри довжини, більшість з яких нам не знадобиться, ми зараз розглянемо вимоги (аксіоми), яким повинна задовольняти довільна міра довжини. Усі наступні теореми про відстані будуть доведені в рамках цих аксіом, тобто в найбільш загальному вигляді. У математиці прийнято замість вираження міра довжини використовувати термін метрика.
Звернемо увагу на один недолік теорем 6.5 і 6.6. Умови цих теорем не дають оцінки з-періодичних рішень. У наступних теоремах такі оцінки будуть виходити автоматично; ця обставина дуже важливо для викладається нижче теорії обмежених рішень.
Так як довжини кодових слів будь-якого однозначно декодіруемой коду задовольняють (323) і так як можна побудувати префіксний код для будь-якого безлічі довжин, які відповідають (323), то будь-який однозначно декодіруемий код можна замінити на префіксний код без зміни довжин кодових слів. Таким чином, наступні теореми щодо середньої довжини кодового слова застосовні як до однозначно декодіруемой кодами, так і до підкласу префіксних кодів.
Зауваження 42.2. Якщо розглядається задача про максимумі (а не про мінімум) функціоналу (40.5), то теорема зберігається в тому ж вигляді, з тією лише різницею, що в співвідношенні про 0 знак нерівності замінюється на протилежний. Це зауваження стосується і до всіх наступних теорем. Однак в подальших теоремах братиме участь нерівність ф010 де випадок o 0 не виключається.
Це питання для довільної моделі 21 надзвичайно важкий, так як з відповіді на нього випливають рішення деяких проблем логіки другого порядку, якими ми ще не володіємо. Якщо питання ставиться для всього класу моделей 21 мови X, як, наприклад, в теоремі Бета і в деяких наших наступних теоремах цього розділу, то можна отримати дуже елегантні відповіді.
Означивание приписує истинностное значення, t або /, атомам мови. Істінностное означивание є розширенням означивания на безліч висловлювань мови. У наступній теоремі 134 буде доведено, що кожне означивание може бути однозначно розширено до истинностного означивания.
В даному розділі нам знадобляться основні властивості конструктивних множин. Замість цього буде наведено короткий огляд, призначений в основному для фіксування позначень і містить тільки необхідні для подальших теорем відомості.
Геделева нумеруються дозволяє розглядати інтерпретовані мови не тільки як мови, що описують натуральні числа (тобто мають безліч натуральних чисел в якості області їх передбачуваної інтерпретації), а й, що підпадають під нумерованим виразами. При цьому виникає можливість того, що деякі пропозиції, очевидним чином пов'язані з деяким числам, маючи на увазі геделеву нумеруються, можна вважати відносяться до деяких виразів, ідентичним самим цим пропозиціям. Описується стан справ не просто можливо: доказ леми про диагонализации виявляє, як подібна ситуація виникає, а наступні теореми показують, як її можна використовувати.
Всі три ознаки рівності трикутників зазвичай доводяться на початку вивчення систематичного курсу планіметрії. Загальновідомо, з якими великими труднощами стикаються шестикласники при доказі третьої ознаки рівності трикутників. Аналіз нині діючих програм та навчальних посібників з геометрії показує, що на початку шостого класу необхідно вивчити тільки перший і другий ознаки рівності трикутників, за допомогою яких ведеться доказ всіх наступних теорем. Доказ третьої ознаки рівності трикутників і всіх трьох ознак подібності трикутників виконується досить просто із застосуванням теорем косинусів і синусів.