А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Перша основна теорема

Перша основна теорема вірна не для будь-якої групи G, див. Примітку 2 до гл. Таким чином, у розглянутий в тексті випадку групи SL (V) не просто доведені основні теореми, але навіть знайдений явний вид утворюють і визначальних співвідношень між ними.

Перша основна теорема (0.1) дає верхню межу для ЩГ, а) і тим самим для числа коренів рівняння /(г) а. Більш важке запитання про нижніх межах досліджується в гл.
 Перша основна теорема переноситься на випадок, який розглядається без істотних змін.

Перша основна теорема Лі стверджує, що Лієва група перетворень повністю визначається своїми похідними Лі. Останні, як відомо, утворюють алгебру Лі; крім того, вони породжують траєкторії групи перетворень, а відповідно до принципу 4 - 1 біологічна форма визначається траєкторних рухом клітин.

Першу основну теорему теорії розподілу значень називають також теоремою про рівномірний розподіл. У відомому сенсі вона являє собою далеко, що йде узагальнення теореми, по якій многочлен від одного комплексного змінного приймає кожне значення (з урахуванням кратності) однаково часто, і ця частота визначається ступенем многочлена, що характеризує його зростання. У загальному випадку роль числа значень займає вважає функція, роль показника зростання - характеристична функція, а в співвідношенні, їх пов'язує, з'являються додаткові члени, які ми розглянемо нижче.

Хоча перша основна теорема була доведена для широких класів груп Г, ми до сих пір не знаємо, чи виконується вона для будь-якої групи.

Оскільки перша основна теорема теорії розподілу значень в попередньому розділі розглянута з достатньою спільністю, яка охоплює і випадок кривих, нашу увагу буде зосереджено на другий основний теореми, яка там доведена лише для відображень, що зберігають розмірність.

За допомогою першої основної теореми теорії інваріантів для GrL (ny-vw) встановлюється наступний результат.

У параграфі Застосування першої основної теореми термостатики до газам встановлюються загальні особливості теплоємності газу і даються основні співвідношення між ізобарно і ізохорно теплоємності.

Дана теорема є першою основною теоремою двоїстості.

Отримане протиріччя завершує доказ першої основної теореми.

Всі ці наслідки з першої основної теореми, а також теореми Гурвіца можна перевірити безпосередньо на підставі (2911), так як рівняння другого порядку (29 9) легко вирішується. Можливість такої безпосередньої перевірки природно утруднена для рівнянь третього і четвертого порядку і стає неможливою для рівнянь вище четвертого порядку. Застосування першої основної теореми, а разом з тим і критерію Гурвіца стає тоді необхідним.

Тоді справедливий наступний аналог першої основної теореми Неванлінни. 
Теорема Сколема-Нетер часто називається першою основною теоремою теорії тел. Друга основна теорема пов'язана з поняттям централізатора.

Перша глава книги починається з першої основної теореми; далі в ній викладаються основні властивості мероморф-них функцій, що виражаються за допомогою їх характеристичних функцій.

Підкреслимо, що при доведенні першої основної теореми аксіоми I, 1 - 3 і II використовувалися лише для встановлення порядку проходження точок на прямий.

Про Підкреслимо, що при доведенні першої основної теореми аксіоми I, 1 - 3 і II використовувалися лише для встановлення порядку проходження точок на прямій.

Рівність (А) Альфорса відповідає першій з основною теоремою Неванлінни (гл. Звідси, як і в разі дівізоров, виходить перша основна теорема теорії розподілу значень в загальному випадку. Але все це побудова повисає в повітрі, поки не доведена перша основна теорема , що носить зовсім інший характер, так як в ній мова йде про базис області цілісності, а не ідеалу.

В окремому випадку пг1іМ ССО сферичної метрикою теорема 1 збігається з класичною першої основною теоремою теорії розподілу значень ме-роморфних функцій в формі Альфорса - Сіміцу (див. Хейман[1], Стор. Каменкова за відомостями були розвинені І. Г. Малкіним (1942 ), що сформулював свої результати в формі першої основної теореми про критичній ситуації.

Твір Окатова складається з наступних частин: загальні початку; додатки загальних засад; додаток першої основної теореми механічної теорії теплоти до сталого гальванічного струму; додаток другий основний теореми механічної теорії теплоти до пружного твердого тіла; вказівки і примітки. Основною частиною книги є перші два розділи. Решта розділів присвячені окремих питань.

N (r, а) наближається до Т (г, /) - своєї верхньої межі, яка встановлюється першої основної теоремою.

Якщо (2918), (2921 - 22) виконуються, то дійсні частини коренів негативні, а з першої основної теореми слід тоді, що інші коріння таблиці (28 2) також негативні. Отже, процес є загасаючим.

Вклади в S (r, D), вироблені островами і півостровами над D, відповідають величинам т і N в першій основній теоремі.

Зі співвідношень (1.1), (1.2) і визначення m (r, a, G), N (r a, G) і Т (f, G) безпосередньо отримуємо першу основну теорему теорії розподілу значень р-мірних цілих кривих.

Для заданої околиці одиничного елемента Лієв групи перетворень відповідний росток групи Лі визначається як клас еквівалентності над усіма групами Лі перетворень, що мають один і той же інфінітезі-мальное перетворення (а отже, і одну і ту ж похідну Лі) в цій околиці. Згідно з першою з основною теоремою Лі, паросток групи Лі повністю визначається відповідної Лієв похідною. З аксіом 4 і 5 проте, слід, що похідна Лі є інфінітезимального породжує оператор, який може служити моделлю біологічних процесів, пов'язаних з діяльністю на мікрорівні клітин різних типів.

Як аналог першої основної теореми покажемо спочатку, що якщо L мало в порівнянні з площею образу D0 при відображенні /(г), то відображення накриває різні області або дуги с, грубо кажучи, однаковою кратністю.

Левіна[1], В яких перша основна теорема була поширена на голоморфні відображення з Ст в Pft, а також великий цикл робіт В.

У антіізоморфна Л, так як антіізоморфние напівгрупи також граткову ізоморфні. Класичний приклад решеточной визначається доставляє перша основна теорема проективної геометрії (див. W2w2w22.), Де в якості А розглядаються векторні простору над тілами. Граткову определяющимися є також всяка абелева група, яка містить два незалежних елемента нескінченного порядку, будь-яка вільна група (вільна півгрупа) і група (півгрупа), нетривіально розкладені у вільний твір, будь-яка нильпотентна група без крутіння, всяка комутативна півгрупа з законом скорочення і без ідемпотентів, усяка вільна півгрупа ідемпотентів , вільна полурешетка більш ніж з двома вільними утворюють.

Тому безліч коренів S (/(z)) є дискретним безліччю. Має місце наступне твердження, що є першою основною теоремою теорії голоморфних кривих.

Узагальнюються і інші поняття класичні. R звичайно породжена, то кажуть, що виконана перша основна теорема І. У багатьох важливих випадках, напр, в додатку до проблеми модулів, G є саме такою групою. Якщо Д звичайно породжена, то існує Афінний алгебраїч. W, для к-якого R є алгеброю регулярних функцій; включення Л сл індукує морфізм я: X - - W. Якщо G геометрично редуктивного, то різноманіття W класифікує замкнуті орбіти G в W: відображення л сюр'ектівно, і в кожному його шарі лежить рівно одна замкнута орбіта. Необхідна умова існування фактормногообразія X по G - замкнутість всіх орбіт - виявляється в цьому випадку і достатнім, і цим фактормногообразіем виявляється W. Звідси видно роль R в рішенні геометричних.

Намагаючись з'ясувати, чи справедливо це ж щодо першої основної теореми І.

У локальному варіанті теорема про відповідність між групою Лі і правоінваріантнимі або левоінваріантнимі векторними полями, утворюють її алгебру Лі, називається першою основною теоремою Лі.

У п 3 було встановлено зв'язок між проектними відображеннями зв'язок і аффіннимі відображеннями площин; на цей зв'язок ми спиралися в п 4 при доказі першої основної теореми про проектному відображенні проективної площині і будемо ще істотно спиратися в наступному параграфі при визначенні та виведення основних властивостей подвійного відносини чотирьох точок на проективної прямої. У цьому п ми встановимо зв'язок між проектними відображеннями зв'язок і аффіннимі перетвореннями простору; на ній буде заснована запис проектних перетворень в проективних координатах.

Пересунемо тепер площину тг в просторі так, щоб вона стала паралельна площині в, а точки Л, В, С, D проектувалися з центру 5 відповідно, в точки Л, S, С, /У площині в. А так як точки А, В, С, D утворюють четвірку загального положення, перспективна ж проекція є проективне відображення, то на підставі першої основної теореми про проектному відображенні робимо висновок, що відображення Е, після зазначеного пересування площині тс, і здійснюється шляхом розглянутої перспективи.

Вона визначена для In г2 які не є критичними значеннями функції тл, але, як видно з формули (10), безперервно триває в ці значення (бо неперервна права частина формули), і ми будемо вважати її певною для всіх г го. Залишається скористатися визначеннями (7) і (8) характеристичної функції відображення ff (L, r) і вважає функції дівізоров Nf (D, r), і (10) призведе до першої основної теореми теорії розподілу значень в наступному формулюванні.

Всі ці наслідки з першої основної теореми, а також теореми Гурвіца можна перевірити безпосередньо на підставі (2911), так як рівняння другого порядку (29 9) легко вирішується. можливість такої безпосередньої перевірки природно утруднена для рівнянь третього і четвертого порядку і стає неможливою для рівнянь вище четвертого порядку. Застосування першої основної теореми, а разом з тим і критерію Гурвіца стає тоді необхідним.

Покажемо насамперед, що всі такі підгрупи, які відповідають різним прямим, ізоморфні. Дійсно, нехай /і /- якісь прямі на (співпадаючих або різних) проективних площинах П і ГГ. В силу першої основної теореми про проектному відображенні, між площинами П і П /можна встановити (і навіть нескінченним безліччю способів) проективне відповідність, при якому прямі /і V будуть відповідати один одному: для цього потрібно тільки взяти на площинах П і П четвірки точок загального положення Л, В, С, D і а, В С7 /У, з яких, наприклад, а і В лежать на прямій /, а а і В - на прямий /, і проектно відобразити П на П так, щоб точки Л, В, С, D перейшли, відповідно, в точки А, в, С, /У. При будь-якому такому фіксованому проектному відповідно площин П і П; кожне проективне перетворення S площині П, що переводить в себе пряму /, буде індукувати деякий проективне перетворення L площині П, що переводить в себе пряму /, і назад.

Залишається звільнитися від додаткового умови Оф - 1 (О), яке ми ввели вище. Якщо воно не виконується, то будемо інтегрувати в (3) не від г О, а від деякого г0 0 тоді в останньому співвідношенні з'явиться додаткове обмежене доданок, але ми включимо його в 0 (1), і вид цього співвідношення не зміниться. Ми приходимо, таким чином, до першої з основною теоремою теорії розподілу значень.

Так як будь-які дві моделі проективної площині ізоморфні щодо запасу точок і прямих, їх Інцидентне і проектних перетворень, то ясно, що будь-яке проективне поняття, встановлене на який-небудь однієї моделі проективної площині, може бути перенесено на будь-яку проектну площину, залишаючись і там проективним ; і точно так же кожне проектне властивість однієї моделі є проективне властивість всіх проективних площин. Таким чином, з точки зору проективної геометрії всі моделі проективної площині зовсім рівноправні. Але реалізуючи проективну площину у вигляді певної моделі, ми отримуємо можливість встановлювати проектні поняття і теореми, залучаючи на допомогу також непроектівние властивості цієї моделі. Так саме нами була доведена, наприклад, перша основна теорема про проектному відображенні. З цієї точки зору, звичайно, вже не байдуже, якою саме моделлю користуватися: в деяких випадках зручніше одна, в інших - інша.

Проекції Fix, Fiy, Ftz рівнодіюча зовнішніх сил, прикладених до i - й точці, так само як і проекції F lx, F iy, F iz рівнодіюча внутрішніх сил, є задані функції часу, координат і проекцій швидкостей не тільки 1 - й, але і в загальному випадку всіх точок системи. Таким чином, рівняння (2) утворюють систему Зп звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з Зп невідомими величинами xi, iji, Zi, які повинні бути визначені як функції часу. Початкові умови, необхідні для визначення довільних постійних інтегрування, представляють сукупність початкових умов для кожної точки системи окремо. Залишаючи поки що осторонь питання про інтегрування рівнянь (2), займемося застосуванням цих рівнянь до висновку першої основної теореми динаміки - теореми про зміну кількості руху системи.

Звідси випливає, що сума m N майже не змінюється при зміні а. Друга основна теорема (теорема 2.4) показує, що взагалі в сумі т N домінує доданок N і що ми не зменшимо значно цієї суми, якщо при підрахунку N (r, а) кратні коріння вважатимемо один раз. Отже, для більшої частини значень а рівняння f (z) а має приблизно стільки коренів, скільки допускається по першій з основною теоремою, і, крім того, більшість цих коренів прості. Цей результат містить як окремий випадок теорему Пікара, яка стверджує, що трансцендентна мероморфна функція приймає нескінченне число разів все значення з. Однак, як ми побачимо, результати Неванлінни йдуть значно далі.

Будь-яке таке твір називається одночленним інваріантом. I представлений точкою, а кожен Дужковий оператор, подібний[ху ]- Лінією, що з'єднує точки х і у. Дужковий оператор[xl ], Що включає вільний вектор /, може бути представлений лінією, що виходить з х, а інший кінець якої залишається вільним. Отже, одночленні інваріанти повністю відповідають діаграм валентності Кекуле. Перша основна теорема теорії інваріантів встановлює, що кожен інваріант даних ступенів є лінійної комбінацією одночленним інваріантів цих же ступенів.

Образ обмеженого напіваналітичного безлічі при проекції не є, взагалі кажучи, підлозі аналітичним. Цей факт пояснює таке визначення. Підмножина 5 простору Кп називається субаналітіческім, якщо в околиці кожної точки простору Кп воно є проекцією деякого обмеженого напіваналітичного безлічі. Ван ден Дріс і Денеф[19]побудували теорію р-адических субаналітіческіх множин. Деякі з їхніх ідей при цьому були підказані математичною логікою. Перша основна теорема стверджує, що доповнення до субаналітіческому безлічі новостворюваних є субаналітіческім. Інший основний результат полягає в наступному.