А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Безпосереднє аналітичне продовження
Безпосереднє аналітичне продовження, якщо воно можливе, іноді найзручніше здійснити за допомогою статечних рядів.
Вирушаючи від безпосереднього аналітичного продовження допомогою елементів з сусідніми областями, можна ввести поняття ланцюга, аналітичного продовження (не безпосереднє) і, нарешті, перейти до побудови ріманової поверхні, подібно до того як це робилося в пп. G p f (z) є результатом продовження.
Функція wz (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції Wi (z) в область В, а функція oi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції w2 (z) в область А.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині рівності (IV. Якщо точка z zi (fc) належить області визначення функції fc (z) і є коренем похідної функції fc (z), то чи не існує однозначної аналітичної функції, яка була б зворотною по відношенню до функції fc (z) в будь-якій області, що містить відрізок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині рівності (IV. Якщо точка zi (fc) належить області визначення функції fc (z) і є коренем похідної цієї функції, то не існує однозначної аналітичної функції, яка була б безпосереднім аналітичним продовженням вириальне розкладання граничного тиску р за ступенями граничної щільності g на зв'язну область, яка містить відрізок[0, /c ( zi ( /c)) ]дійсної осі.
Тоді функція fi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції fo (z) з області D0 в область D.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині (IV.24) уздовж позитивного напрямку дійсної осі.
В основі описаного вище процесу аналітичного продовження лежало поняття безпосереднього аналітичного продовження двох елементів:[Ог, fl ( z) и G2, /2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций /j ( z) и /2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Основываясь на теореме 1, мы несколько обобщим введенное выше понятие непосредственного аналитического продолжения.
Следовательно, не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением рассматриваемого вириального разложения на односвязную комплексную область, содержащую отрезок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Зробимо приєднання до елементу Di, fj всіх елемент-тов, які є його безпосередніми аналітичними продовженнями.
Припустимо, що існує однозначна аналітична функція g (g), що є безпосереднім аналітичним продовженням розглянутого вириальне розкладання на зв'язну область Нс, що містить відрізок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Функція wz (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції Wi (z) в область В, а функція oi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції w2 (z) в область А.
Сукупність усіх статечних рядів (всіх елементів /(z)), які виходять, з даного ряду (елемента /i (z)) за допомогою безпосередніх аналітичних продовжень, утворює уявлення функції, яка, по Вейерштрасу, називається повною аналітичної.
Ог - f - G2 - (- 3 існує аналітична функція /(рр), що збігається з fj (z) в Gj (jl, 2), то елементи Gt, /(z) і Ga, f2 (z) називаються як і раніше безпосередніми аналітичними продовженнями один іншого.
Взагалі, якщо функція /(г) регулярна в області в, функція p (z) регулярна в області Blt а області в і ВГ мають деяку загальну частину D, в якій /(z) p (z), то функцію y (z) зазвичай називають безпосереднім аналітичним продовженням функції /(г) з області в в область В1у а функція /(г) носить назву безпосереднього аналітичного продовження функції p (z) з області ВГ в область В.
. Взагалі, якщо функція /(г) регулярна в області в, функція p (z) регулярна в області Blt а області в і ВГ мають деяку загальну частину D, в якій /(z) p (z), то функцію y (z ) зазвичай називають безпосереднім аналітичним продовженням функції /(г) з області в в область В1у а функція /(г) носить назву безпосереднього аналітичного продовження функції p (z) з області ВГ в область В.
Dm ми можемо отримати в області Dm як аналітичного продовження елемента /о інший, відмінний від функції fm голоморфної функціональний елемент. Таким чином, однозначний характер безпосереднього аналітичного продовження в загальному випадку втрачається.
DJ перетинаються по деякій області GO і в області D D0[JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции /0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции /1; заданной в области Dv. Тогда функция /j называется непосредственным аналитическим продолжением функции /о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
О, Ь ]входить, по лемі 2 в область визначення функції), яка приймає в точці z видання позитивне значення. Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням уздовж позитивного напрямку дійсної осі ряду в правій частині рівності (IV. МС (Ь) є однозв'язної областю, в якій функція Q fc (z) є однозначною і аналітичної і має зворотну функцію г /т (0), однозначну, аналітичну і однолістних в цій області.
DJ перетинаються по деякій області GO і в області D D0[JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции /0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции /1; заданной в области Dv. Тогда функция /j называется непосредственным аналитическим продолжением функции /о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной этой функции, то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением вириального разложения предельного давления р по степеням предельной плотности g на связную область, содержащую отрезок[0, /c ( zi ( /c)) ]дійсної осі.
в основі описаного вище процесу аналітичного продовження лежало поняття безпосереднього аналітичного продовження двох елементів:[Ог, fl ( z) и G2, /2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций /j ( z) и /2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Из определения величины zi ( fc) и условий ( 41) вытекает, что на отрезке[О, Ь ]немає особливих точок для аналітичного продовження ряду (23) вздовж позитивного напрямку дійсної осі. Далі, з умов (41) і визначення величини zi (fc) випливає, що на відрізку[0, 6]немає коренів похідної функції fc (z) і, отже, ця похідна зберігає свій знак на цьому відрізку. Точка z Про входить як в область збіжності ряду (23)), так і в область визначення функції fc (z), що є безпосереднім аналітичним продовженням цього ряду уздовж позитивного напрямку дійсної осі.
Нехай G - опукла область і f (z) - функція, аналітична і однозначна в області G. Два елементи Gt, fi (z) і G2 /2 (z) розглядаються як тотожні тоді і тільки тоді, коли області Gl і G2 збігаються і fi (z) - f2 (z) у всіх точках області. Два елементи Glt /(z) і fG2 /2 (2), що задовольняють умовам: 1) Gt і G2 мають непорожнє перетин, 2) в загальній частині областей Gl і G2 значення /t (z) і /2 (z) збігаються , називаються безпосередніми аналітичними продовженнями один іншого.
У всіх попередніх розглядах ми фактично грунтувалися на формулі Коші, справедливою для однозначної аналітичної функції. Отже, розглянуті методи можна застосовувати лише тоді, коли аналітичне продовження f (z) функції f (x) з дійсної осі в область, обмежену контуром інтегрування, є однозначною аналітичної функцією. У тих же випадках, коли повна аналітична функція F (z) виявляється багатозначною на повної комплексної площині z, треба так вибирати контур інтегрування, щоб усередині його не містилося точок розгалуження функції F (z), і розглядати лише однозначну гілку f (z) повної аналітичної функції F (z), що є безпосереднім аналітичним продовженням функції f (x]в комплексну область. Ці міркування дозволяють поширити розглянуті вище методи на ряд невласних інтегралів, часто зустрічаються в додатках. Розглянемо кілька типових випадків.
Вирушаючи від безпосереднього аналітичного продовження допомогою елементів з сусідніми областями, можна ввести поняття ланцюга, аналітичного продовження (не безпосереднє) і, нарешті, перейти до побудови ріманової поверхні, подібно до того як це робилося в пп. G p f (z) є результатом продовження.
Функція wz (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції Wi (z) в область В, а функція oi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції w2 (z) в область А.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині рівності (IV. Якщо точка z zi (fc) належить області визначення функції fc (z) і є коренем похідної функції fc (z), то чи не існує однозначної аналітичної функції, яка була б зворотною по відношенню до функції fc (z) в будь-якій області, що містить відрізок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині рівності (IV. Якщо точка zi (fc) належить області визначення функції fc (z) і є коренем похідної цієї функції, то не існує однозначної аналітичної функції, яка була б безпосереднім аналітичним продовженням вириальне розкладання граничного тиску р за ступенями граничної щільності g на зв'язну область, яка містить відрізок[0, /c ( zi ( /c)) ]дійсної осі.
Тоді функція fi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції fo (z) з області D0 в область D.
Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням ряду в правій частині (IV.24) уздовж позитивного напрямку дійсної осі.
В основі описаного вище процесу аналітичного продовження лежало поняття безпосереднього аналітичного продовження двох елементів:[Ог, fl ( z) и G2, /2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций /j ( z) и /2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Основываясь на теореме 1, мы несколько обобщим введенное выше понятие непосредственного аналитического продолжения.
Следовательно, не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением рассматриваемого вириального разложения на односвязную комплексную область, содержащую отрезок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Зробимо приєднання до елементу Di, fj всіх елемент-тов, які є його безпосередніми аналітичними продовженнями.
Припустимо, що існує однозначна аналітична функція g (g), що є безпосереднім аналітичним продовженням розглянутого вириальне розкладання на зв'язну область Нс, що містить відрізок[0, /c ( i ( /c)) ]дійсної осі.
Функція wz (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції Wi (z) в область В, а функція oi (z) називається безпосереднім аналітичним продовженням функції w2 (z) в область А.
Сукупність усіх статечних рядів (всіх елементів /(z)), які виходять, з даного ряду (елемента /i (z)) за допомогою безпосередніх аналітичних продовжень, утворює уявлення функції, яка, по Вейерштрасу, називається повною аналітичної.
Ог - f - G2 - (- 3 існує аналітична функція /(рр), що збігається з fj (z) в Gj (jl, 2), то елементи Gt, /(z) і Ga, f2 (z) називаються як і раніше безпосередніми аналітичними продовженнями один іншого.
Взагалі, якщо функція /(г) регулярна в області в, функція p (z) регулярна в області Blt а області в і ВГ мають деяку загальну частину D, в якій /(z) p (z), то функцію y (z) зазвичай називають безпосереднім аналітичним продовженням функції /(г) з області в в область В1у а функція /(г) носить назву безпосереднього аналітичного продовження функції p (z) з області ВГ в область В.
. Взагалі, якщо функція /(г) регулярна в області в, функція p (z) регулярна в області Blt а області в і ВГ мають деяку загальну частину D, в якій /(z) p (z), то функцію y (z ) зазвичай називають безпосереднім аналітичним продовженням функції /(г) з області в в область В1у а функція /(г) носить назву безпосереднього аналітичного продовження функції p (z) з області ВГ в область В.
Dm ми можемо отримати в області Dm як аналітичного продовження елемента /о інший, відмінний від функції fm голоморфної функціональний елемент. Таким чином, однозначний характер безпосереднього аналітичного продовження в загальному випадку втрачається.
DJ перетинаються по деякій області GO і в області D D0[JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции /0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции /1; заданной в области Dv. Тогда функция /j называется непосредственным аналитическим продолжением функции /о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
О, Ь ]входить, по лемі 2 в область визначення функції), яка приймає в точці z видання позитивне значення. Нехай функція fc (z) є безпосереднім аналітичним продовженням уздовж позитивного напрямку дійсної осі ряду в правій частині рівності (IV. МС (Ь) є однозв'язної областю, в якій функція Q fc (z) є однозначною і аналітичної і має зворотну функцію г /т (0), однозначну, аналітичну і однолістних в цій області.
DJ перетинаються по деякій області GO і в області D D0[JDl существует голоморфная функция /, являющаяся продолжением функции /0, заданной в области D0, и одновременно продолжением функции /1; заданной в области Dv. Тогда функция /j называется непосредственным аналитическим продолжением функции /о на область D В силу теоремы единственности непосредственное аналитическое продолжение всегда однозначно.
Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.
Пусть функция fc ( z) является непосредственным аналитическим продолжением ряда в правой части равенства ( IV. Если точка zi ( fc) принадлежит области определения функции fc ( z) и является корнем производной этой функции, то не существует однозначной аналитической функции, которая являлась бы непосредственным аналитическим продолжением вириального разложения предельного давления р по степеням предельной плотности g на связную область, содержащую отрезок[0, /c ( zi ( /c)) ]дійсної осі.
в основі описаного вище процесу аналітичного продовження лежало поняття безпосереднього аналітичного продовження двох елементів:[Ог, fl ( z) и G2, /2 ( 2) с налегающими областями. Существенным было то, что с помощью двух функций /j ( z) и /2 ( z), аналитических в двух областях Gt и G2, получалась одна функция f ( z), аналитическая в большей области G Oi U G2 ( черт. Це-лесообразно обобщить определение элемента и непосредственного аналитического продолжения следующим образом.
Из определения величины zi ( fc) и условий ( 41) вытекает, что на отрезке[О, Ь ]немає особливих точок для аналітичного продовження ряду (23) вздовж позитивного напрямку дійсної осі. Далі, з умов (41) і визначення величини zi (fc) випливає, що на відрізку[0, 6]немає коренів похідної функції fc (z) і, отже, ця похідна зберігає свій знак на цьому відрізку. Точка z Про входить як в область збіжності ряду (23)), так і в область визначення функції fc (z), що є безпосереднім аналітичним продовженням цього ряду уздовж позитивного напрямку дійсної осі.
Нехай G - опукла область і f (z) - функція, аналітична і однозначна в області G. Два елементи Gt, fi (z) і G2 /2 (z) розглядаються як тотожні тоді і тільки тоді, коли області Gl і G2 збігаються і fi (z) - f2 (z) у всіх точках області. Два елементи Glt /(z) і fG2 /2 (2), що задовольняють умовам: 1) Gt і G2 мають непорожнє перетин, 2) в загальній частині областей Gl і G2 значення /t (z) і /2 (z) збігаються , називаються безпосередніми аналітичними продовженнями один іншого.
У всіх попередніх розглядах ми фактично грунтувалися на формулі Коші, справедливою для однозначної аналітичної функції. Отже, розглянуті методи можна застосовувати лише тоді, коли аналітичне продовження f (z) функції f (x) з дійсної осі в область, обмежену контуром інтегрування, є однозначною аналітичної функцією. У тих же випадках, коли повна аналітична функція F (z) виявляється багатозначною на повної комплексної площині z, треба так вибирати контур інтегрування, щоб усередині його не містилося точок розгалуження функції F (z), і розглядати лише однозначну гілку f (z) повної аналітичної функції F (z), що є безпосереднім аналітичним продовженням функції f (x]в комплексну область. Ці міркування дозволяють поширити розглянуті вище методи на ряд невласних інтегралів, часто зустрічаються в додатках. Розглянемо кілька типових випадків.