А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Метрізаціонная теорема

Метрізаціонная теорема Александрова - Урисона.

Метрізаціонная теорема Нагата - Смирнова. Топологічний простір метрізуемості в тому і тільки тому випадку, коли воно регулярно і має а-локально кінцеву базу.

Метрізаціонная теорема Мора має довгу історію. В теперішньому вигляді вона була доведена незалежно А. Стоуном в 11960]і Архангельським в[1961 а ], Де було введено поняття сильного подрібнення. Фрінк, встановлена в[1937](Див. Упр. С), може розглядатися як ще один різновид цієї ж теореми.

Відомо багато інших метрізаціонних теорем. Деякі з них формулюються нижче у вправах. Є також багато способів виводити їх одну з одною. Ясно, що доказ теореми, яка встановлюється першої, має містити побудова метрики. У цій книзі ми почали з теореми Нагата - Смирнова. Можна було б почати з слідства 5410 (ескіз побудови метрики для цього випадку дано в упр. До відкриття метрізаціонной теореми Нагата - Смирнова і теореми 8121 як першої ланки зазвичай бралася теорема Читтенден (формулируемая нижче в упр. G), яка зводить існування метрики для існування функції р з більш слабкими властивостями. Хоча характеристика метрізуемості, дана Чит-Тенденіт, не є чисто топологічної, вона була важливим досягненням у вивченні метрізуемості.

Застосуйте метрізаціонную теорему Нагата - Смирнова для вирішення упр.

застосуйте метрізаціонную теорему Нагата - Смирнова для виконання упр.

Наступні дві метрізаціонние теореми формулюються в термінах спеціальних баз.

Відповідно до відомої з загальної топології метрізаціонной теоремі Урисона регулярне простір зі лічильної базою метрізуемості. Оскільки будь-який метрізуемості простір задовольняє, очевидно, першої аксіомі счетності, це означає, що Клітинне простір тоді і тільки тоді метрізуемості, коли воно локально звичайно.

теореми 428 і 429 - це метрізаціонние теореми: вони встановлюють в термінах топологічних інваріантів (друга аксіома счетності і регулярність відповідно) необхідні і достатні умови метрізуемості для двох спеціальних класів топологічних просторів: компактів і просторів з другої аксіомою счетності.

Теорему 8121 можна розглядати як аналог метрізаціонной теореми Александрова - Урисона для рівномірних просторів, доведену цими авторами в[1923](Пор. 
Ці умови складають зміст загальних або спеціальних метрізаціонних теорем.

Ми укладаємо цей параграф найбільш ранній в хронологічному відношенні метрізаціонной теоремою.

Розгляньте псевдометрікі р -, &, певні в доказі метрізаціонной теореми Нагата-Смирнова, і зауважте, що сімейство /г, fe% 1 відображень ft,: X - X /pitk, визначених в упр. Застосовуючи теорему про диагональном відображенні, виведіть звідси, що простір X метрізуемості. 
Останній параграф є продовженням § 4.4; в ньому наводяться ще п'ять метрізаціонних теорем.

Зауваження 213. Рахункова база очевидно є /VS-базою, тому теорема 215 містить в собі метрізаціонную теорему Урисона як окремий випадок.

Покажемо, що W, Wi, - сильне подрібнення простору X, ніж, в силу метрізаціонной теореми Мора, доказ буде завершено. Нехай х - довільна точка простору X і U - будь-яка її околиця. 
Зауважимо, що в останньому доказі замість метрізаціонного критерію Бінга можна було б застосувати лему 547 теорему Майкла - нагами і метрізаціонную теорему Нага-ти - Смирнова.

З теореми I легко випливає факт, вже відзначений на початку § 1 саме, що кожне нульмерние метрізуемості простір зі лічильної базою (отже, в силу відомої метрізаціонной теореми кожне регулярне нульмерние топологічний простір з лічильної базою) може бути взаємно однозначно і взаємно безперервно відображено на підмножина безлічі ірраціональних чисел.

Виявляється, крім того, що простір /7 володіє локальної лічильної базою до кожній своїй точці і тим не менш не є метрізуемості, бо тоді воно повинно було б бути спадково сепарабельпим. Далі, в силу першої метрізаціонной теореми укладаємо, що Н не володіє лічильної базою.

Виконання першої аксіоми счетності і нормальність простору є необхідними умовами для метрізуемості. Теореми, в яких даються достатні умови метрізуемості, звуться метрізаціонних теорем.

Нехай X - бікомпакт п володіє лічильної базою. Оскільки всякий бікомпакт нормальний, то метрізуемості простору X безпосередньо випливає з першої метрізаціонной теореми Урисона.

Спочатку розглянемо окремий випадок, коли саме X локально бікомпактних, хаусдорфово і володіє лічильної базою. В силу слідства 2 теореми 4.7 простір X регулярно. Оскільки X володіє лічильної базою, то згідно з першою метрізаціонной теоремі Урисона простір X метрізуемості.

Виникає питання, чи існує внутрішня характеристика метрізуемості просторів. Як ми побачимо надалі, відповідь на це питання позитивний. Теореми, що дають необхідні і достатні внутрішні умови метрізуемості топологічних просторів, сформульовані в термінах топологічних інваріантів, називаються метрізаціоннимі теоремами.

Розглянемо тепер будь-який Ггпространство X з регулярною базою &. Легко перевірити, що безлічі U і V, які фігурують у визначенні регулярної бази, задовольняють включенню V з U. Отже, простір X регулярно. Для завершення докази досить застосувати лему 545 і метрізаціонную теорему Нагата - Смирнова.

У цій роботі проблема метризації топологічних просторів була вирішена вперше. Штучність всього побудови побічно підтверджується тим, що з даного загального умови метрізуемості топологічного простору ніяк не випливають класичні урисоновскіе умови для метрізуемості, з одного боку, компактних просторів, а з іншого, - просторів з лічильної базою. Але у всіх цих метрізаціонних теоремах даються настільки ж громіздкі і настільки ж штучні критерії, так що за двадцять сім років, що минули після першого рішення метрізаціонной проблеми, вона так і не отримала будь-якого суттєво нового, більш задовільного рішення. Тому виникло здавалося цілком обгрунтованим думку, що проблема ця і не має природного і простого рішення.

Я зберіг також стиль викладу, пам'ятаючи весь час про те, що справа стосується твору, одного з авторів якого вже немає в живих. Разом з тим весь текст першого видання піддався досить суттєвій переробці в деталях: у докази багатьох теорем внесені спрощення та інші удосконалення. Я думаю, що застарілих міркувань читач тут знайде трохи, не дивлячись на те, що з часу написання роботи пройшло понад двадцять п'ять років. Зокрема, переробці піддалося виклад метрізаціонной теореми для локально компактних просторів (гл. Крім того, усюди викладу додана дещо більша стислість, викликана тим, що багато речей, що сприймаються зараз як очевидні, не здавалися такими чверть століття тому. Однак елементарний характер викладу і незалежність його від інших творів топологічної літератури повністю збережені.

Відомо багато інших метрізаціонних теорем. Деякі з них формулюються нижче у вправах. Є також багато способів виводити їх одну з одною. Ясно, що доказ теореми, яка встановлюється першої, має містити побудова метрики. в цій книзі ми почали з теореми Нагата - Смирнова. Можна було б почати з слідства 5410 (ескіз побудови метрики для цього випадку дано в упр. до відкриття метрізаціонной теореми Нагата - Смирнова і теореми 8121 як першої ланки зазвичай бралася теорема Читтенден (формулируемая нижче в упр. G), яка зводить існування метрики для існування функції р з більш слабкими властивостями. Хоча характеристика метрізуемості, дана Чит-Тенденіт, не є чисто топологічної, вона була важливим досягненням у вивченні метрізуемості.