А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Математична теорія - ймовірність
Математична теорія ймовірностей набуває практичну цінність і наочний сенс в зв'язку з такими дійсними або мислимими дослідами і явищами, як, наприклад, одноразове кидання монети, кидання монети 100 раз, кидання трьох кісток, здача колоди карт, зіставлення двох колод карт, гра в рулетку, спостереження тривалості життя радіоактивного атома або людини, вибір деякої випадкової групи людей і підрахунок серед них числа шульг, схрещування двох сортів рослин і спостереження фенотипів нащадків, визначення числа зайнятих ліній на телефонній станції або числа телефонних викликів, випадкові шуми в електричних системах, вибірковий контроль якості промислової продукції, частота нещасних випадків, стать новонародженого, число подвійних зірок на деякому ділянці неба, положення частинки при дифузії. Поки опис всіх цих явищ досить невизначено, і, щоб надати теорії точний сенс, ми повинні домовитися про те, що ми розуміємо під можливими наслідками даного досвіду або спостереження.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, що не 1шеют відносини до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато Інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Відповідно до математичної теорією ймовірності процес проведення програми інвестування по всій сукупності є складовим подією, в якому альтернативні періоди кредитування є елементарними подіями.
Популяційна генетика запозичила у математичної теорії ймовірностей два символи, р і q, для вираження частоти, з якою два аллеля, домінантний і рецесивний, зустрічаються в генофонді даної популяції.
У статистичній фізиці використовується апарат математичної теорії ймовірностей до багаторазово повторюється фізичним станам або явищ. Типовим прикладом є розглянутий в тексті (див. Стор. Вважаючи, що ймовірності розпаду для кожного ядра в окремо рівні, можна прийняти число зруйнованих ядер за час (І, пропорційним (І і числу наявних ядер N. Зауважимо, що отримані і для інших явищ експоненціальні закони (див. стор. Зважаючи на це визначення поняття ймовірність події має в статистичній фізиці важливе значення.
В статистичній фізиці використовується апарат математичної теорії ймовірностей до багаторазово повторюється фізичним станам або явищ. Типовим прикладом є розглянутий раніше закон розпаду радіоактивних ядер. Вважаючи, що ймовірності розпаду для деяких ядер рівні, можна прийняти число зруйнованих ядер за час а /, пропорційним з № та кількістю наявних ядер N. Зауважимо, що отримані і для інших явищ експоненціальні закони також мають імовірнісний сенс.
Інструментом для проведення необхідних обчислень є математична теорія ймовірностей. Якщо подія відбувається при будь-яких умовах, його ймовірність дорівнює одиниці. Якщо ж в результаті проведення експерименту або спостереження встановлено, що деяка подія відбувається в п випадках з N, то йому приписується ймовірність р n /N. Сума ймовірностей всіх подій, які можуть відбутися в результаті деякого експерименту, повинна дорівнювати одиниці. Перерахування всіх можливих подій з відповідними їм ймовірностями називається розподілом ймовірностей в даному експерименті.
У прекрасному для свого часу підручнику Підстави математичної теорії ймовірностей (1846) В.Я. Буняковського (1804 - 1889) є досить великий розділ, присвячений геометричній ймовірності. У нього включена завдання Бюффона про киданні ігль: і приватний сл чай гри франк-Карро, коли площина розбита на трикутник.
У доповіді не тільки розглядалися загальні питання застосовності математичної теорії ймовірностей до явищ реального світу, які мають випадковий характер, і показано, яким чином теорія алгоритмів і рекурсивних функцій дозволяє надати точний математичний сенс порівнянні складного і випадкового, але і сформульована програма подальших досліджень.
Очевидно, тут запропонований зовсім інший спосіб інтерпретації математичної теорії ймовірностей. У нашій інтерпретації поняття ймовірності асоціюється не з відносними частотами появи події, а з певним спостережуваним поведінкою людини при прийнятті рішень.
Однак для початківців як раз добре, якщо математичну теорію ймовірностей і реальний світ ясно розрізняють.
Щоб зробити подібні розрахунки, необхідно було знати основи математичної теорії ймовірності. Резерфорд був далеко не блискучим математиком і раніше завжди прагнув вибирати теми, які не потребують серйозних математичних викладок.
Таким чином, хоча є дві істотно різні інтерпретації математичної теорії ймовірностей, проте ваги, або ступеня впевненості, висловлювані розумними людьми, будуть, мабуть, близькі до відносним частотам.
Як же здійснюється перехід від дискретного до безперервного нагоди в побудові строгої математичної теорії ймовірностей. Автоматичне перенесення всієї схеми побудови дискретного імовірнісного простору (див. § 4.1) на безперервний випадок неможливий.
Нарешті, аналітичне подання щільності розподілу промислових параметрів дозволяє використовувати важливі уявлення математичної теорії ймовірності для того, щоб краще характеризувати ними пласти.
У цій главі ми розглянемо деякі питання, що виникають при застосуванні загальних принципів до математичної теорії ймовірностей. Спочатку ми розглянемо питання про перевірку узгодженості теорії з даними досвіду, а потім дамо короткий огляд програм теорії для цілей отримання статистичних висновків.
Статистичний метод полягає у вивченні свойсп макроскопічних систем на основі аналізу, з допомогу методів математичної теорії ймовірностей, закономірний ностей теплового руху величезного числа мікрочастинок утворюють ці системи.
Розрахунок коли-титру для води артезіанських свердловин і водопроводу м Москви. Облік результатів аналізу проводиться відповідно до таблиць розрахунку колі-титру та колі-індексу, складеними на підставі математичної теорії ймовірності.
Таким чином, ця книга допоможе аудиторам грамотно використовувати методи статистичного вибіркового спостереження, що спираються на математичну теорію ймовірності.
Теорія говорить, що чим більше разів ми кидаємо кубики, тим точніше виходить відповідь, що передбачається математичної теорією ймовірності.
Кількість гнізд в столі напівавтомата має забезпечувати високу ступінь ймовірності підбору парного валика за один оборот столу, що визначається методами математичної теорії ймовірностей.
У своїй передмові до нього Ю.В. Прохоров і А.Н. Ширяєв пишуть: Значення монографії О.М. Колмогорова визначається не тільки запропонованої в ній схемою (яка стала універсально прийнятої) логічного обґрунтування математичної теорії ймовірностей.
У даній роботі не розглядається нестабільна частина кінематичної помилки механізму, по-перше, тому, що це розгляд зводиться до вивчення імовірнісних процесів на основі відповідного розділу математичної теорії ймовірностей, а, по-друге і головним чином, з огляду на зазвичай незначну роль випадкових, нестабільних кінематичних помилок механізму в оцінці точності останнього у порівнянні з роллю функціональних стабільних кінематичних помилок.
Розподіл Стьюдента t із середнім значенням (J. і стандартним відхиленням а. Розподіл Стьюдента t являє собою вибіркове розподіл, запроваджене Госсетом, які мали почесну професію і працювали на пивоварному заводі в той час, коли він був студентом, готуючи себе до користувалася тоді сумнівною репутацією діяльності в галузі математичної теорії ймовірності.
Потім, майже через півстоліття, відбувається відомий обмін листами між Паскалем і Ферма[1], Де (в листі від Паскаля до Ферма від 29 липня 1654 г.) викладається рішення задачі де Мері і тим самим, як прийнято вважати за традицією, народжується математична теорія ймовірностей. Однак лише через 14 років Жан де Вітт застосовує імовірнісні розрахунки до обчислення значень довічної ренти, і тільки з цього моменту теорія ймовірностей як розділ математики залишає свою ігрову живильне середовище і починає самостійне існування. Якщо метою гравця в комбінаторної грі є виграш і оптимальними діями, стратегіями гравця вважаються ті, які йому цей виграш забезпечують, то в умовах азартної гри ніяке мистецтво гравця (що не виходить за рамки правил гри) не може гарантувати йому бажаний результат, залежить, крім усього іншого, ще й від випадку. Тому отримання гравцем будь-якої фіксованої суми не може, взагалі кажучи, розглядатися ним як та мета, для досягнення якої він вибирає ту чи іншу свою стратегію. Тут мета виявляється більш складною.
Термодинаміка вивчає властивості рівноважних фізичних систем, виходячи з трьох основних законів, які називаються началами термодинаміки, і не використовує явно уявлень про молекулярному будову речовини, статистична ж фізика при розгляді цих властивостей з самого початку спирається на молекулярні уявлення про будову фізичних систем, широко застосовуючи методи математичної теорії ймовірностей.
У той час як термодинаміка вивчає властивості рівноважних фізичних систем, виходячи з трьох основних законів, які називаються началами термодинаміки, і не використовує явно уявлень про молекулярному будову речовини, статистична фізика при розгляді цих властивостей з самого початку спирається на молекулярні уявлення про будову фізичних систем, широко застосовуючи методи математичної теорії ймовірностей.
Будь-яка аксіоматична (абстрактна) теорія допускає, як відомо нескінченне число конкретних інтерпретацій. Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей науки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Робота з запасом проти технічних умов у разі дрейфу параметрів знижує ймовірність виходу приладу з ладу. В рівній мірі методи математичної теорії ймовірності дозволяють орієнтуватися в ймовірності відмови; але, звичайно, мають рацію автори доповіді фірми Боїнг в тому, що дуже багато хто займається математичними маніпуляціями з даними, прагнучи отримати точне значення інтенсивності відмов. Але ж, наприклад, страхування життя майже нічого не дає для збільшення довговічності людини, тоді як лікарі і вчені, які займаються дослідженнями раку, приносять дуже велику користь. Щоб збільшити довговічність напівпровідникових приладів, ми повинні вивчити і зрозуміти кожну відмову і потім розробити методи зниження Така програма вимагає дуже великих коштів.
Робота з запасом проти технічних умов у разі дрейфу параметрів знижує ймовірність виходу приладу з ладу. В рівній мірі методи математичної теорії ймовірності дозволяють орієнтуватися в ймовірності відмови; але, звичайно, мають рацію автори доповіді фірми Боїнг в тому, що дуже багато хто займається математичними маніпуляціями з даними, прагнучи отримати точне значення інтенсивності відмов.
Відмови розглядають як випадкові події. Відповідно для аналізу надійності використовують методи математичної теорії ймовірностей.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, що не 1шеют відносини до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато Інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Аудитор використовує упереджену вибірку (іноді звану традиційної), визначає розмір вибірки, багато в чому покладаючись на власну інтуїцію. Статистичне вибіркове дослідження, спираючись на математичну теорію ймовірності, надає аудитору чітку систему вимірювань розміру вибірки і якісну оцінку результатів її обстеження. Роль інтуїції, якою керується аудитор при винесенні висновку про всієї сукупності, з якої була зроблена вибірка, значна.
Цілком доречний філософський аналіз цього вміння, але такий аналіз знаходиться поза області математики, фізики або статистики. Філософське розгляд підстав теорії ймовірностей належить відокремлювати від математичної теорії ймовірностей і математичної статистики в такій же мірі, як розгляд наших інтуїтивних уявлень про простір відокремлюється тепер від геометрії.
Йому належить також ряд фундаментальних робіт з диференціальних рівнянь і з математичної теорії ймовірностей.
Тільки що намічена програма поки що не виконана, хоча у мене немає сумнівів в її здійсненності. Саме її виконання має більш досконалим чином, ніж побудови мізе-Совського типу, зв'язати математичну теорію ймовірностей з її застосуваннями.
Наступ протилежної події Е, якщо не практично, то, по крайней мере, теоретично можливо; природно тому піддати вивченню і ця подія. Численні приклади такого роду, разом з більш серйозними чисто математичними міркуваннями, виправдовують твердження, що математична теорія ймовірностей полягає у вивченні булевских о-алгебр множин.
Цілком традиційно уявлення, що випадковість полягає у відсутності закономірності. Але, мабуть, тільки зараз з'явилася можливість заснувати точні формулювання умов застосовності до реальних явищ результатів математичної теорії ймовірностей безпосередньо на цій простій ідеї.
Будь-яка аксіоматична (абстрактна) теорія допускає, як відомо нескінченне число конкретних інтерпретацій. Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей науки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Імовірнісний підхід природний в теорії передачі по каналах зв'язку масової інформації, що складається з великого числа не зв'язаних або слабо пов'язаних між собою повідомлень, підпорядкованих певним імовірнісним закономірностям. Практично можна вважати, наприклад, питання про ентропії потоку вітальних телеграм і пропускної здатності каналу зв'язку, що вимагається для їх своєчасної і неспотвореної передачі, коректно поставленим в його ймовірнісної трактуванні і при звичайній заміні ймовірностей емпіричними частотами. Якщо тут і залишається деяка незадоволеність, то вона пов'язана з відомою розпливчастістю наших концепцій, що відносяться до зв'язків між математичною теорією ймовірностей і реальними випадковими явищами взагалі.
Найважчим в реальних задачах є визначення числа сприятливих випадків М, яке нам заздалегідь не може бути точно відомо в силу самої природи масових випадкових явищ. Тому в сучасній аксіоматичної теорії ймовірностей, створеної А. Н. Колмогоровим, вводиться чисто формально поняття про ймовірність, як про деяке числі, що задовольняє певним трохи правилами (аксіом), і розробляються і досліджуються різні математичні операції над можливостями. Питання ж про те, як визначити це саме число - ймовірність деякого цікавить нас реального випадкового події - залишають прихованим, справедливо вважаючи, що це питання до власне математичної теорії ймовірностей відношення не має. Математики надходять точно таким же чином і в багатьох інших випадках.
Вони являють собою математичну концепцію якісних ймовірностей. Основний результат, отриманий в експериментах з дорослими і дітьми (від 5 років), полягає в наступному: в своїх порівняннях люди діють в повній відповідності з принципами математичної теорії якісних ймовірностей.
Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Хвильова теорія де Бройля і Шредінгера і принцип невизначеності Гейзенберга привели, багато в чому завдяки роботам Борна, до створення між 1926 і 1929 рр. нової квантової теорії ймовірностей. Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.
Такі маленькі частинки поводяться подібно гігантським молекулам. Якщо вони настільки великі, що їх можна бачити за допомогою мікроскопа, то, значить, вони містять 1010 або 1011 атомів; з точки зору масштабу атомів такі частинки дійсно можна вважати гігантськими. Чи знаходяться вони в рідини або в газі, ці частинки в будь-який момент часу піддаються ударам рою рухомих молекул. Молекули тиснуть на маленькі частинки, які зазнають ударів з одного боку трохи сильніше, ніж з іншого, і відповідно до цього пересуваються в ту або іншу сторону. Крім того, частинки обертаються, так як молекулярні удари закручують їх. Виходячи з основних законів вчення про тепло, а також з математичної теорії ймовірності, можна обчислити, яке повинно бути середнє переміщення таких частинок; вимірювання їх траєкторій підтверджують ці обчислення. Траєкторія броунівський частинки відрізняється від траєкторії одиничної молекули тільки за масштабом. Ця траєкторія аналогічна траєкторії повільно дифундує молекули, що переносить через кімнату запах аміаку або газу з кухонної плити.
Закони ці спочатку були відкриті, без будь-якої математики, з безпосередніх спостережень газу, що знаходиться в замкнутій судині і підігрівається або стискається поршнем. Творці кінетичної теорії прагнули показати, що механіка, що дозволяє настільки точно описувати рух величезної планети, дозволяє з не меншим успіхом прогнозувати траєкторії цілого рою дробин в замкнутому посудині. Відомо, що механіка дозволяє заздалегідь обчислити траєкторію снаряда, якщо відомі його початкове положення і початкова швидкість, але отримати таку інформацію про кожну молекулі газу неможливо. Однак оскільки ми не в змозі обчислити траєкторію кожної з мільярдів молекул газу в окремо (а якби і могли, то все одно не зуміли б витягти з хаосу чисел ніякого загального фізичного закону), то нам не залишається нічого іншого, як, скориставшись теорією ймовірностей , обчислити середні швидкості молекул або середній імпульс, який передається ними поршня, який закриває газ в циліндрі. Протягом останніх 30 років з'ясувалося, що, виключивши настільки невизначене поняття, як випадок, можна далеко просунутися в побудові строгої, математичної теорії ймовірностей. Більш того, можливо теорію ймовірностей на радість ортодоксальним детерміністів взагалі вдасться вигнати з класичної фізики, проте в новій квантової теорії її корені сягають значно глибше. У всякому разі вигнання теорії ймовірностей (так само як і пояснення, чому це неможливо) - справа математиків.
Вважалося, що методи статистичної фізики лише наближено описують макроскопічне поводження системи. Навіть Ейнштейну, хоча він зовсім не був консервативний, не подобалися ці радикальні зміни в підставах фізики. У листі до Макса Борна (який отримав Нобелівську премію за вірогідну інтерпретацію хвильової функції в квантовій механіці) він написав, що вірить в існування досконалих законів Природи: Бог не грає в кості. У своїй відповіді Борн пояснив, що замість вирішення великого числа диференціальних рівнянь в деяких випадках можна отримати прийнятні результати, кидаючи гральну кістку. З тих пір ідеї Борна стали домінуючими. Сучасний стан світу в повному обсязі визначає його майбутній стан. Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Хвильова теорія де Бройля і Шредінгера і принцип невизначеності Гейзенберга привели, багато в чому завдяки роботам Борна, до створення між 1926 і 1929 рр. нової квантової теорії ймовірностей. Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.
Вважалося, що методи статистичної фізики лише наближено описують макроскопічне поводження системи. Навіть Ейнштейну, хоча він зовсім не був консервативний, не подобалися ці радикальні зміни в підставах фізики. У листі до Макса Борна (який отримав Нобелівську премію за вірогідну інтерпретацію хвильової функції в квантовій механіці) він написав, що вірить в існування досконалих законів Природи: Бог не грає в кості. У своїй відповіді Борн пояснив, що замість вирішення великого числа диференціальних рівнянь в деяких випадках можна отримати прийнятні результати, кидаючи гральну кістку. З тих пір ідеї Борна стали домінуючими. Сучасний стан світу в повному обсязі визначає його майбутній стан. Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, що не 1шеют відносини до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато Інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Відповідно до математичної теорією ймовірності процес проведення програми інвестування по всій сукупності є складовим подією, в якому альтернативні періоди кредитування є елементарними подіями.
Популяційна генетика запозичила у математичної теорії ймовірностей два символи, р і q, для вираження частоти, з якою два аллеля, домінантний і рецесивний, зустрічаються в генофонді даної популяції.
У статистичній фізиці використовується апарат математичної теорії ймовірностей до багаторазово повторюється фізичним станам або явищ. Типовим прикладом є розглянутий в тексті (див. Стор. Вважаючи, що ймовірності розпаду для кожного ядра в окремо рівні, можна прийняти число зруйнованих ядер за час (І, пропорційним (І і числу наявних ядер N. Зауважимо, що отримані і для інших явищ експоненціальні закони (див. стор. Зважаючи на це визначення поняття ймовірність події має в статистичній фізиці важливе значення.
В статистичній фізиці використовується апарат математичної теорії ймовірностей до багаторазово повторюється фізичним станам або явищ. Типовим прикладом є розглянутий раніше закон розпаду радіоактивних ядер. Вважаючи, що ймовірності розпаду для деяких ядер рівні, можна прийняти число зруйнованих ядер за час а /, пропорційним з № та кількістю наявних ядер N. Зауважимо, що отримані і для інших явищ експоненціальні закони також мають імовірнісний сенс.
Інструментом для проведення необхідних обчислень є математична теорія ймовірностей. Якщо подія відбувається при будь-яких умовах, його ймовірність дорівнює одиниці. Якщо ж в результаті проведення експерименту або спостереження встановлено, що деяка подія відбувається в п випадках з N, то йому приписується ймовірність р n /N. Сума ймовірностей всіх подій, які можуть відбутися в результаті деякого експерименту, повинна дорівнювати одиниці. Перерахування всіх можливих подій з відповідними їм ймовірностями називається розподілом ймовірностей в даному експерименті.
У прекрасному для свого часу підручнику Підстави математичної теорії ймовірностей (1846) В.Я. Буняковського (1804 - 1889) є досить великий розділ, присвячений геометричній ймовірності. У нього включена завдання Бюффона про киданні ігль: і приватний сл чай гри франк-Карро, коли площина розбита на трикутник.
У доповіді не тільки розглядалися загальні питання застосовності математичної теорії ймовірностей до явищ реального світу, які мають випадковий характер, і показано, яким чином теорія алгоритмів і рекурсивних функцій дозволяє надати точний математичний сенс порівнянні складного і випадкового, але і сформульована програма подальших досліджень.
Очевидно, тут запропонований зовсім інший спосіб інтерпретації математичної теорії ймовірностей. У нашій інтерпретації поняття ймовірності асоціюється не з відносними частотами появи події, а з певним спостережуваним поведінкою людини при прийнятті рішень.
Однак для початківців як раз добре, якщо математичну теорію ймовірностей і реальний світ ясно розрізняють.
Щоб зробити подібні розрахунки, необхідно було знати основи математичної теорії ймовірності. Резерфорд був далеко не блискучим математиком і раніше завжди прагнув вибирати теми, які не потребують серйозних математичних викладок.
Таким чином, хоча є дві істотно різні інтерпретації математичної теорії ймовірностей, проте ваги, або ступеня впевненості, висловлювані розумними людьми, будуть, мабуть, близькі до відносним частотам.
Як же здійснюється перехід від дискретного до безперервного нагоди в побудові строгої математичної теорії ймовірностей. Автоматичне перенесення всієї схеми побудови дискретного імовірнісного простору (див. § 4.1) на безперервний випадок неможливий.
Нарешті, аналітичне подання щільності розподілу промислових параметрів дозволяє використовувати важливі уявлення математичної теорії ймовірності для того, щоб краще характеризувати ними пласти.
У цій главі ми розглянемо деякі питання, що виникають при застосуванні загальних принципів до математичної теорії ймовірностей. Спочатку ми розглянемо питання про перевірку узгодженості теорії з даними досвіду, а потім дамо короткий огляд програм теорії для цілей отримання статистичних висновків.
Статистичний метод полягає у вивченні свойсп макроскопічних систем на основі аналізу, з допомогу методів математичної теорії ймовірностей, закономірний ностей теплового руху величезного числа мікрочастинок утворюють ці системи.
Розрахунок коли-титру для води артезіанських свердловин і водопроводу м Москви. Облік результатів аналізу проводиться відповідно до таблиць розрахунку колі-титру та колі-індексу, складеними на підставі математичної теорії ймовірності.
Таким чином, ця книга допоможе аудиторам грамотно використовувати методи статистичного вибіркового спостереження, що спираються на математичну теорію ймовірності.
Теорія говорить, що чим більше разів ми кидаємо кубики, тим точніше виходить відповідь, що передбачається математичної теорією ймовірності.
Кількість гнізд в столі напівавтомата має забезпечувати високу ступінь ймовірності підбору парного валика за один оборот столу, що визначається методами математичної теорії ймовірностей.
У своїй передмові до нього Ю.В. Прохоров і А.Н. Ширяєв пишуть: Значення монографії О.М. Колмогорова визначається не тільки запропонованої в ній схемою (яка стала універсально прийнятої) логічного обґрунтування математичної теорії ймовірностей.
У даній роботі не розглядається нестабільна частина кінематичної помилки механізму, по-перше, тому, що це розгляд зводиться до вивчення імовірнісних процесів на основі відповідного розділу математичної теорії ймовірностей, а, по-друге і головним чином, з огляду на зазвичай незначну роль випадкових, нестабільних кінематичних помилок механізму в оцінці точності останнього у порівнянні з роллю функціональних стабільних кінематичних помилок.
Розподіл Стьюдента t із середнім значенням (J. і стандартним відхиленням а. Розподіл Стьюдента t являє собою вибіркове розподіл, запроваджене Госсетом, які мали почесну професію і працювали на пивоварному заводі в той час, коли він був студентом, готуючи себе до користувалася тоді сумнівною репутацією діяльності в галузі математичної теорії ймовірності.
Потім, майже через півстоліття, відбувається відомий обмін листами між Паскалем і Ферма[1], Де (в листі від Паскаля до Ферма від 29 липня 1654 г.) викладається рішення задачі де Мері і тим самим, як прийнято вважати за традицією, народжується математична теорія ймовірностей. Однак лише через 14 років Жан де Вітт застосовує імовірнісні розрахунки до обчислення значень довічної ренти, і тільки з цього моменту теорія ймовірностей як розділ математики залишає свою ігрову живильне середовище і починає самостійне існування. Якщо метою гравця в комбінаторної грі є виграш і оптимальними діями, стратегіями гравця вважаються ті, які йому цей виграш забезпечують, то в умовах азартної гри ніяке мистецтво гравця (що не виходить за рамки правил гри) не може гарантувати йому бажаний результат, залежить, крім усього іншого, ще й від випадку. Тому отримання гравцем будь-якої фіксованої суми не може, взагалі кажучи, розглядатися ним як та мета, для досягнення якої він вибирає ту чи іншу свою стратегію. Тут мета виявляється більш складною.
Термодинаміка вивчає властивості рівноважних фізичних систем, виходячи з трьох основних законів, які називаються началами термодинаміки, і не використовує явно уявлень про молекулярному будову речовини, статистична ж фізика при розгляді цих властивостей з самого початку спирається на молекулярні уявлення про будову фізичних систем, широко застосовуючи методи математичної теорії ймовірностей.
У той час як термодинаміка вивчає властивості рівноважних фізичних систем, виходячи з трьох основних законів, які називаються началами термодинаміки, і не використовує явно уявлень про молекулярному будову речовини, статистична фізика при розгляді цих властивостей з самого початку спирається на молекулярні уявлення про будову фізичних систем, широко застосовуючи методи математичної теорії ймовірностей.
Будь-яка аксіоматична (абстрактна) теорія допускає, як відомо нескінченне число конкретних інтерпретацій. Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей науки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Робота з запасом проти технічних умов у разі дрейфу параметрів знижує ймовірність виходу приладу з ладу. В рівній мірі методи математичної теорії ймовірності дозволяють орієнтуватися в ймовірності відмови; але, звичайно, мають рацію автори доповіді фірми Боїнг в тому, що дуже багато хто займається математичними маніпуляціями з даними, прагнучи отримати точне значення інтенсивності відмов. Але ж, наприклад, страхування життя майже нічого не дає для збільшення довговічності людини, тоді як лікарі і вчені, які займаються дослідженнями раку, приносять дуже велику користь. Щоб збільшити довговічність напівпровідникових приладів, ми повинні вивчити і зрозуміти кожну відмову і потім розробити методи зниження Така програма вимагає дуже великих коштів.
Робота з запасом проти технічних умов у разі дрейфу параметрів знижує ймовірність виходу приладу з ладу. В рівній мірі методи математичної теорії ймовірності дозволяють орієнтуватися в ймовірності відмови; але, звичайно, мають рацію автори доповіді фірми Боїнг в тому, що дуже багато хто займається математичними маніпуляціями з даними, прагнучи отримати точне значення інтенсивності відмов.
Відмови розглядають як випадкові події. Відповідно для аналізу надійності використовують методи математичної теорії ймовірностей.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, що не 1шеют відносини до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато Інших. Так, ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей павуки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Аудитор використовує упереджену вибірку (іноді звану традиційної), визначає розмір вибірки, багато в чому покладаючись на власну інтуїцію. Статистичне вибіркове дослідження, спираючись на математичну теорію ймовірності, надає аудитору чітку систему вимірювань розміру вибірки і якісну оцінку результатів її обстеження. Роль інтуїції, якою керується аудитор при винесенні висновку про всієї сукупності, з якої була зроблена вибірка, значна.
Цілком доречний філософський аналіз цього вміння, але такий аналіз знаходиться поза області математики, фізики або статистики. Філософське розгляд підстав теорії ймовірностей належить відокремлювати від математичної теорії ймовірностей і математичної статистики в такій же мірі, як розгляд наших інтуїтивних уявлень про простір відокремлюється тепер від геометрії.
Йому належить також ряд фундаментальних робіт з диференціальних рівнянь і з математичної теорії ймовірностей.
Тільки що намічена програма поки що не виконана, хоча у мене немає сумнівів в її здійсненності. Саме її виконання має більш досконалим чином, ніж побудови мізе-Совського типу, зв'язати математичну теорію ймовірностей з її застосуваннями.
Наступ протилежної події Е, якщо не практично, то, по крайней мере, теоретично можливо; природно тому піддати вивченню і ця подія. Численні приклади такого роду, разом з більш серйозними чисто математичними міркуваннями, виправдовують твердження, що математична теорія ймовірностей полягає у вивченні булевских о-алгебр множин.
Цілком традиційно уявлення, що випадковість полягає у відсутності закономірності. Але, мабуть, тільки зараз з'явилася можливість заснувати точні формулювання умов застосовності до реальних явищ результатів математичної теорії ймовірностей безпосередньо на цій простій ідеї.
Будь-яка аксіоматична (абстрактна) теорія допускає, як відомо нескінченне число конкретних інтерпретацій. Таким чином і математична теорія ймовірностей допускає поряд з тими інтерпретаціями, з яких вона виникла, також багато інших. Так ми приходимо до додатків математичної теорії ймовірностей до таких областей науки, які не мають відношення до понять випадку і ймовірності у власному розумінні цього слова.
Імовірнісний підхід природний в теорії передачі по каналах зв'язку масової інформації, що складається з великого числа не зв'язаних або слабо пов'язаних між собою повідомлень, підпорядкованих певним імовірнісним закономірностям. Практично можна вважати, наприклад, питання про ентропії потоку вітальних телеграм і пропускної здатності каналу зв'язку, що вимагається для їх своєчасної і неспотвореної передачі, коректно поставленим в його ймовірнісної трактуванні і при звичайній заміні ймовірностей емпіричними частотами. Якщо тут і залишається деяка незадоволеність, то вона пов'язана з відомою розпливчастістю наших концепцій, що відносяться до зв'язків між математичною теорією ймовірностей і реальними випадковими явищами взагалі.
Найважчим в реальних задачах є визначення числа сприятливих випадків М, яке нам заздалегідь не може бути точно відомо в силу самої природи масових випадкових явищ. Тому в сучасній аксіоматичної теорії ймовірностей, створеної А. Н. Колмогоровим, вводиться чисто формально поняття про ймовірність, як про деяке числі, що задовольняє певним трохи правилами (аксіом), і розробляються і досліджуються різні математичні операції над можливостями. Питання ж про те, як визначити це саме число - ймовірність деякого цікавить нас реального випадкового події - залишають прихованим, справедливо вважаючи, що це питання до власне математичної теорії ймовірностей відношення не має. Математики надходять точно таким же чином і в багатьох інших випадках.
Вони являють собою математичну концепцію якісних ймовірностей. Основний результат, отриманий в експериментах з дорослими і дітьми (від 5 років), полягає в наступному: в своїх порівняннях люди діють в повній відповідності з принципами математичної теорії якісних ймовірностей.
Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Хвильова теорія де Бройля і Шредінгера і принцип невизначеності Гейзенберга привели, багато в чому завдяки роботам Борна, до створення між 1926 і 1929 рр. нової квантової теорії ймовірностей. Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.
Такі маленькі частинки поводяться подібно гігантським молекулам. Якщо вони настільки великі, що їх можна бачити за допомогою мікроскопа, то, значить, вони містять 1010 або 1011 атомів; з точки зору масштабу атомів такі частинки дійсно можна вважати гігантськими. Чи знаходяться вони в рідини або в газі, ці частинки в будь-який момент часу піддаються ударам рою рухомих молекул. Молекули тиснуть на маленькі частинки, які зазнають ударів з одного боку трохи сильніше, ніж з іншого, і відповідно до цього пересуваються в ту або іншу сторону. Крім того, частинки обертаються, так як молекулярні удари закручують їх. Виходячи з основних законів вчення про тепло, а також з математичної теорії ймовірності, можна обчислити, яке повинно бути середнє переміщення таких частинок; вимірювання їх траєкторій підтверджують ці обчислення. Траєкторія броунівський частинки відрізняється від траєкторії одиничної молекули тільки за масштабом. Ця траєкторія аналогічна траєкторії повільно дифундує молекули, що переносить через кімнату запах аміаку або газу з кухонної плити.
Закони ці спочатку були відкриті, без будь-якої математики, з безпосередніх спостережень газу, що знаходиться в замкнутій судині і підігрівається або стискається поршнем. Творці кінетичної теорії прагнули показати, що механіка, що дозволяє настільки точно описувати рух величезної планети, дозволяє з не меншим успіхом прогнозувати траєкторії цілого рою дробин в замкнутому посудині. Відомо, що механіка дозволяє заздалегідь обчислити траєкторію снаряда, якщо відомі його початкове положення і початкова швидкість, але отримати таку інформацію про кожну молекулі газу неможливо. Однак оскільки ми не в змозі обчислити траєкторію кожної з мільярдів молекул газу в окремо (а якби і могли, то все одно не зуміли б витягти з хаосу чисел ніякого загального фізичного закону), то нам не залишається нічого іншого, як, скориставшись теорією ймовірностей , обчислити середні швидкості молекул або середній імпульс, який передається ними поршня, який закриває газ в циліндрі. Протягом останніх 30 років з'ясувалося, що, виключивши настільки невизначене поняття, як випадок, можна далеко просунутися в побудові строгої, математичної теорії ймовірностей. Більш того, можливо теорію ймовірностей на радість ортодоксальним детерміністів взагалі вдасться вигнати з класичної фізики, проте в новій квантової теорії її корені сягають значно глибше. У всякому разі вигнання теорії ймовірностей (так само як і пояснення, чому це неможливо) - справа математиків.
Вважалося, що методи статистичної фізики лише наближено описують макроскопічне поводження системи. Навіть Ейнштейну, хоча він зовсім не був консервативний, не подобалися ці радикальні зміни в підставах фізики. У листі до Макса Борна (який отримав Нобелівську премію за вірогідну інтерпретацію хвильової функції в квантовій механіці) він написав, що вірить в існування досконалих законів Природи: Бог не грає в кості. У своїй відповіді Борн пояснив, що замість вирішення великого числа диференціальних рівнянь в деяких випадках можна отримати прийнятні результати, кидаючи гральну кістку. З тих пір ідеї Борна стали домінуючими. Сучасний стан світу в повному обсязі визначає його майбутній стан. Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Хвильова теорія де Бройля і Шредінгера і принцип невизначеності Гейзенберга привели, багато в чому завдяки роботам Борна, до створення між 1926 і 1929 рр. нової квантової теорії ймовірностей. Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.
Вважалося, що методи статистичної фізики лише наближено описують макроскопічне поводження системи. Навіть Ейнштейну, хоча він зовсім не був консервативний, не подобалися ці радикальні зміни в підставах фізики. У листі до Макса Борна (який отримав Нобелівську премію за вірогідну інтерпретацію хвильової функції в квантовій механіці) він написав, що вірить в існування досконалих законів Природи: Бог не грає в кості. У своїй відповіді Борн пояснив, що замість вирішення великого числа диференціальних рівнянь в деяких випадках можна отримати прийнятні результати, кидаючи гральну кістку. З тих пір ідеї Борна стали домінуючими. Сучасний стан світу в повному обсязі визначає його майбутній стан. Парадоксально, але фізична концепція ймовірності не є простим застосуванням математичної ймовірності в фізиці. Мотиви і дух обох концепцій різні. Фейнману, якому в 1965 р присуджена Нобелівська премія з фізики, закони квантової фізики можна зрозуміти, спираючись на теорію ймовірностей, що виникає з теорії азартних ігор, якщо застосувати закони теорії ймовірностей до великої кількості частинок, проте ці закони не пояснюють поведінку окремого електрона або протона . Математична теорія ймовірностей Колмогорова була побудована також приблизно в цей час.