А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Будь-який елемент - безліч
Будь-який елемент безлічі 5 належить хоча б одному симплекс.
Якщо будь-який елемент множини А належить також безлічі В, то безліч А називається підмножиною множини В.
Якщо будь-який елемент множини В є і елементом множини А, то безліч В називається підмножиною (частиною) безлічі А. В цьому випадку говорять, що В міститься в А чи А містить В, і пишуть У з А чи А) В.
Якщо будь-який елемент безлічі А належить також безлічі В, то безліч А називається підмножиною множини В.
Якщо будь-який елемент безлічі S є також елементом множини Т, і навпаки, то кажуть, що ці два безлічі тотожні або рівні.
Він може почати з будь-якого елементу безлічі і отримати доступ як до наступного, так і до попереднього елемента в цій множині.
Він може почати з будь-якого елементу безлічі і звернутися до запису-господаря цієї множини, перетворюючи таким чином вторинний ключ бази даних в первинний.
Безліч SQ непусто, і будь-який елемент безлічі SQ слабо оптимальний по Парето в S. Більш того, безліч 5 містить принаймні один оптимум Парето.
JV: n 1 п, тобто будь-який елемент множини А не є максимальним.
Безліч А називається підмножиною множини 5 якщо будь-який елемент множини А належить множині В. Якщо A s В, то говорять також, що безліч В є надбезліччю безлічі А. Питання: чи є безліч А підмножиною. Розумне питання: чи є безліч А підмножиною даної множини.
Безліч X є підмножиною множини У, якщо будь-який елемент безлічі X належить і безлічі У.
Про Оскільки X - непорожня множина, обмежена зверху будь-яким елементом безлічі Y в силу (12), то по теоремі 1 існує sup У. Аналогічно з обмеженості непорожньої безлічі Y знизу будь-яким елементом безлічі X слід існування inf У.
Для підмножини У безлічі X позначимо через span У безліч довільних лінійних комбінацій будь-яких елементів безлічі У, а через span У - його замикання.
Найбільш поширеним способом розширення є такий, при якому значення критерію IA на будь-якому елементі безлічі DA дорівнює значенню критерію IB на відповідному елементі підмножини DB - Якщо DA і DB визначені на елементах одного і того ж простору, то DA і DB збігаються, і Vy E DA /л (у) - 1в (у - Для цього способу розширення справедливі такі властивості.
Зірочка і х використані в попередніх прикладах як символи, на місце яких можна підставити будь-який елемент множини. У прикладі 1 для позначення довільного елемента використана зірочка, оскільки х є буквою латинського алфавіту.
S є елемент з S і кожні, диз'юнкція, імплікація і еквіваленція двох будь-яких елементів безлічі S є елементом з S. Оскільки було домовлено, що два елементи безлічі S будуть вважатися невиразними, якщо вони дають однакові істінностние функції (це відношення eq для формул), і оскільки було показано, що кожна формула еквівалентна такої, в якій немає інших зв'язок, крім ні і і, ми можемо прийняти (і приймемо), що S є просто замикання безлічі 50 по відношенню до цих зв'язкам.
Кола Ейлера. | Різниця двох множин. Відповідність між множинами А до В називається взаємно однозначним, якщо воно є функцією, і прообраз будь-якого елементу безлічі В має потужність, рівну одиниці. Відповідність між газетами і передплатниками не є ні функцією, ні взаємно однозначним відповідністю. Відповідність між людьми і прізвищами є функція, але так як кілька людей можуть мати однакові прізвища, воно не є взаємно однозначним. Прикладом взаємно однозначної відповідності може служити відповідність між безліччю держав і безліччю столиць.
Безліч А включено в безліч В (символічна запис А з В (знак s називається знаком включення), якщо будь-який елемент множини А належить множині В.
Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти, будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого-елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини. Останній k - до елемент - елементного підмножини може бути обраний п - k - - l способом, так як до моменту вибору & -го елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
Групою називається безліч елементів, на якому задана бінарна операція (звана зазвичай множенням або складанням), що володіє наступними властивостями: а) асоціативністю, б) існуванням одиниці, в) існуванням зворотного для будь-якого елемента множини.
Якщо будь-який елемент безлічі X є елементом множе ства У, то безліч X називається підмножиною мш дружність У і позначається це так: X s У.
До комбінаторним завдань відноситься і задача про покриттях, загальна постановка якої зводиться до наступного. Sj такий, що будь-який елемент безлічі S належить хоча б одному з виділених підмножин. Завдання формалізується наступним чином.
Розглянемо далі довільні елементи аїр безлічі Се. Значить, визначено твір двох будь-яких елементів безлічі Се. Оскільки при цьому асоціативний закон має місце, наше доказ завершено.
Нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Це число з має наступну властивість: якщо а. Значить, число з лежить як би між множинами А і S, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
Нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Значить, число з лежить як би між множинами Л і В, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Це число з має наступну властивість: якщо а. Значить, число з лежить як би між множинами А до В, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
Про Оскільки X - непорожня множина, обмежена зверху будь-яким елементом безлічі Y в силу (12), то по теоремі 1 існує sup У. Аналогічно з обмеженості непорожньої безлічі Y знизу будь-яким елементом безлічі X слід існування inf У.
Більш загальна постановка питання може полягати в наступному. Sj, що володіє тим властивістю, що будь-який елемент безлічі S належить хоча б одному з виділених підмножин.
Тим самим висловлювання (60) буде доведено. В силу істинності висловлювання (59) підстановка будь-якого елементу безлічі М замість змінної х в форму 21 (я) перетворює її в справжнє висловлювання.
Нехай дано два безлічі А і В. Безліч В називається підмножиною множини А тоді і тільки тоді, коли будь-який елемент безлічі В належить множині А.
Для суми і твори твердження очевидно. Для ступеня: якщо ми пронумерували всі елементи цілком упорядкованих множин А і В, то будь-який елемент безлічі[В - А ]може бути заданий кінцевим списком натуральних чисел (носій і значення на елементах носія), а таких списків рахункове число.
Тоді на їх об'єднанні можна визначити частковий порядок так: усередині кожного безлічі елементи порівнюються як раніше, а будь-який елемент безлічі X по визначенню менше будь-якого елементу Y.
Якщо р-машина М почала працювати, то вона, нарешті, запише з імовірністю більшої 1/2 будь-який даний елемент з SM і з ймовірністю меншою 1/2 будь-який даний елемент, що не належить SM. Звідси ясно, як вжити машину /І, щоб отримати інформацію про SM - Існує певна ступінь впевненості в тому, що будь-який елемент безлічі SM нарешті з'явиться в якості вихідного символу і що будь-який елемент, який не входить в SM, чи не з'явиться в якості вихідного символу.
Покладемо а ат - Визначимо f, функцію з безліччю D в якості області визначення і підмножиною множини D в якості безлічі значень, в такий спосіб. У будь-якому випадку, якщо А - підмножина в D, що містить а й для будь-якого свого елемента Ь містить також і f (6), то будь-який елемент безлічі D належить А.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим.
число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п ледве ментів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися про кожним із способів вибору другого, і, отже, існує л (/г - 1) способів вибору перших двох елементів приспів: будову Л - елементного упорядкованого підмножини. Останній, fe - й елемент fe - еле-цементних підмножини може бути обраний n - k 1 способами, так як до моменту вибору k - то елемента k - 1 елементів вже вибрані і залишилося, отже, п - - (k - 1) елементів .
Число розміщень з п елементів по fe елементів дорівнює числу всіх fe - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з - кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові fe - елементного упорядкованого підмножини. Останній fe - й елемент fe - елементного підмножини може бути обраний п - k 1 способом, так як до моменту вибору fe-ro елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх А-елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і, отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини. Останній & - й елемент k - елементного підмножини може бути обраний п - & 1 способом, так як до моменту вибору & -го елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
У перших трьох десятиліттях поточного століття виникла теорія структур. Під структурою розуміють частково впорядкована множина, в якому визначені дві комутативність і асоціативні алгебри: додавання і множення, що задовольняють наступним умовам: 1) як сума, так і твір будь-якого елементу безлічі з самим собою рівні самому елементу; 2) якщо твір двох різних елементів дорівнює одному з них, то сума тих же елементів дорівнює іншому, і назад. Наприклад, безліч N всіх натуральних чисел, в якому взяття найбільшого загального дільника визначається як операція додавання (або множення), а взяття найменшого спільного кратного - як one -, рація множення (або додавання), є структурою.
Функція називається числовий, якщо елементи множин X і К - числа. Надалі під словом функція мається на увазі числова функція. Для позначення будь-якого елементу множин X і Y використовують, наприклад, літери х і у.
Розглянемо тепер систему, певну явно. Деякий н-абор з п чисел, будь-який елемент безлічі Xs, будемо називати надалі просто екземпляром. Елементи цих наборів складаються з усіх допустимих значень відповідних формальних об'єктів.
Таке безліч називають допустимим. Безліч всіх дійсних чисел іноді позначають R. Тоді вказівку на те, що х є будь-яким елементом безлічі R (будь-яким дійсним числом) випливає із запису х е R. Зустрічаються ситуації, коли допустиме безліч зовсім позбавлений значень х, для яких виконуються всі обмеження.
До мов, як і до будь-яких множин, можуть бути застосовані різні операції. Перш ніж розглядати операції над мовами, визначимо властивість замкнутості безлічі. Кажуть, що безліч замкнуто щодо деякої операції, якщо результат застосування її до будь-якого елементу безлічі або до будь-якої парі елементів міститься в цій множині.
Основна увага приділяється програмування евристичних прийомів пошуку нових технічних рішень. Основою таких прийомів є опис безлічі технічних рішень і оцінка цікавлять показників будь-якого технічного рішення з цього безлічі. Опис безлічі ТР може бути: 1) теоретико-множинне, яке описує ТР за допомогою кортежів, відповідностей, відносин та ін .; 2) алгоритмічне, що описує будь-який елемент безлічі ТР шляхом обчислень; 3) графічні, наочно описує ТР кресленнями, графіками та малюнками; 4) фізична, в якому елементи множини ТР представлені моделями.
З і 6 Л U В слід, що w належить хоча б одному доданку. Таким чином, будь-який елемент безлічі (Л U В) С є елементом множини AC U U ВС, тобто (Л U В) С AC (J ВС. Аналогічно можна показати, що будь-який елемент безлічі AC U ВС є елементом (Л UU В) С. Звідси слід доводимо рівність, так як безлічі його лівої і правої частин складаються з одних і тих же елементів.
Якщо будь-який елемент множини А належить також безлічі В, то безліч А називається підмножиною множини В.
Якщо будь-який елемент множини В є і елементом множини А, то безліч В називається підмножиною (частиною) безлічі А. В цьому випадку говорять, що В міститься в А чи А містить В, і пишуть У з А чи А) В.
Якщо будь-який елемент безлічі А належить також безлічі В, то безліч А називається підмножиною множини В.
Якщо будь-який елемент безлічі S є також елементом множини Т, і навпаки, то кажуть, що ці два безлічі тотожні або рівні.
Він може почати з будь-якого елементу безлічі і отримати доступ як до наступного, так і до попереднього елемента в цій множині.
Він може почати з будь-якого елементу безлічі і звернутися до запису-господаря цієї множини, перетворюючи таким чином вторинний ключ бази даних в первинний.
Безліч SQ непусто, і будь-який елемент безлічі SQ слабо оптимальний по Парето в S. Більш того, безліч 5 містить принаймні один оптимум Парето.
JV: n 1 п, тобто будь-який елемент множини А не є максимальним.
Безліч А називається підмножиною множини 5 якщо будь-який елемент множини А належить множині В. Якщо A s В, то говорять також, що безліч В є надбезліччю безлічі А. Питання: чи є безліч А підмножиною. Розумне питання: чи є безліч А підмножиною даної множини.
Безліч X є підмножиною множини У, якщо будь-який елемент безлічі X належить і безлічі У.
Про Оскільки X - непорожня множина, обмежена зверху будь-яким елементом безлічі Y в силу (12), то по теоремі 1 існує sup У. Аналогічно з обмеженості непорожньої безлічі Y знизу будь-яким елементом безлічі X слід існування inf У.
Для підмножини У безлічі X позначимо через span У безліч довільних лінійних комбінацій будь-яких елементів безлічі У, а через span У - його замикання.
Найбільш поширеним способом розширення є такий, при якому значення критерію IA на будь-якому елементі безлічі DA дорівнює значенню критерію IB на відповідному елементі підмножини DB - Якщо DA і DB визначені на елементах одного і того ж простору, то DA і DB збігаються, і Vy E DA /л (у) - 1в (у - Для цього способу розширення справедливі такі властивості.
Зірочка і х використані в попередніх прикладах як символи, на місце яких можна підставити будь-який елемент множини. У прикладі 1 для позначення довільного елемента використана зірочка, оскільки х є буквою латинського алфавіту.
S є елемент з S і кожні, диз'юнкція, імплікація і еквіваленція двох будь-яких елементів безлічі S є елементом з S. Оскільки було домовлено, що два елементи безлічі S будуть вважатися невиразними, якщо вони дають однакові істінностние функції (це відношення eq для формул), і оскільки було показано, що кожна формула еквівалентна такої, в якій немає інших зв'язок, крім ні і і, ми можемо прийняти (і приймемо), що S є просто замикання безлічі 50 по відношенню до цих зв'язкам.
Кола Ейлера. | Різниця двох множин. Відповідність між множинами А до В називається взаємно однозначним, якщо воно є функцією, і прообраз будь-якого елементу безлічі В має потужність, рівну одиниці. Відповідність між газетами і передплатниками не є ні функцією, ні взаємно однозначним відповідністю. Відповідність між людьми і прізвищами є функція, але так як кілька людей можуть мати однакові прізвища, воно не є взаємно однозначним. Прикладом взаємно однозначної відповідності може служити відповідність між безліччю держав і безліччю столиць.
Безліч А включено в безліч В (символічна запис А з В (знак s називається знаком включення), якщо будь-який елемент множини А належить множині В.
Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти, будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого-елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини. Останній k - до елемент - елементного підмножини може бути обраний п - k - - l способом, так як до моменту вибору & -го елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
Групою називається безліч елементів, на якому задана бінарна операція (звана зазвичай множенням або складанням), що володіє наступними властивостями: а) асоціативністю, б) існуванням одиниці, в) існуванням зворотного для будь-якого елемента множини.
Якщо будь-який елемент безлічі X є елементом множе ства У, то безліч X називається підмножиною мш дружність У і позначається це так: X s У.
До комбінаторним завдань відноситься і задача про покриттях, загальна постановка якої зводиться до наступного. Sj такий, що будь-який елемент безлічі S належить хоча б одному з виділених підмножин. Завдання формалізується наступним чином.
Розглянемо далі довільні елементи аїр безлічі Се. Значить, визначено твір двох будь-яких елементів безлічі Се. Оскільки при цьому асоціативний закон має місце, наше доказ завершено.
Нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Це число з має наступну властивість: якщо а. Значить, число з лежить як би між множинами А і S, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
Нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Значить, число з лежить як би між множинами Л і В, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
нехай безліч А розташоване зліва від безлічі В. Тоді безліч А обмежена зверху (будь-який елемент множини В є верхньою межею для А), а, значить, по аксіомі безперервності, для нього є найменша верхня межа с. Це число з має наступну властивість: якщо а. Значить, число з лежить як би між множинами А до В, розділяє ці безлічі. Тому воно називається розділяє числом.
Про Оскільки X - непорожня множина, обмежена зверху будь-яким елементом безлічі Y в силу (12), то по теоремі 1 існує sup У. Аналогічно з обмеженості непорожньої безлічі Y знизу будь-яким елементом безлічі X слід існування inf У.
Більш загальна постановка питання може полягати в наступному. Sj, що володіє тим властивістю, що будь-який елемент безлічі S належить хоча б одному з виділених підмножин.
Тим самим висловлювання (60) буде доведено. В силу істинності висловлювання (59) підстановка будь-якого елементу безлічі М замість змінної х в форму 21 (я) перетворює її в справжнє висловлювання.
Нехай дано два безлічі А і В. Безліч В називається підмножиною множини А тоді і тільки тоді, коли будь-який елемент безлічі В належить множині А.
Для суми і твори твердження очевидно. Для ступеня: якщо ми пронумерували всі елементи цілком упорядкованих множин А і В, то будь-який елемент безлічі[В - А ]може бути заданий кінцевим списком натуральних чисел (носій і значення на елементах носія), а таких списків рахункове число.
Тоді на їх об'єднанні можна визначити частковий порядок так: усередині кожного безлічі елементи порівнюються як раніше, а будь-який елемент безлічі X по визначенню менше будь-якого елементу Y.
Якщо р-машина М почала працювати, то вона, нарешті, запише з імовірністю більшої 1/2 будь-який даний елемент з SM і з ймовірністю меншою 1/2 будь-який даний елемент, що не належить SM. Звідси ясно, як вжити машину /І, щоб отримати інформацію про SM - Існує певна ступінь впевненості в тому, що будь-який елемент безлічі SM нарешті з'явиться в якості вихідного символу і що будь-який елемент, який не входить в SM, чи не з'явиться в якості вихідного символу.
Покладемо а ат - Визначимо f, функцію з безліччю D в якості області визначення і підмножиною множини D в якості безлічі значень, в такий спосіб. У будь-якому випадку, якщо А - підмножина в D, що містить а й для будь-якого свого елемента Ь містить також і f (6), то будь-який елемент безлічі D належить А.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим.
число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п ледве ментів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися про кожним із способів вибору другого, і, отже, існує л (/г - 1) способів вибору перших двох елементів приспів: будову Л - елементного упорядкованого підмножини. Останній, fe - й елемент fe - еле-цементних підмножини може бути обраний n - k 1 способами, так як до моменту вибору k - то елемента k - 1 елементів вже вибрані і залишилося, отже, п - - (k - 1) елементів .
Число розміщень з п елементів по fe елементів дорівнює числу всіх fe - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з - кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові fe - елементного упорядкованого підмножини. Останній fe - й елемент fe - елементного підмножини може бути обраний п - k 1 способом, так як до моменту вибору fe-ro елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх А-елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і, отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини.
Число розміщень з п елементів по k елементів дорівнює числу всіх - елементних упорядкованих підмножин безлічі, що містить п елементів. Перший елемент підмножини можна, очевидно, вибрати п способами, другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки п - - 1 способом, так як в якості другого елементу можна взяти будь-який елемент безлічі, крім вже обраного першим. Кожен із способів вибору першого елемента може об'єднуватися з кожним із способів вибору другого, і отже, існує п (п - 1) способів вибору перших двох елементів при побудові - елементного упорядкованого підмножини. Останній & - й елемент k - елементного підмножини може бути обраний п - & 1 способом, так як до моменту вибору & -го елемента залишилося п - (k - 1) елементів.
У перших трьох десятиліттях поточного століття виникла теорія структур. Під структурою розуміють частково впорядкована множина, в якому визначені дві комутативність і асоціативні алгебри: додавання і множення, що задовольняють наступним умовам: 1) як сума, так і твір будь-якого елементу безлічі з самим собою рівні самому елементу; 2) якщо твір двох різних елементів дорівнює одному з них, то сума тих же елементів дорівнює іншому, і назад. Наприклад, безліч N всіх натуральних чисел, в якому взяття найбільшого загального дільника визначається як операція додавання (або множення), а взяття найменшого спільного кратного - як one -, рація множення (або додавання), є структурою.
Функція називається числовий, якщо елементи множин X і К - числа. Надалі під словом функція мається на увазі числова функція. Для позначення будь-якого елементу множин X і Y використовують, наприклад, літери х і у.
Розглянемо тепер систему, певну явно. Деякий н-абор з п чисел, будь-який елемент безлічі Xs, будемо називати надалі просто екземпляром. Елементи цих наборів складаються з усіх допустимих значень відповідних формальних об'єктів.
Таке безліч називають допустимим. Безліч всіх дійсних чисел іноді позначають R. Тоді вказівку на те, що х є будь-яким елементом безлічі R (будь-яким дійсним числом) випливає із запису х е R. Зустрічаються ситуації, коли допустиме безліч зовсім позбавлений значень х, для яких виконуються всі обмеження.
До мов, як і до будь-яких множин, можуть бути застосовані різні операції. Перш ніж розглядати операції над мовами, визначимо властивість замкнутості безлічі. Кажуть, що безліч замкнуто щодо деякої операції, якщо результат застосування її до будь-якого елементу безлічі або до будь-якої парі елементів міститься в цій множині.
Основна увага приділяється програмування евристичних прийомів пошуку нових технічних рішень. Основою таких прийомів є опис безлічі технічних рішень і оцінка цікавлять показників будь-якого технічного рішення з цього безлічі. Опис безлічі ТР може бути: 1) теоретико-множинне, яке описує ТР за допомогою кортежів, відповідностей, відносин та ін .; 2) алгоритмічне, що описує будь-який елемент безлічі ТР шляхом обчислень; 3) графічні, наочно описує ТР кресленнями, графіками та малюнками; 4) фізична, в якому елементи множини ТР представлені моделями.
З і 6 Л U В слід, що w належить хоча б одному доданку. Таким чином, будь-який елемент безлічі (Л U В) С є елементом множини AC U U ВС, тобто (Л U В) С AC (J ВС. Аналогічно можна показати, що будь-який елемент безлічі AC U ВС є елементом (Л UU В) С. Звідси слід доводимо рівність, так як безлічі його лівої і правої частин складаються з одних і тих же елементів.