А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Будь-яка математична теорія

Будь-яка математична теорія повинна неодмінно поєднувати в собі міць методу, що обумовлює можливість застосувань до природничих наук, і красу, стрункість, настільки привабливу для розуму. Нам здається, що наше визначення математики задовольняє обом цим вимогам. Вся наука ґрунтується на закономірностях, наявних в природі; для практики важлива класифікація цих закономірностей.

Так само як будь-яка математична теорія, ця теорія оперує тільки з математичними моделями, а не з фізичними джерелами і фізичними каналами.

Як відомо, аксіоматична побудова будь-якої математичної теорії починається з перерахування невизначених, основ них понять (об'єктів і відносин) і аксіом, яким повинні задовольняти основні поняття.

На початку цього розділу була відзначена феноменологическая основа будь-якої математичної теорії. Звичайно, в основі створення теорії майже завжди лежить якийсь експеримент. Але цей експеримент, тим більше якщо він пошуковий (коли експериментатор рухається навпомацки), може бути вельми недосконалий. Інформація, яку з його допомогою може отримати дослідник, буде ще недостатньою для того, щоб математична модель, побудована на її основі, була адекватна реальності. Припустимо проте, що цей початковий досвід дозволив сформувати математичну модель.

Зупинимося на обмеженнях застосування цих теорій, виходячи з того, що будь-яка математична теорія виводиться з деяких певних припущень (аксіом), і, отже, будь-яка методика, яка спирається на цю теорію, може бути застосована тільки до тих завдань, які відповідають цим припущенням.

Думка про те, ніби педагогів-математиків, тобто людей, наділених даром доступно викладати будь-яку математичну теорію, але не ведуть самостійних досліджень, не можна вважати справжніми математиками, дуже суперечливе. Сумніви викликає не тільки досвід, але то обставина, що, бажаючи зробити математичну лекцію доступною слухачам (а кожна аудиторія має своїм рівнем підготовки), педагог, який користується навіть найновішими і найкращими підручниками, змушений одні докази замінити іншими, доповнити і переробити їх, а це, хоча і в невеликому обсязі , вимагає вже творчої роботи. Той же, хто позбавлений здібностей педагога-математика, приречений стати неводьніком своїх же власних конспектів і рукописів і не зможе задовольнити запитів слухачів.

Безлічі і функції на них - це два типи об'єктів, на яких в кінцевому рахунку будується будь-яка математична теорія.

Головним знаряддям математичної методології Клейна було інтуїтивне розуміння Verstehen взаємозв'язків, засноване на наочному розсуді. Тільки дослідник, духовно споріднений Ріманом, міг дати такий його портрет, який намалював Клейн; то, що сказано їм про Ріманом, є ключем до розуміння його власного підходу. вінець будівлі будь-математичної теорії, - каже Клейн, - полягає, звичайно, в переконливому доказі всіх її тверджень. Зрозуміло, математика сама вирішує, в яких випадках вона може обійтися без переконливих доказів.

Відповідно будується і система алгоритмів. Кожен алгоритм зводить розглянуту задачу до однієї або декількох завдань менш високого рівня, після чого поступається місцем своїм молодшим братам. Якщо цього не розуміти, то будь-яка математична теорія буде здаватися відірваною від життя, оскільки сама по собі вона не дає остаточного чисельного результату. Винятком є, мабуть, тільки елементарна арифметика.

Тепер ми повинні спробувати надати точний сенс тим кілька невизначеним виразами, які зустрічалися в наведеному вище затвердження, досліджувати закони керуючі подібної статистичної стійкістю, і показати, як ці закони можуть застосовуватися для вилучення висновків з емпіричного матеріалу. Для вирішення цього завдання ми повинні перш за все постаратися побудувати математичну теорію явищ, в яких можна знайти статистична стійкість. Попередньо корисно буде привести в наступному параграфі деякі загальні зауваження про природу і предмет будь-якої математичної теорії, що описує деяку групу емпіричних явищ.

Навряд чи хто-небудь з нас вважатиме задовільним такий спосіб передачі математичної істини, при якому вона постає у вигляді складної ланцюжка формальних висновків і обчислень, коли ми змушені, так би мовити, наосліп, навпомацки переходити від однієї ланки до іншого. Ми хотіли б заздалегідь бачити кінцеву мету і ведучий до неї шлях, хотіли б зрозуміти внутрішнє підставу, що визначає хід думок, ідею доказу, більш глибокі взаємозв'язки. З сучасним математичним доказом справа йде так само, як із сучасною машиною або експериментальної фізичної схемою: прості основні принципи лежать глибоко і ледь помітні під оболонкою технічних деталей. Фелікс Клейн, розглядаючи в своїх Лекціях про розвиток математики в XDC столітті творчість Рімана, каже: Незаперечні докази всіх тверджень, безсумнівно, є наріжним каменем будь-якої математичної теорії. Зрозуміло, математика сама судить, в яких випадках варто поступитися строгістю доказів. Одвічне секрет надзвичайної продуктивності генія - в його умінні знаходити нові постановки задач, інтуїтивно передбачати теореми, що призводять до нових значних результатів і до встановлення важливих залежностей. Не будь нових концепцій, нових, цілей, математика з властивою їй строгістю логічних висновків незабаром вичерпала б себе і прийшла в занепад, бо весь матеріал виявився б витраченим. У методиці самого Клейна головним було саме це інтуїтивне розуміння тих внутрішніх взаємозв'язків і відносин, підстави яких різні, але там, де було потрібно напружити всю міць хитрощів логіки, він певною мірою був змушений відступати.

Загальні положення теорії проілюстровані в книзі численними окремими випадками і прикладами. Внаслідок загального значення теорії і прикладів при їх викладі спеціальна радіофізична термінологія не вживається. Від читача, який цікавиться застосуванням викладеного матеріалу до проблеми передачі повідомлень по радіоканалах, потрібне вміння наповнити абстрактні поняття радіофізичним змістом. Правильна конкретизація понять потрібна для застосування будь-якої математичної теорії.

Так само як будь-яка математична теорія, ця теорія оперує тільки з математичними моделями, а не з фізичними джерелами і фізичними каналами. Однак теорії будуються не так головним чином тому, що фізична реальність дуже рідко є досить простий для того, щоб її можна було точно уявити за допомогою моделі, піддається математичній обробці. Ми почнемо з вивчення найпростіших класів математичних моделей джерел і каналів і далі використовуємо складаються уявлення про ці моделі і пов'язані з ним результати для вивчення все більш складних класів моделей. Природно, що вибір класів моделей для вивчення буде навіяний і обумовлений найважливішими рисами реальних джерел і каналів, але наше уявлення про те, які з цих рис є важливими, буде видозмінюватися на основі теоретичних результатів. Нарешті, після того як теорія буде зрозуміла, буде встановлено, що вона є корисною при дослідженні реальних систем зв'язку за наступними двох причин. І, по-друге, що більш важливо, взаємозв'язку, встановлені теорією, вказують на типи обмінних співвідношень, що виникають при побудові кодерів і декодерів для заданих систем. У той час як указу-ні вище зауваження можуть бути віднесені до майже будь-якої математичної теорії, вони особливо необхідні тут тому, що повинна бути розроблена досить розвинена теорія до того, як найбільш важливі для побудови систем зв'язку рекомендації стануть очевидними.