А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Білінійні форми

Білінійні форми, задані в нескінченновимірних просторах, називають зазвичай білінійну функціоналами.

Білінійні форми вивчаються в гл.

Білінійні форми утворюють векторний простір.

Білінійні форми, інваріантні щодо дійсної групи L, виявляються автоматично інваріантними щодо Lc. Співвідношення, що виражають тензорні властивості - (- матриць, також автоматично продовжуються на Lc. Звідси ясно, що вільна дія (1141) /с-інваріантної.

Невироджені кососімметріческіх Білінійні форми бувають тільки в четномерних просторах. Тому контактні форми бувають тільки на нечетномерних многовидах.

Вдруге-квантовані Білінійні форми виходять заміною в (28 1) - функцій - операторами. З'ясуємо, як перетворюються такі операторні форми при зарядовим сполученні.

Вдруге-квантовані Білінійні форми виходять заміною в (28.1) - функцій - операторами. З'ясуємо, як перетворюються такі операторні форми при зарядовим сполученні.

Розглянуті Білінійні форми мають такий вигляд.

Ермітовим Білінійні форми і еквівалентні скалярні твори.

Знайдемо Білінійні форми, відповідні деяким з лінійних перетворень розглянутих в попередніх параграфах цієї глави.

Дві Білінійні форми, еквівалентні третьої, еквівалентні один одному.

Ми отримали дві Білінійні форми, які повинні бути рівні тотожно.

У загальному випадку Білінійні форми (1) і (2), як і відпо - Е1ующіе їм тензори, не збігаються.

Надалі симетричні позитивно певні Білінійні форми будуть відігравати виняткову роль: саме, використовуючи такі форми, ми в загальному лінійному просторі отримаємо можливість рвесті поняття довжин векторів і кутів між векторами (гл. Надалі симетричні позитивно певні Білінійні форми гратимуть виняткову роль: саме, використовуючи такі форми, ми в загальному лінійному просторі отримаємо можливість евесті поняття довжин векторів і кутів між векторами (гл.

Бінарне перетворення залишає інваріантними деякі Білінійні форми.

Подібно розглянутим в § 21 лінійних форм Білінійні форми можна складати і множити на константи з К. Елементи цього векторного простору називаються також тензорами, а точніше, - коваріантними двовалентними тензорами.

Важливу роль у вивченні властивостей алгебр грають Білінійні форми.

У цій книзі розглядаються тільки симетричні ермітовим Білінійні форми.

Нехай, назад, в просторі До задані Білінійні форми А.

У разі речового простору аналогом ермітових форм служать симетричні Білінійні форми.

Детально досліджуються так звані квадратичні форми, що представляють собою Білінійні форми, певні для співпадаючих значень їх аргументів. Розглядаються також деякі додатки теорії білінійних і квадратичних форм.

У разі речового простору аналогом ермітових форм служать симетричні Білінійні форми.

Детально досліджуються так звані квадратичні форми, що представляють собою Білінійні форми, певні для співпадаючих значень їх аргументів. Розглядаються також деякі додатки теорії білінійних і квадратичних форм.

У разі речового простору аналогом ермітових форм служать симетричні Білінійні форми.

Детально досліджуються так звані квадратичні форми, що представляють собою Білінійні форми, певні для співпадаючих значень їх аргументів. Розглядаються також деякі додатки теорії білінійних і квадратичних форм.

Подивимося, як запишуться в координатної формі розглянуті вище Білінійні форми, і знайдемо їх матриці.

У разі речового простору аналогом ермітових форм служать симетричні Білінійні форми.

Детально досліджуються так звані квадратичні форми, що представляють собою Білінійні форми, певні для співпадаючих значень їх аргументів. Розглядаються також деякі додатки теорії білінійних і квадратичних форм.

У разі речового простору, аналогом ермітових форм служать симетричні Білінійні форми.

Так як в даній базисі як лінійні перетворення, так і Білінійні форми задаються матрицями, то можна було б спробувати в афінному просторі поставити один одному у відповідність лінійне перетворення і білінійну форму, що задаються однією і тією ж матрицею.

Теорема 6 разом з нерівністю Коші-Шварца допускає узагальнення з квадратичних на Білінійні форми.

Так як в даному базисі як лінійні перетворення, так і Білінійні форми задаються матрицями, то можна було б спробувати в афінному просторі поставити один одному у відповідність лінійне перетворення і білінійну форму, що задаються однією і тією ж матрицею.

Теорема інерції, доведена нами для квадратичних форм, безпосередньо переноситься і на симетричні Білінійні форми: саме, число позитивних і негативних коефіцієнтів канонічного вису (22) билинейной форми А (х, у) не залежить від вибору канонічного базису, Тому для симетричною білінійної форми мають сенс поняття позитивного і негативного індексів інерції.

Теорема інерції, доведена нами для квадратичних форм, безпосередньо переноситься і на симетричні Білінійні форми: саме, число позитивних і негативних коефіцієнтів канонічного ви. А (х, у) не залежить від вибору канонічного базису. Тому для симетричною білінійної форми мають сенс поняття позитивного і негативного індексів інерції.

При цьому перехід до нового базису викликає заміну відповідної билинейной форми еквівалентної їй формою, тому еквівалентні Білінійні форми можна розглядати як Білінійні форми, що відповідають одній і тій же билинейной функції в різних базисах.

Перевіримо, що отримані функції А (х у) і В (х у) - Білінійні форми.

Тут, як і в подальшому в цій роботі Фробениус, кажучи про форми (маючи на увазі Білінійні форми) має на увазі матриці їх коефіцієнтів.

Теорема 7.9. Нехай А (х, у) і В (х, у) - симетричні Білінійні форми, певні в матеріальному лінійному просторі V. Припустимо далі що для всіх х Е V, х ф 0 справедливо нерівність В (х, х) 0 ( га.

Щоб встановити аналогічну зв'язок з теорією білінійних форм для тензорів з Т і Т[, потрібно розглядати Білінійні форми від двох коваріантних векторних аргументів і Білінійні форми, у яких один з векторних аргументів є контраваріантним, інший - коваріант-ним. і ті та інші форми визначаються як функції з числовими значеннями, лінійні по кожному аргументу.

Перевіримо, що отримані функції А (х у) і В (х, у) - Білінійні форми.

з іншого боку, щоб отримати з білінійних форм все можливі квадратичні форми, досить мати одні лише симетричні Білінійні форми.

Відзначимо, що в будь-якому лінійному матеріальному просторі скалярний твір елементів можна ввести нескінченним числом способів, задаючи в деякому базисі різні симетричні Білінійні форми з позитивно певними матрицями.

При цьому перехід до нового базису викликає заміну відповідної билинейной форми еквівалентної їй формою, тому еквівалентні Білінійні форми можна розглядати як Білінійні форми, що відповідають одній і тій же билинейной функції в різних базисах.