А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Крива Коха

Крива Коха самоподобна: кожна частина є мініатюрною копією цілого.

Криві Коха демонструють нове і досить цікаве поєднання простоти і складності. На перший погляд вони виглядають набагато більш складними, ніж будь-яка стандартна евклидова крива. Однак теорія математичних алгоритмів Колмогорова-Чайтіна стверджує зворотне: крива Коха нітрохи не складніше окружності. Ця теорія оперує деяким набором літер або атомних операцій, причому довжина найкоротшого відомого алгоритму побудови шуканої функції приймається за об'єктивний верхня межа складності цієї функції.

Всі ці криві Коха ніде не перетинають самі себе, тому при визначенні D їх можна без якої б то не було неоднозначності ділити на непересічні частини. Однак якщо при побудові кривої Коха використовувати недбало підібрані генератори, існує відомий ризик отримати самокасаніе або самоперетинів, а то і самоперекритіе. якщо бажане значення D досить мало, то ретельним підбором генератора можна легко уникнути появи подвійних точок. Завдання різко ускладнюється при збільшенні D, проте поки значення D залишається менше 2 рішення існує.

У разі трійчастий кривих Коха це твердження доводиться найпростіше, якщо початок координат збігається з кінцевими точкою променя Коха.

Зауважимо, що криві Коха допускають тільки коефіцієнти подібності виду г b - k, де b - ціле число, для броунівського ж сліду згодиться будь-який р Вельми цінна властивість.

На малюнку зображено криві Коха 1 і 2-го порядку.

Побудова свежінкі всередину і назовні. На рис. 9.2 приведена крива Коха, рандомізованих подібним чином.

Я стверджую, що крива Коха є грубою, але математично строгої моделлю берегової лінії.

У розділі 6 ми розглядаємо плоскі криві Коха з розмірністю D 2 які не містять подвійних точок, завдяки чому їх можна назвати позбавленими самоперетинів або нерозгалуженими. А глава 7 присвячена кривим Пеано, неминучим межею для яких є всюди щільні подвійні точки. Кількість подвійних точок у розгалуженій самоподобной кривої прямує до нескінченності.

Отже, ми можемо охарактеризувати наші Підрядні підмножини кривих Коха і Пеано як фрактальні відображення фрактального підмножини моментів часу. Цілком очевидно, що таке підмножина є Канторова пил; назвемо його субординаторам.

У деяких випадках виникає необхідність в педантичною заміну терміну крива Коха чимось більш точним і відповідним. Наприклад, фігура, зображена на рис. 73 внизу, формально є коховим відображенням відрізка прямої і може бути названа дугою Коха. Як наслідок, гранична лінія на рис. 74 виявляється складеної з трьох дуг Коха.

У людини, що прочитала попередній розділ, може скластися враження, що крива Коха відноситься до числа найбільш очевидних і інтуїтивно зрозумілих геометричних фігур. Однак зовсім не так очевидні причини, що штовхнули фон Коха на її побудову. І вже зовсім загадковим видається ставлення до неї з боку математиків. Мало не одностайно вони проголосили криву К. За подробицями звернемося до роботи Хана Криза здорового глузду[190], Яка, до речі, ще неодноразово нам стане в нагоді. Хан пише: Характер[неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную ]абсолютно не вкладається в рамки того, що ми можемо зрозуміти інтуїтивно. В Насправді, лише після кількох повторень простий операції сегментування утворюється фігура стає настільки складною, що важко піддається безпосередньому сприйняттю, а вже те, до чого ця крива прагне в межі, і зовсім неможливо собі уявити. Тільки за допомогою розуму, застосовуючи логічний аналіз, ми можемо до кінця простежити еволюцію цього дивного об'єкта. Якби ми поклалися в даному випадку на здоровий глузд, то складене нами уявлення виявилося б в корені помилковим, оскільки здоровий глузд неминуче призвів би нас до висновку, що кривих, що не мають дотичній ні в одній своїй точці, просто не буває.

У розділах 6 і 7 закликавши на допомогу геоморфологию, ми ввели криві Коха і Пеано, проте об'єкти найбільш значних додатків теорії фракталів знаходяться в дещо інших областях. Неспішно підбираючись до основних течій в науці, ми розглянемо в цьому розділі (і в двох наступних) два питання виключної давнини, важливості і складності.

Загальні вершини, що розглядаються першими, породжують випадкові ланцюга, які є прямим узагальнення деяких кривих Коха або Пеано.

Свій внесок в подібність зовнішніх форм вносить той факт, що зображені на рис. 79 - 85 квадратичні криві Коха мають досить цікавою властивістю максимальності. Припустимо також, що всі ці генератори можна використовувати з будь-якими ініціаторами на нашій квадратної решітці. Визначимо як максимальні ті генератори, які характеризуються найбільшим значенням N і, як наслідок, D.

Дивлячись на цей малюнок, розумієш, що люди мають на увазі, коли говорять, що гранична крива Коха заповнює площину.

В рамках терміну, який Льюїс Річардсон застосував до турбулентності, а ми запозичили для опису берегових ліній і кривих Коха в главі 6 Канторова процедура є каскадом. Речовина, однорідно розподілений вздовж ініціатора[О, 1, подвергается воздействию центробежного вихря, который сметает его к крайним третям интервала.
Читателю, который продержался до этого места и /или /наслышан об активно сейчас обсуждаемых в научной литературе чертовых лестницах ( см. пояснение к рис. 125), возможно, будет сложно поверить в то, что, когда я начал работу над этой темой в 1962 г., все вокруг были единодушны в том, что канторова пыль по меньшей мере столь же чудовищна, как кривые Коха и Пеано.
Пеано имеет полное право называться прохождением дракона. Как и любая другая кривая Коха, инициатором которой служит отрезок[О, 1 ], Дракон самоподобен. Крім того, чітко видно, що дракон розділений на частини, що з'єднуються між собою тонкими переходами. Ці частини подібні один одному, але не цілому дракону.

Це незвичайне розподіл кривих по відносній складності їх побудови не слід сприймати серйозно. І все ж, при розумно підібраному алфавіті, будь-яка крива Коха не тільки має кінцеву складність, але виявляється простіше більшості евклідових кривих.

О-мірного безлічі S може бути або дорівнює нулю, або нескінченна, або позитивна і кінцева. Хаус-дорф обмежився тільки останнім, найпростішим, випадком і показав, що в цю категорію входять Канторова безлічі і криві Коха.

При побудові цих конструкцій використаний метод Коха, але з нерівними довжинами сторін гт генератора. До сих пір ми мали на увазі, що до всіх N частинам, на які ділиться наше ціле, застосовується один і той же коефіцієнт подібності р При нерівних коефіцієнтах г т крива Коха кілька втрачає у своїй невблаганною правильності.

На рис. 71 добре видно, що площа цієї кривої звертається в нуль. З іншого боку, з кожною сходинкою побудови її загальна довжина збільшується в 4/3 рази, отже, в межі довжина кривої Коха нескінченна. Більш того, крива Коха неперервна, але ніде не має дотичній - точно графік неперервної функції, яка не має похідної.

Невипадкові фрактальні моделі - дуже наближені, але конкретні. Для того, щоб твердження про фрактальної природі будь-якого природного феномена було обгрунтованим, його слід супроводити описом конкретного фрактального безлічі, яке могло б послужити моделлю цього явища в першому наближенні або хоча б дати нам можливість представити його перед думкою. Моя модель берегових ліній, заснована на кривих Коха, або модель галактичних скупчень Фурньє показують, що таке наближене невипадкове уявлення може виявитися вельми корисним. Я вважаю також, що рекурсивно побудовані контактні кластери (подібні до тих, що розглядаються в цьому розділі) можуть забезпечити нас корисними фрактальними моделями слабо вивченого природного феномена, який зазвичай моделюється кластерами Бернуллі.

Криві Коха демонструють нове і досить цікаве поєднання простоти і складності. На перший погляд вони виглядають набагато більш складними, ніж будь-яка стандартна евклидова крива. Однак теорія математичних алгоритмів Колмогорова-Чайтіна стверджує зворотне: крива Коха нітрохи не складніше окружності. Ця теорія оперує деяким набором літер або атомних операцій, причому довжина найкоротшого відомого алгоритму побудови шуканої функції приймається за об'єктивний верхня межа складності цієї функції.

Звідси виникають цікаві наслідки. Для псевдопластичних рідин, у яких n 1 можливі різні варіанти. Ймовірно, в рідини рухаються структури, що мають вид кривих Коха або серветок Серпінського. При 033 n 0.5 фрактальна розмірність 2 dF 3 що свідчить про наявність структур типу губок Серпінського. Цікаво відзначити, що для дилатантні рідини, а також при турбулентному плині n 1 і, отже, фрактальна розмірність dF 1 що свідчить про порушення суцільності ліній струму і виникненні структури типу Канторова безлічі, що в принципі узгоджується з явищами, які спостерігаються як при турбулентному плині (окремі вихори), так і при перебігу ділатантні середовищ.

Нескінченне вкладення цієї фігури в самому собі дає нам деяке уявлення про те, що Тен-Нісон одного разу назвав внутрішньої нескінченністю - єдиний, по суті, рід нескінченності, доступний для нашого сприйняття Природи. Завдяки такому подобою між цілим і частинами - аж до найдрібніших, зникаюче малих частин - крива Коха знаходить воістину чудові властивості.

Кілька слів про історію розвитку ідей фрактальної геометрії. Вона тісно пов'язана з іменами таких відомих математиків, як Вейерштрасс, Кантор, Пеано, Хаусдорф, Безікович, Кох, Серпінського і ін. Так Вейерштрасс вперше ввів в обіг безперервну, але ніде не диференційовану функцію. Серед них були канторовской безліч, крива Коха і інші екзотичні об'єкти, мало в той час відомі за межами чистої математики. Оригінальні ідеї Хаусдорфа згодом були істотно розвинені Безікович.

При використанні такого алфавіту побудова правильного багатокутника вимагає кінцевого числа штрихів, кожен з яких можна описати за допомогою кінцевого числа інструкцій, і, як наслідок, є завданням кінцевої складності. У побудові ж кола, навпаки, бере участь нескінченну кількість нескінченно коротких штрихів, і тому коло видається нам як крива нескінченної складності. Однак якщо проводити побудова кола рекурсивно, можна бачити, що необхідно лише кінцеве число інструкцій, і значить побудова кола також є завданням кінцевої складності. Почнемо, наприклад, з правильного багатокутника, число сторін якого дорівнює 2т (т 2), потім замінимо кожен штрих довжини 2в1п (тг /2т) двома штрихами довжини 2sin (7T /2m 1); далі процес повторюється знову і знову. Для побудови кривих Коха застосовується той же підхід, але з використанням більш простих операцій: довжину кожного штриха потрібно всього лише помножити на г, причому відносне розташування штрихів залишається незмінним протягом усього побудови. Звідси і випливає парадоксальне заяву: коли складність визначається довжиною кращого на даний момент алгоритму, вираженого засобами даного алфавіту, крива Коха виявляється простіше окружності.

При використанні такого алфавіту побудова правильного багатокутника вимагає кінцевого числа штрихів, кожен з яких можна описати за допомогою кінцевого числа інструкцій, і, як наслідок, є завданням кінцевої складності. У побудові ж кола, навпаки, бере участь нескінченну кількість нескінченно коротких штрихів, і тому коло видається нам як крива нескінченної складності. Однак якщо проводити побудова кола рекурсивно, можна бачити, що необхідно лише кінцеве число інструкцій, і значить побудова кола також є завданням кінцевої складності. Почнемо, наприклад, з правильного багатокутника, число сторін якого дорівнює 2т (т 2), потім замінимо кожен штрих довжини 2в1п (тг /2т) двома штрихами довжини 2sin (7T /2m 1); далі процес повторюється знову і знову. Для побудови кривих Коха застосовується той же підхід, але з використанням більш простих операцій: довжину кожного штриха потрібно всього лише помножити на г, причому відносне розташування штрихів залишається незмінним протягом усього побудови. Звідси і випливає парадоксальне заяву: коли складність визначається довжиною кращого на даний момент алгоритму, вираженого засобами даного алфавіту, крива Коха виявляється простіше окружності.