А   Б  В  Г  Д  Е  Є  Ж  З  І  Ї  Й  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Ш  Щ  Ю  Я 


Коефіцієнт - квадратична форма

Коефіцієнти квадратичної форми (20) мають следувщіе знаки: о.

Коефіцієнти квадратичної форми & ik утворюють тензор діелектричної постійної.

Коефіцієнти'ц квадратичної форми визначають її властивості.

Коефіцієнта квадратичної форми (20) мають слідуючи-щие знаки: (0 осг 0 тобто поверхня температури в азео-тропной точці має абсолютні. Всі коефіцієнти квадратичної форми лінійно залежать від параметра а. В обох випадках при монотонній зміні параметра а функція wa (TZ), а отже, і функція wa (X), ставши знакопостоянного, не може вже стати безумовно позитивною.

Властивість коефіцієнтів квадратичної форми Т, яке виражається нерівністю (7), дуже істотно і буде нами неодноразово використовуватися в подальшому.

При цьому коефіцієнти квадратичної форми (11) ст і cs задаються співвідношеннями (10), інші коефіцієнти Ci (i r, s) є невизначеними.

Як показують коефіцієнти квадратичних форм поверхні торсів (428), (434), (435), (437), розрахункові рівняння оболонок загального вигляду будуть при цьому спрощуватися так як одна з головних кривизн торсовой поверхні буде дорівнює нулю, один з коефіцієнтів Ламі є постійною величиною, отже, всі похідні від нього по будь-якому параметру будуть також дорівнюють нулю.

В цьому випадку коефіцієнти квадратичних форм (435) підтверджують, що координатна мережу а, р є криволінійній ортогональній системою координат в лініях кривизни (див. рис. 125), де - лінії збігаються з паралелями різьблений лінійчатої поверхні Монжа, а р-лінії - прямолінійні утворюючі торса.

Зокрема, якщо коефіцієнти квадратичної форми раціональні (речовинні), то її можна привести до канонічного виду за допомогою раціонального (речового) перетворення.

Якщо при безперервному зміну коефіцієнтів квадратичної форми залишається незмінним її ранг, то при цій зміні коефіцієнтів залишається незмінною і її сигнатура.

Квадратна таблиця, складена з коефіцієнтів а-у квадратичної форми (1), називається матрицею цієї квадратичної форми.

Як бачимо, вони виражаються через коефіцієнти квадратичних форм раціонально.

Ці корені яв -, ляють коефіцієнтами шуканої квадратичної форми.

Матриця А (ац) порядку п коефіцієнтів квадратичної форми є симетричної матрицею.

Позначимо через А матрицю, складену з коефіцієнтів ац квадратичної форми.

У наступному параграфі буде дано правило для визначення сигнатури за коефіцієнтами квадратичної форми.

Отже, сума коефіцієнтів при квадратах змінних і детермінант, складений з коефіцієнтів квадратичної форми, залишаються постійними при лінійних перетвореннях змінних; вони називаються інваріантами.

Ми бачимо, що елементи матриці А є в Водночас коефіцієнтами квадратичної форми Ф в нових координатах. Отже, визначення цих коефіцієнтів рівносильно визначенню матриці А.

В силу встановлених в § 35 нерівностей для g величини aik будуть коефіцієнтами певної позитивної квадратичної форми.

Критерій (1160) швидше вказує на зближення з тим похідним з-1) з (т для яких коефіцієнти Kim квадратичної форми прийняті найбільшими. Формули (413) - (415) показують, що ковариационная матриця двовимірного нормально розподіленого випадкового вектора та матриця З коефіцієнтів квадратичної форми у вираженні (410) щільності є взаємно зворотними матрицями.

Найпростішими умовами позитивності цієї квадратичної форми є: 1) позитивний знак всіх діагональних елементів матриці, складеної з коефіцієнтів квадратичної форми; 2) позитивний знак будь-якого з визначників мінору другого порядку.

Виходячи з формул (2.8), (2 5), неважко бачити, що для деформацій виду (216) - (218) коефіцієнти квадратичних форм Gap, Bap деформованої оболонки, віднесеної до Лагран-жевим координатами, будуть постійними, а всі символи Кри-утоффеля дорівнюють нулю.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів a k можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису. Саме, якщо позначимо літерою А.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів a ik можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів а /, можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів a - k можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису.

Формули (13) - (15) показують, що ковариационная матриця двовимірного нормально розподіленого випадкового вектора та матриця З коефіцієнтів квадратичної форми у вираженні (10) щільності є взаємно зворотними матрицями. У § 4 ми побачимо, що це справедливо і, для випадкового вектора будь-якої розмірності.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів a]k можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису.

Звертаючись до першої з формул (787), ми бачимо, що для визначення коефіцієнтів а - /, можна скористатися правилом перетворення коефіцієнтів квадратичної форми при переході до нового базису. Саме, якщо позначимо літерою А матрицю квадратичної форми А (х, х) в базисі е ц, то, відповідно до теореми 7.2 і співвідношенню Р Р 1 отримаємо наступну зв'язок між матрицями А і А форми А (х, х) в базисах вь.

Відшукання максимального області тяжіння, що доставляється функцією Ляпунова (11), можна зробити за формулою (19) шляхом об'єднання оптимальних еліпсоїдів стійкості, визначених для всіляких значень коефіцієнтів квадратичної форми с /(i s, r) і величин а ц, що утворюють групу k вільних параметрів.

Нагадаємо, що під час розгляду проблеми флуктуації (див. Главу IV, розділ 3) вже було встановлено [см. уравнение (4.28) ], Що похідні dAp /d pi є коефіцієнтами істотно негативною квадратичної форми.

Зміняться лише коефіцієнти квадратичної форми.

Аналогічно спрощується обчислення поверхневих інтегралів. В цьому випадку коефіцієнти квадратичної форми Е, F, G обчислюються шляхом перемноження відповідних стовпців матриці[/]; при перетворенні поверхневих інтегралів під знаком интегр.

Нехай на різноманітті М введена ріманова метрика. Позначимо через q коефіцієнти фундаментальної квадратичної форми.

Припустимо в цьому параграфі виключно для простоти викладу, що на різноманітті М введена рима-нова метрика. Позначимо через gih коефіцієнти допустимої квадратичної форми.

Встановимо деякі прості слідства сформульованих постулатів. Розглянемо спочатку конкретні умови, що накладаються на коефіцієнти квадратичної форми принципом інваріантності.

Члени другого ступеня в рівнянні (1) утворюють однорідний многочттен другого порядку. Ми бачимо, що його коефіцієнти - не змінюються при перенесенні початку координат, а при заміні базису перетворюються як коефіцієнти квадратичної форми.

Члени другого ступеня в рівнянні (1) утворюють однорідний многочлен другого порядку. Ми бачимо, що його коефіцієнти aif не змінюються при перенесенні початку координат, а при заміні базису перетворюються як коефіцієнти квадратичної форми.

Якщо определігель а Ф О, то критична (особлива) точка а називається невироджених. Безпосереднім підрахунком перевіряється, що в критичній точці а функції /при довільній заміні системи координат елементи матриці uij перетворюються як коефіцієнти квадратичної форми.

Члени другого ступеня в рівнянні (1) утворюють однорідний многочлен другого порядку. Ми бачимо, що його коефіцієнти а :, не змінюються при перенесенні початку координат, а при заміні базису перетворюються як коефіцієнти квадратичної форми.

Позначимо координати НЕ х, у, z, і, a xlt х2 х х або, коротше, х а коефіцієнти квадратичної форми - gih, Опустимо (по Ейнштейну) знак підсумовування, прийнявши раз назавжди, що виробляється підсумовування від 1 до 4 по кожному індексом, зустрічається двічі.

Змінюючи визначають функцію Ф параметри (нижче буде розглянуто тільки зміна W неможливо змінити тип критичної точки до тих пір, поки вона ізольована. Ця зміна може мати місце, якщо дві критичні точки зливаються. Один з головних коефіцієнтів квадратичної форми, що представляє функцію Ф в околиці кожної критичної точки, при такому злитті зникає. Перед злиттям, відповідні коефіцієнти в розглянутих критичних точках мають протилежні знаки. у разі загального положення другий коефіцієнт залишається ненульовим і знакоопределенним (позитивним або негативним) і має один і той же знак в обох точках. Це означає, що одна з зливаються точок є сідлом, а інша - вузлом. Після злиття точки можуть або зникнути, або помінятися місцями.

Принцип найменшого примусу допускає просте геометричне тлумачення. Він означає, що дійсні прискорення системи мінімально відхиляються від тих, які мали б місце при повній відсутності зв'язків. Метрика, яка оцінює відхилення, визначена коефіцієнтами квадратичної форми примусу по Гауса.

Пояснимо геометричний сенс сполученого базису. Якщо осями координат зробити головні осі еліпсоїдів рівня квадратичної функції, то один цикл спусків по цих координатах призводить точно в мінімум. Якщо перейти до деяких аффінним координатами, то функція залишиться квадратичної, але коефіцієнти квадратичної форми зміняться. Можна формально розглянути нашу квадратичную функцію зі зміненими коефіцієнтами як деяку нову квадратичную форму в декартових координатах і визначити основні осі її еліпсоїдів.

Підставами в це співвідношення вирази (3.7), (3.8) для V і UQ. В результаті отримаємо тотожність, справедливе при всіх x Rn, 0 /Т; ліва частина цієї тотожності є квадратична форма від х, а права частина дорівнює нулю. Тому вказане тотожність може бути виконано тоді і тільки тоді, коли всі коефіцієнти квадратичної форми дорівнюють нулю.

Так як потенційна енергія А являє собою квадратичну форму змінних Mai і Ми, то деформації Хе. Хи лінійно залежать від Mai і Ми. Коефіцієнти цих лінійних залежностей, що утворюють матрицю внутрішньої податливості В, збігаються з подвоєними коефіцієнтами квадратичної форми А. Геометричний сенс узагальнених деформацій, пов'язаних з моментами Mai і Ми, буде з'ясований нижче.