А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Коефіцієнт - Вігнер
Коефіцієнти Вигнера дозволяють записати все такі лінійні комбінації, які відповідають різним результатам складання кутових моментів.
Коефіцієнти Вигнера мають дуже простими властивостями симетрії, які легко запам'ятати.
Коефіцієнти Вигнера і Рака в цій формулі відрізняються від відповідних коефіцієнтів в другому вираженні для Q (/p) в (4548) перестановкою бенкет.
Коефіцієнти Вигнера, Клебша - Гордона, або коефіцієнти векторного додавання - це коефіцієнти розкладання стану з сумарним кутовим моментом по станам, які відповідають складним кутовим моментам.
Використовуючи коефіцієнти Вігнера (які будуть детальніше розглянуті в розд. Властивості симетрії коефіцієнтів Вігнера можуть бути систематично виведені з цих результатів. У загальному випадку коефіцієнт Вигнера неможливо звести до одного доданку, за винятком граничних або екстремальних випадків, коли одне з квантових чисел проектування дорівнює максимальному або мінімальному значенню.
Систематичне обговорення симетрії коефіцієнтів Вігнера відкладається до гл.
При підготовці таблиць коефіцієнтів Вігнера зазвичай приймають, що y j у 2 і мають у своєму розпорядженні коефіцієнти у вигляді рядків і стовпців, пронумерованих чісламіу і тг відповідно.
Існує другий аспект коефіцієнтів Вігнера, який так само важливий, як і властивість, виражена теоремою Вигнера - Еккарта. Це аспект зв'язування: коефіцієнти Вігнера С - М /здійснюють зв'язування в просторі тензорних операторів.
Будь-яке вираження для коефіцієнтів Вігнера, яке не має цієї почленного симетрії, буде перетворено в нову форму шляхом застосування однієї або декількох із 72 симетрії. Таким чином, при поверхневому розгляді здається, що існує багато різних виразів для цих коефіцієнтів. Як видно з літератури, отримане приватне вираз залежить від методу виведення.
Скориставшись властивостями симетрії коефіцієнта Вигнера (розд. Форма виразів для коефіцієнтів Вігнера залежить від методу виведення. Всі такі форми еквівалентні і (для всіх відомих в даний час виразів) можуть бути перетворені одна в іншу перетвореннями симетрії (або) шляхом перетворення, введеним Рака[29]і розглядаються в додатку А.
Клебша-Жор - дана або коефіцієнти Вігнера.
Таким чином, визначення коефіцієнтів Вігнера за допомогою бозони операторів і відображення Жордана є головним результатом, який ми хочемо встановити в цьому розділі. Явна обчислення виразу (582) дано нижче. Геометрична концепція обертань як поворотів, введених за допомогою бозона обчислення, привела нас прямо до істотного побудови в квантової теорії кутового моменту. На основі цього результату, мабуть, можна заявити, що метод бозони операторів дозволяє одноманітно і витончено уявити елементи цієї теорії.
Однак існує нова симетрія коефіцієнтів Вігнера, відповідна операції сполучення J. В-10), не визначено, тобто (D mm (A)]не визначене для бозонів. Співвідношення - (3251) визначає - коефіцієнти Вігнера, властивості яких коротко викладено в розд. Ці багато підходи до обчислення коефіцієнтів Вігнера вказують на широке коло інтерпретацій і точок зору, які можуть бути приписані математичного апарату теорії кутового моменту.
Цікаво зауважити, що властивості симетрії коефіцієнтів Вігнера С.
Незважаючи на появу в цій формулі коефіцієнтів Вігнера, це все ж таки класичний результат, так як коефіцієнти Вігнера зустрічаються тут в контексті загальної векторної алгебри. Аналогічно інші функції є інваріанти різних порядків (більш докладно це обговорюється в разд. Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Вігнера дляу2 /213Л, 2%, 3. | Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Рака для /1Л, 1 3А, 2. | Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Рака в формі схемного обчислення дляу2 - Vi, 1. | Кульові сферичні і сферичні функції для /012 3 4. | Оператори Вигнера для Д[О О ]. | Оператори Рака. | Редуковані матричні елементи. Найбільш великі таблиці алгебраїчних формул для коефіцієнтів Вігнера і коефіцієнтів Рака є в книгах Варшаловіча і ін. W2w2w22. і Ішідзу та ін.[22]відповідно.
Рака і які не включають в себе коефіцієнти Вігнера. Ці співвідношення будуть приведені нижче разом з коротким описом їх значення.
Тепер ми можемо стверджувати, що всі коефіцієнти Вігнера можуть бути отримані як асимптотический межа коефіцієнтів Рака.
Симетрія відносно 90 обумовлена тим, що коефіцієнт Вигнера, що вводиться цієї перпендикулярністю, звертається в нуль для непарних ч, тобто CQ) O, якщо v непарній. ця симетрія є спільною рисою, що відбиває те властивість, що проміжний стан має точну парність.
Обмінна симетрія (7566) слід тоді з симетрії коефіцієнтів Вігнера.
Операція JVm призводить до незалежного співвідношенню між коефіцієнтами Вигнера, коли вона застосовується до бозона скалярному добутку.
Зв'язок між бозона полиномами, матрицями обертань і коефіцієнтами Вигнера розвивається далі в додатках Б і В. У додатку Б ми отримуємо закон множення для бозони полиномов і доводимо лемму про факторизації, яка має велике практичне застосування. Властивості симетрії цих структур розглядаються в додатку В; зокрема, ми отримуємо єдиним чином всі72 симетрії коефіцієнта Вигнера.
Згідно (2417), X Lm є сумою добутків коефіцієнтів Вігнера.
Зауважимо, що в ці результати входить розширене визначення коефіцієнтів Вігнера.
С - коефіцієнти, звані в різних джерелах або коефіцієнтами Вигнера, або Зу - символами, або коефіцієнтами Клебша - Гордана.
У цьому розділі ми визначаємо оператори, зіставляються з коефіцієнтами Вигнера і Рака і с /- коефіцієнтами. Приклади таких просторів дані в книзі[102], Де наведені тут алгебраїчні зв'язки розвиваються в деталях в трьох розділах. Так як ці результати не входять до звичайну навчальну літературу, то корисно коротко викласти деякі з основних визначень і.
Це позначення має те гідність, що воно підкреслює зв'язок коефіцієнта Вигнера з дискретизованої матрицею обертання.
Це в точності та інтерпретація, яка в нашому випадку дає коефіцієнти Вігнера.
Унітарні оператори, f, J стоять зліва, індукують симетрії коефіцієнтів Вігнера справа.
Більш чудовий факт полягає в тому, що ці 8 симетрії коефіцієнтів Вігнера є в точності симетрії дискретизованої функцій DJm, (див. (589)) при дії перетворень з, тобто ці симетрії D-функцій поширюються в точності на дискретизованої /7-функції.
Ясно, що Зу - символ оптимізує властивості симетрії, притаманні коефіцієнтам Вигнера. Однак дійсне початок цих символів можна знайти в роботі Вигнера з побудови інваріантів щодо обертань (розглянутих у розд. Яка з симетрії коефіцієнтів Рака в цій межі залишається і стає симетрією коефіцієнтів Вігнера. Відповідь на це питання дається в додатку В.
Зауваження, а) Те, що самі коефіцієнти Рака, а не коефіцієнти Вігнера, можуть розглядатися як основні в теорії кутового моменту, не очевидно з їх визначення (3240) за допомогою коефіцієнтів Вігнера. Ця точка зору буде роз'яснена в розд. Той факт, що коефіцієнти Рака існують як незалежні об'єкти, призводить до того, що закон зв'язування (3239) для скорочених матричних елементів зводиться до основної теореми теорії кутового моменту. Приватні слідства співвідношення (3239), які розглядаються в іншій частині цього розділу, є основними інструментами в спектроскопії.
Ми відзначаємо ці формули явно, бо то ж явище виникає в розкладанні коефіцієнта Вигнера (або коефіцієнта Рака) в аналогічні форми, що містять множники з квадратним коренем і поліном.
Результат, виражений в (589), також є джерелом добре відомої асимптотической зв'язку між коефіцієнтами Вигнера і функціями уявлень.
Ми можемо зробити висновок, що коефіцієнти перетворення між базисами є не чим іншим, як коефіцієнтами Вигнера. Останнє випливає з те-гб, що, згідно з (574), це перетворення здійснює зв'язування кутових моментів J J (l) J (2), а дія всіх кутових моментів має стандартний вигляд.
Нагадаємо деякі методи, які можуть бути використані для обчислення цих коефіцієнтів (згодом названих коефіцієнтами Вигнера, а також відомих як коефіцієнти Клебша - Гордана і коефіцієнти векторного додавання): а) виконання побудови попереднього розділу; б) повторення рекурсивних співвідношень, яким задовольняють коефіцієнти Вігнера[16, 17, 28 - 30]; в) використання властивостей приватних реалізацій операторів кутового моменту і твори просторів[31 - 36](Див. Також розд. Цей негативний кутовий момент визначає важливу симетрію (відображення) коефіцієнтів зв'язування теорії кутового моменту (коефіцієнти Вігнера і Рака; см. Розд. Слетеровскіе методи є безпосередніми і концептуально простими (вони були введені в 1929 р , раніше ніж коефіцієнти Вігнера і тензорні оператори), але важкими для використання в загальному випадку. Рака усвідомив, що в слетеровскіх методах повинна існувати рекуррентная структура, оскільки, наприклад, метод старших ваг повинен бути в дійсності еквівалентним вирішення проблеми зв'язування N кутових моментів. але рішення останньої проблеми є геометричним і однаковим для всіх фізичних систем. Таким чином, в проблему могла б бути внесена певна систематика, яку можна протабулювати одного разу і назавжди. Саме завдяки цій ідеї Рака був розроблений і введений новий математичний апарат спектроскопії.
Незважаючи на появу в цій формулі коефіцієнтів Вігнера, це все ж таки класичний результат, так як коефіцієнти Вігнера зустрічаються тут в контексті загальної векторної алгебри. Аналогічно інші функції є інваріанти різних порядків (більш докладно це обговорюється в разд. Сам цей результат виходить прямо з визначення (3240) за допомогою коефіцієнта (3234) і співвідношень симетрії і ортогональності для коефіцієнтів Вігнера. Потім ми інтерпретуємо наші результати новим образом як тіньовий оператор[15 - 17], що виконує перетворення між полиномами Якобі і коефіцієнтами Вигнера. Висловлюючись більш ясно (на мові фізики), коефіцієнти Вігнера є дискретизованої формою матриць обертань.
потім ці два співвідношення перемножуємо і підсумовуємо по а, а потім по /, використовуючи співвідношення ортогональності для коефіцієнтів Вігнера.
Беручи матричні елементи наведених операторних співвідношень по відношенню до базисних станів нашого основного гильбертова простору отримуємо алгебраїчні співвідношення між коефіцієнтами Вигнера і Рака, які вже розглянуті в розд. Ці співвідношення справедливі без посилання на лежачу в основі фізику . Справді сутність теореми Вігнера - Еккарта полягає в факторизации фізичного тензорного оператора на дві частини: частина, що містить фізику і зіставляти з оператором (скороченими матричними елементами), який зазвичай необмежений, і частина (оператор Вигнера), яка включає симетрію обертань і яка обмежена.
Для підтримки цієї точки зору важливо уявити властивості коефіцієнтів Рака в формі яка звільняє їх від визначення за допомогою коефіцієнтів Вігнера. Ми починаємо виконання цієї програми в даному розділі.
Коефіцієнти Вигнера мають дуже простими властивостями симетрії, які легко запам'ятати.
Коефіцієнти Вигнера і Рака в цій формулі відрізняються від відповідних коефіцієнтів в другому вираженні для Q (/p) в (4548) перестановкою бенкет.
Коефіцієнти Вигнера, Клебша - Гордона, або коефіцієнти векторного додавання - це коефіцієнти розкладання стану з сумарним кутовим моментом по станам, які відповідають складним кутовим моментам.
Використовуючи коефіцієнти Вігнера (які будуть детальніше розглянуті в розд. Властивості симетрії коефіцієнтів Вігнера можуть бути систематично виведені з цих результатів. У загальному випадку коефіцієнт Вигнера неможливо звести до одного доданку, за винятком граничних або екстремальних випадків, коли одне з квантових чисел проектування дорівнює максимальному або мінімальному значенню.
Систематичне обговорення симетрії коефіцієнтів Вігнера відкладається до гл.
При підготовці таблиць коефіцієнтів Вігнера зазвичай приймають, що y j у 2 і мають у своєму розпорядженні коефіцієнти у вигляді рядків і стовпців, пронумерованих чісламіу і тг відповідно.
Існує другий аспект коефіцієнтів Вігнера, який так само важливий, як і властивість, виражена теоремою Вигнера - Еккарта. Це аспект зв'язування: коефіцієнти Вігнера С - М /здійснюють зв'язування в просторі тензорних операторів.
Будь-яке вираження для коефіцієнтів Вігнера, яке не має цієї почленного симетрії, буде перетворено в нову форму шляхом застосування однієї або декількох із 72 симетрії. Таким чином, при поверхневому розгляді здається, що існує багато різних виразів для цих коефіцієнтів. Як видно з літератури, отримане приватне вираз залежить від методу виведення.
Скориставшись властивостями симетрії коефіцієнта Вигнера (розд. Форма виразів для коефіцієнтів Вігнера залежить від методу виведення. Всі такі форми еквівалентні і (для всіх відомих в даний час виразів) можуть бути перетворені одна в іншу перетвореннями симетрії (або) шляхом перетворення, введеним Рака[29]і розглядаються в додатку А.
Клебша-Жор - дана або коефіцієнти Вігнера.
Таким чином, визначення коефіцієнтів Вігнера за допомогою бозони операторів і відображення Жордана є головним результатом, який ми хочемо встановити в цьому розділі. Явна обчислення виразу (582) дано нижче. Геометрична концепція обертань як поворотів, введених за допомогою бозона обчислення, привела нас прямо до істотного побудови в квантової теорії кутового моменту. На основі цього результату, мабуть, можна заявити, що метод бозони операторів дозволяє одноманітно і витончено уявити елементи цієї теорії.
Однак існує нова симетрія коефіцієнтів Вігнера, відповідна операції сполучення J. В-10), не визначено, тобто (D mm (A)]не визначене для бозонів. Співвідношення - (3251) визначає - коефіцієнти Вігнера, властивості яких коротко викладено в розд. Ці багато підходи до обчислення коефіцієнтів Вігнера вказують на широке коло інтерпретацій і точок зору, які можуть бути приписані математичного апарату теорії кутового моменту.
Цікаво зауважити, що властивості симетрії коефіцієнтів Вігнера С.
Незважаючи на появу в цій формулі коефіцієнтів Вігнера, це все ж таки класичний результат, так як коефіцієнти Вігнера зустрічаються тут в контексті загальної векторної алгебри. Аналогічно інші функції є інваріанти різних порядків (більш докладно це обговорюється в разд. Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Вігнера дляу2 /213Л, 2%, 3. | Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Рака для /1Л, 1 3А, 2. | Алгебраїчні таблиці коефіцієнтів Рака в формі схемного обчислення дляу2 - Vi, 1. | Кульові сферичні і сферичні функції для /012 3 4. | Оператори Вигнера для Д[О О ]. | Оператори Рака. | Редуковані матричні елементи. Найбільш великі таблиці алгебраїчних формул для коефіцієнтів Вігнера і коефіцієнтів Рака є в книгах Варшаловіча і ін. W2w2w22. і Ішідзу та ін.[22]відповідно.
Рака і які не включають в себе коефіцієнти Вігнера. Ці співвідношення будуть приведені нижче разом з коротким описом їх значення.
Тепер ми можемо стверджувати, що всі коефіцієнти Вігнера можуть бути отримані як асимптотический межа коефіцієнтів Рака.
Симетрія відносно 90 обумовлена тим, що коефіцієнт Вигнера, що вводиться цієї перпендикулярністю, звертається в нуль для непарних ч, тобто CQ) O, якщо v непарній. ця симетрія є спільною рисою, що відбиває те властивість, що проміжний стан має точну парність.
Обмінна симетрія (7566) слід тоді з симетрії коефіцієнтів Вігнера.
Операція JVm призводить до незалежного співвідношенню між коефіцієнтами Вигнера, коли вона застосовується до бозона скалярному добутку.
Зв'язок між бозона полиномами, матрицями обертань і коефіцієнтами Вигнера розвивається далі в додатках Б і В. У додатку Б ми отримуємо закон множення для бозони полиномов і доводимо лемму про факторизації, яка має велике практичне застосування. Властивості симетрії цих структур розглядаються в додатку В; зокрема, ми отримуємо єдиним чином всі72 симетрії коефіцієнта Вигнера.
Згідно (2417), X Lm є сумою добутків коефіцієнтів Вігнера.
Зауважимо, що в ці результати входить розширене визначення коефіцієнтів Вігнера.
С - коефіцієнти, звані в різних джерелах або коефіцієнтами Вигнера, або Зу - символами, або коефіцієнтами Клебша - Гордана.
У цьому розділі ми визначаємо оператори, зіставляються з коефіцієнтами Вигнера і Рака і с /- коефіцієнтами. Приклади таких просторів дані в книзі[102], Де наведені тут алгебраїчні зв'язки розвиваються в деталях в трьох розділах. Так як ці результати не входять до звичайну навчальну літературу, то корисно коротко викласти деякі з основних визначень і.
Це позначення має те гідність, що воно підкреслює зв'язок коефіцієнта Вигнера з дискретизованої матрицею обертання.
Це в точності та інтерпретація, яка в нашому випадку дає коефіцієнти Вігнера.
Унітарні оператори, f, J стоять зліва, індукують симетрії коефіцієнтів Вігнера справа.
Більш чудовий факт полягає в тому, що ці 8 симетрії коефіцієнтів Вігнера є в точності симетрії дискретизованої функцій DJm, (див. (589)) при дії перетворень з, тобто ці симетрії D-функцій поширюються в точності на дискретизованої /7-функції.
Ясно, що Зу - символ оптимізує властивості симетрії, притаманні коефіцієнтам Вигнера. Однак дійсне початок цих символів можна знайти в роботі Вигнера з побудови інваріантів щодо обертань (розглянутих у розд. Яка з симетрії коефіцієнтів Рака в цій межі залишається і стає симетрією коефіцієнтів Вігнера. Відповідь на це питання дається в додатку В.
Зауваження, а) Те, що самі коефіцієнти Рака, а не коефіцієнти Вігнера, можуть розглядатися як основні в теорії кутового моменту, не очевидно з їх визначення (3240) за допомогою коефіцієнтів Вігнера. Ця точка зору буде роз'яснена в розд. Той факт, що коефіцієнти Рака існують як незалежні об'єкти, призводить до того, що закон зв'язування (3239) для скорочених матричних елементів зводиться до основної теореми теорії кутового моменту. Приватні слідства співвідношення (3239), які розглядаються в іншій частині цього розділу, є основними інструментами в спектроскопії.
Ми відзначаємо ці формули явно, бо то ж явище виникає в розкладанні коефіцієнта Вигнера (або коефіцієнта Рака) в аналогічні форми, що містять множники з квадратним коренем і поліном.
Результат, виражений в (589), також є джерелом добре відомої асимптотической зв'язку між коефіцієнтами Вигнера і функціями уявлень.
Ми можемо зробити висновок, що коефіцієнти перетворення між базисами є не чим іншим, як коефіцієнтами Вигнера. Останнє випливає з те-гб, що, згідно з (574), це перетворення здійснює зв'язування кутових моментів J J (l) J (2), а дія всіх кутових моментів має стандартний вигляд.
Нагадаємо деякі методи, які можуть бути використані для обчислення цих коефіцієнтів (згодом названих коефіцієнтами Вигнера, а також відомих як коефіцієнти Клебша - Гордана і коефіцієнти векторного додавання): а) виконання побудови попереднього розділу; б) повторення рекурсивних співвідношень, яким задовольняють коефіцієнти Вігнера[16, 17, 28 - 30]; в) використання властивостей приватних реалізацій операторів кутового моменту і твори просторів[31 - 36](Див. Також розд. Цей негативний кутовий момент визначає важливу симетрію (відображення) коефіцієнтів зв'язування теорії кутового моменту (коефіцієнти Вігнера і Рака; см. Розд. Слетеровскіе методи є безпосередніми і концептуально простими (вони були введені в 1929 р , раніше ніж коефіцієнти Вігнера і тензорні оператори), але важкими для використання в загальному випадку. Рака усвідомив, що в слетеровскіх методах повинна існувати рекуррентная структура, оскільки, наприклад, метод старших ваг повинен бути в дійсності еквівалентним вирішення проблеми зв'язування N кутових моментів. але рішення останньої проблеми є геометричним і однаковим для всіх фізичних систем. Таким чином, в проблему могла б бути внесена певна систематика, яку можна протабулювати одного разу і назавжди. Саме завдяки цій ідеї Рака був розроблений і введений новий математичний апарат спектроскопії.
Незважаючи на появу в цій формулі коефіцієнтів Вігнера, це все ж таки класичний результат, так як коефіцієнти Вігнера зустрічаються тут в контексті загальної векторної алгебри. Аналогічно інші функції є інваріанти різних порядків (більш докладно це обговорюється в разд. Сам цей результат виходить прямо з визначення (3240) за допомогою коефіцієнта (3234) і співвідношень симетрії і ортогональності для коефіцієнтів Вігнера. Потім ми інтерпретуємо наші результати новим образом як тіньовий оператор[15 - 17], що виконує перетворення між полиномами Якобі і коефіцієнтами Вигнера. Висловлюючись більш ясно (на мові фізики), коефіцієнти Вігнера є дискретизованої формою матриць обертань.
потім ці два співвідношення перемножуємо і підсумовуємо по а, а потім по /, використовуючи співвідношення ортогональності для коефіцієнтів Вігнера.
Беручи матричні елементи наведених операторних співвідношень по відношенню до базисних станів нашого основного гильбертова простору отримуємо алгебраїчні співвідношення між коефіцієнтами Вигнера і Рака, які вже розглянуті в розд. Ці співвідношення справедливі без посилання на лежачу в основі фізику . Справді сутність теореми Вігнера - Еккарта полягає в факторизации фізичного тензорного оператора на дві частини: частина, що містить фізику і зіставляти з оператором (скороченими матричними елементами), який зазвичай необмежений, і частина (оператор Вигнера), яка включає симетрію обертань і яка обмежена.
Для підтримки цієї точки зору важливо уявити властивості коефіцієнтів Рака в формі яка звільняє їх від визначення за допомогою коефіцієнтів Вігнера. Ми починаємо виконання цієї програми в даному розділі.