А Б В Г Д Е Є Ж З І Ї Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ю Я
Комплексно-зв'язаний корінь
Комплексно-зв'язані коріння, які серед усіх коренів найближче розташовані до початку координат s - площині називаються домінуючими країнами, оскільки саме вони в основному визначають вид перехідної характеристики системи. В системі третього порядку при наявності двох комплексно-сполучених коренів їх можна вважати домінуючими, якщо значення третього (дійсного) кореня не менше ніж в 5 разів перевищує дійсну частину комплексно-сполучених коренів.
Показники якості регулювання. | Область розташування коренів із заданими значеннями а і р. Згідно (242) комплексно-зв'язані коріння, мають максимальний кут ф, дадуть складову коливального перехідного процесу, що має найменше загасання, і отже, коливальність системи буде визначатися цієї складової, так як інші складові мають більшу загасання.
У разі комплексно-сполучених коренів рішення містить складають згасаючих коливань.
Кожній парі комплексно-сполучених коренів, розташованих в колі z 1 відповідає загасаюча коливальна вихідна послідовність імпульсів.
Рівняння (245) має комплексно-зв'язані коріння; йрі-ніж всі корені з положітельнойлдействітельной частиною (що характеризує процес загасання коливань) повинні бути відкинуті як не відповідають фізичним условідм завдання.
Для ідентифікації дійсних або комплексно-сполучених коренів в програмі передбачена безпосередня засилання дійсних коренів в регістри X і Y і попереднє висвітлення повідомлення Еггог для комплексних коренів з їх засиланням в регістри X і Y після додаткового пуску програми. При цьому для виклику в регістр X кореня ХГ чи уявної частини комплексно-сполучених коренів Irru1]2 досить натиснути клавішу XY зі збереженням інформації в операційному стеку.
Таким чином, парі комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння відповідає пара дійсних рішень.
Таким чином, парі комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння відповідає пара лінійно незалежних дійсних рішень.
7 &) - - Для комплексно-сполучених коренів, звідки випливає, що інтеграли правої частини (3815) є розбіжними.
Так, наприклад, пара комплексно-сполучених коренів Xi і л 2 що знаходяться в лівій півплощині (рис. 5.2 точки А я В), характеризується векторами ОА і ОВ. Відзначаючи незалежну змінну л /з точкою Е на уявної осі і поєднуючи її з точками А а В прямими, отримаємо вектори АЕ і BE, що характеризують співмножники (/с - At) і (/с - Х2) відповідно.
Досить часто один речовий або пара комплексно-сполучених коренів розташовані набагато ближче інших до уявної осі. Такі коріння називаються домінуючими, вони визначають ступінь стійкості системи. Цим коріння відповідає найбільш повільно загасаюча складова перехідного процесу. Вона і визначає час загасання (регулювання) процесу в цілому.
Якщо є хоча б одна пара комплексно-сполучених коренів OGj 2 а 7 Р, теорема в загальному випадку невірна, так як при цьому в функцію о.
Тут через nli3 позначена коливальність для пари комплексно-сполучених коренів.
Якщо рівняння М (р) 0 має комплексно-зв'язані коріння, то складові відповідні їм у формулі (861), виявляються також комплексно-сполученими і в сумі дають дійсне доданок.
Якщо рівняння М (р) 0 має комплексно-зв'язані коріння, то складові відповідні їм у формулі (861), виявляються також комплексно-сполученими і в сумі дають дійсне доданок.
Якщо ж характеристичний поліном АСР має пару домінуючих комплексно-сполучених коренів, то формули (228) є практично точними. Показник колебательности може служити надійним критерієм якості перехідного процесу.
Як правило, рівняння (817) має дві пари комплексно-сполучених коренів. Однак при деяких значеннях п (див. Приклад 1) одна пара комплексних коренів може перетворитися в два речових кореня.
При а C aja3 рівняння (102) має комплексно-зв'язані коріння.
Якщо серед коренів рівняння Рг (р) Про є комплексно-зв'язані коріння pk і pk, то при обчисленні відповідних їм доданків, що стоять в правій частині суми рівнянь (7.7) і (7.8), досить визначити доданок для одного з цих коренів, наприклад pk, а для сполученого кореня pk слід взяти поєднане значення цього доданка. Сума, що відповідає цим двом складовим, дорівнює подвоєному значенню дійсної частини, знайденої для одного з коренів.
Також ОЛЕД врахувати, що волі характеристичне рівняння об'єкта має комплексно-зв'язані коріння то апроксимація його моделлю першого порядку не завжди можлива.
так як і кожному комплексному корені многочлена з дійсними коефіцієнтами відповідає комплексно-зв'язаний корінь, многочлен непарного степеня обов'язково має хоча б один дійсний корінь.
Яа -]- /р - один з двох можливих комплексно-сполучених коренів рівняння Rab - Kgab Q, а числа а і т відмінні від нуля, а в іншому довільні.
Якщо ж всі дійсні корені характеристичного рівняння негативні а все комплексно-зв'язані коріння мають негативну дійсну частину, то досліджуване рух є стійким.
Області параметрів, відповідні різній структурі характеристичних показників. | Гіпотетичні розподілу щільності матеріалу неоднорідного стрижня. Для області 4 характерна наявність пари негативних речових коренів і пари комплексно-сполучених коренів з негативними дійсними частинами. Нарешті в області 5 при а k% X X (kl А2) з'являється матеріальний позитивний корінь, який відповідає від'ємного значення вільного члена характеристичного рівняння.
Це означає, що система при деяких значеннях ПХ і Яг має комплексно-зв'язані коріння fwh що зазначалося раніше як властивість алгебраїчного рівняння з дійсними коефіцієнтами.
Таким чином, при і cos ф ОА дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Im з 0; Відповідні обурення призводять до нестійкості. В Внаслідок тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Ця функція являє собою власні коливання лінійних динамічних систем, обумовлені парою комплексно-сполучених коренів р про 7СО характеристичних рівнянь цих систем.
Таким чином, при v cos p Vk дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Inicj 0; відповідні обурення призводять до нестійкості.
Таким чином, при v cos ф У дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, трива одного з яких буде Im ш 0; відповідні обурення призводять до нестійкості. В результаті тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Таким образрм, при v cos ф і дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Im з: 0; відповідні обурення призводять до нестійкості. При v Vk такі розмущенія з будь-яким кутом ф, а при v vk нестійкі тільки обурення З cos ф vkjv. В результаті тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Структурна схема з нелінійним елементом в ланцюзі зворотного зв'язку. | АФХ нестійкою в розімкнутому стані системи і характеристика нелінійного елемента. Нестійкість системи у разі роз'єднання коректує зворотного зв'язку найбільш часто викликається наявністю однієї пари комплексно-сполучених коренів з позитивною дійсною частиною.
Частота коливань cuj доданка ип ((t) відповідає уявної частини пари комплексно-сполучених коренів. Вона являє собою одну з резонансних частот технічної системи. Якщо ocj 0 то coj збігається з г-ой власною частотою технічної системи. Нехай серед коренів многочлена (340) є v нульових, fi дійсних і г комплексно-сполучених коренів. Многочлен (341) має q дійсних і /комплексно-сполучених коренів.
Цим же способом можна знаходити і дійсні корені многочленів, для обчислення їх комплексно-сполучених коренів застосовуються і інші методи. В[32]приведена програма обчислення на калькуляторі коренів многочлена 5 - го ступеня, що виділяє дійсний корінь і виконує розкладання многочлена на квадратичні множники. Обсяг програми - 96 кроків, час рахунку 13 хв. Автор вказує, що при ступеня многочлена вище п'ятої застосування калькулятора стає недоцільним через значне зростання похибки і часу рахунку.
Точніше кажучи, коливання з частотою ш виражається парою членів, що відповідають парі комплексно-сполучених коренів.
Залежність У від m. Формула (222) дає точне значення V верб випадку, якщо система має пару домінуючих комплексно-сполучених коренів.
Сума двох експоненційних складових у вирішенні диференціального рівняння ланцюга (317), відповідних кожній парі комплексно-сполучених коренів, дає загасаючу по експоненті гармонійну функцію.
Інакше можна сказати, що коливальність системи є ставлення уявної частини до речової для тих комплексно-сполучених коренів, для яких це відношення найбільше. Якщо все коріння характеристичного рівняння дійсні то коливальність системи дорівнює нулю.
Ця формула придатна і для комплексних коренів: кожна пара елементарних дробів, відповідна парі комплексно-сполучених коренів, об'єднується в одну дійсну дріб з квадратичним знаменником.
Якщо коріння рівні тільки по модулю, але xj, Ф х /- (наприклад, комплексно-зв'язані коріння), то це випадковий збіг.
Отже, перехідний процес в САУ складається з коливальних і апериодических складових: коливальна складова відповідає парі комплексно-сполучених коренів, а апериодическая - дійсному кореню. САУ при цьому знаходиться на межі стійкості.
Знаменник 5 (z) z2 - l 26z 081 заданої функції S (z) має комплексно-зв'язані коріння і відповідає знаменника табличних z - перетворень (див. Пп. Оскільки тимчасове напрямок повинен мати лише один з векторів, рівняння (2) не може мати двох пар комплексно-сполучених коренів.
Якщо ВІД оточена згортається спіраллю, то її називають стійким фокусом (рис. 1611 е); їй відповідають комплексно-зв'язані коріння з негативною дійсною частиною.
Якщо ВІД оточена розкручування спіраллю, то її називають нестійким фокусом (рис. 1611 ж); їй відповідають комплексно-зв'язані коріння з позитивною дійсною частиною.
Коли коефіцієнт посилення перевершує критичне значення, коефіцієнт демпфірування в поліномі другого порядку стає негативним або одночасно дійсна частина двох комплексно-сполучених коренів стає позитивною.
Один з коренів - дійсний, два інших - комплексні причому знаки дійсного кореня і дійсних частин двох інших - комплексно-сполучених коренів - різні.
Один з коренів - дійсний, два інших - комплексні причому знаки дійсного кореня і дійсних частин двох інших - комплексно-сполучених коренів - різні.
Оскільки тимчасове напрямок повинен мати лише один з векторів, це означає, що рівняння (2) не може мати двох пар комплексно-сполучених коренів.
Показники якості регулювання. | Область розташування коренів із заданими значеннями а і р. Згідно (242) комплексно-зв'язані коріння, мають максимальний кут ф, дадуть складову коливального перехідного процесу, що має найменше загасання, і отже, коливальність системи буде визначатися цієї складової, так як інші складові мають більшу загасання.
У разі комплексно-сполучених коренів рішення містить складають згасаючих коливань.
Кожній парі комплексно-сполучених коренів, розташованих в колі z 1 відповідає загасаюча коливальна вихідна послідовність імпульсів.
Рівняння (245) має комплексно-зв'язані коріння; йрі-ніж всі корені з положітельнойлдействітельной частиною (що характеризує процес загасання коливань) повинні бути відкинуті як не відповідають фізичним условідм завдання.
Для ідентифікації дійсних або комплексно-сполучених коренів в програмі передбачена безпосередня засилання дійсних коренів в регістри X і Y і попереднє висвітлення повідомлення Еггог для комплексних коренів з їх засиланням в регістри X і Y після додаткового пуску програми. При цьому для виклику в регістр X кореня ХГ чи уявної частини комплексно-сполучених коренів Irru1]2 досить натиснути клавішу XY зі збереженням інформації в операційному стеку.
Таким чином, парі комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння відповідає пара дійсних рішень.
Таким чином, парі комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння відповідає пара лінійно незалежних дійсних рішень.
7 &) - - Для комплексно-сполучених коренів, звідки випливає, що інтеграли правої частини (3815) є розбіжними.
Так, наприклад, пара комплексно-сполучених коренів Xi і л 2 що знаходяться в лівій півплощині (рис. 5.2 точки А я В), характеризується векторами ОА і ОВ. Відзначаючи незалежну змінну л /з точкою Е на уявної осі і поєднуючи її з точками А а В прямими, отримаємо вектори АЕ і BE, що характеризують співмножники (/с - At) і (/с - Х2) відповідно.
Досить часто один речовий або пара комплексно-сполучених коренів розташовані набагато ближче інших до уявної осі. Такі коріння називаються домінуючими, вони визначають ступінь стійкості системи. Цим коріння відповідає найбільш повільно загасаюча складова перехідного процесу. Вона і визначає час загасання (регулювання) процесу в цілому.
Якщо є хоча б одна пара комплексно-сполучених коренів OGj 2 а 7 Р, теорема в загальному випадку невірна, так як при цьому в функцію о.
Тут через nli3 позначена коливальність для пари комплексно-сполучених коренів.
Якщо рівняння М (р) 0 має комплексно-зв'язані коріння, то складові відповідні їм у формулі (861), виявляються також комплексно-сполученими і в сумі дають дійсне доданок.
Якщо рівняння М (р) 0 має комплексно-зв'язані коріння, то складові відповідні їм у формулі (861), виявляються також комплексно-сполученими і в сумі дають дійсне доданок.
Якщо ж характеристичний поліном АСР має пару домінуючих комплексно-сполучених коренів, то формули (228) є практично точними. Показник колебательности може служити надійним критерієм якості перехідного процесу.
Як правило, рівняння (817) має дві пари комплексно-сполучених коренів. Однак при деяких значеннях п (див. Приклад 1) одна пара комплексних коренів може перетворитися в два речових кореня.
При а C aja3 рівняння (102) має комплексно-зв'язані коріння.
Якщо серед коренів рівняння Рг (р) Про є комплексно-зв'язані коріння pk і pk, то при обчисленні відповідних їм доданків, що стоять в правій частині суми рівнянь (7.7) і (7.8), досить визначити доданок для одного з цих коренів, наприклад pk, а для сполученого кореня pk слід взяти поєднане значення цього доданка. Сума, що відповідає цим двом складовим, дорівнює подвоєному значенню дійсної частини, знайденої для одного з коренів.
Також ОЛЕД врахувати, що волі характеристичне рівняння об'єкта має комплексно-зв'язані коріння то апроксимація його моделлю першого порядку не завжди можлива.
так як і кожному комплексному корені многочлена з дійсними коефіцієнтами відповідає комплексно-зв'язаний корінь, многочлен непарного степеня обов'язково має хоча б один дійсний корінь.
Яа -]- /р - один з двох можливих комплексно-сполучених коренів рівняння Rab - Kgab Q, а числа а і т відмінні від нуля, а в іншому довільні.
Якщо ж всі дійсні корені характеристичного рівняння негативні а все комплексно-зв'язані коріння мають негативну дійсну частину, то досліджуване рух є стійким.
Області параметрів, відповідні різній структурі характеристичних показників. | Гіпотетичні розподілу щільності матеріалу неоднорідного стрижня. Для області 4 характерна наявність пари негативних речових коренів і пари комплексно-сполучених коренів з негативними дійсними частинами. Нарешті в області 5 при а k% X X (kl А2) з'являється матеріальний позитивний корінь, який відповідає від'ємного значення вільного члена характеристичного рівняння.
Це означає, що система при деяких значеннях ПХ і Яг має комплексно-зв'язані коріння fwh що зазначалося раніше як властивість алгебраїчного рівняння з дійсними коефіцієнтами.
Таким чином, при і cos ф ОА дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Im з 0; Відповідні обурення призводять до нестійкості. В Внаслідок тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Ця функція являє собою власні коливання лінійних динамічних систем, обумовлені парою комплексно-сполучених коренів р про 7СО характеристичних рівнянь цих систем.
Таким чином, при v cos p Vk дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Inicj 0; відповідні обурення призводять до нестійкості.
Таким чином, при v cos ф У дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, трива одного з яких буде Im ш 0; відповідні обурення призводять до нестійкості. В результаті тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Таким образрм, при v cos ф і дисперсійне рівняння має пару комплексно-сполучених коренів, для одного з яких буде Im з: 0; відповідні обурення призводять до нестійкості. При v Vk такі розмущенія з будь-яким кутом ф, а при v vk нестійкі тільки обурення З cos ф vkjv. В результаті тангенціальний розрив нестійкий завжди.
Структурна схема з нелінійним елементом в ланцюзі зворотного зв'язку. | АФХ нестійкою в розімкнутому стані системи і характеристика нелінійного елемента. Нестійкість системи у разі роз'єднання коректує зворотного зв'язку найбільш часто викликається наявністю однієї пари комплексно-сполучених коренів з позитивною дійсною частиною.
Частота коливань cuj доданка ип ((t) відповідає уявної частини пари комплексно-сполучених коренів. Вона являє собою одну з резонансних частот технічної системи. Якщо ocj 0 то coj збігається з г-ой власною частотою технічної системи. Нехай серед коренів многочлена (340) є v нульових, fi дійсних і г комплексно-сполучених коренів. Многочлен (341) має q дійсних і /комплексно-сполучених коренів.
Цим же способом можна знаходити і дійсні корені многочленів, для обчислення їх комплексно-сполучених коренів застосовуються і інші методи. В[32]приведена програма обчислення на калькуляторі коренів многочлена 5 - го ступеня, що виділяє дійсний корінь і виконує розкладання многочлена на квадратичні множники. Обсяг програми - 96 кроків, час рахунку 13 хв. Автор вказує, що при ступеня многочлена вище п'ятої застосування калькулятора стає недоцільним через значне зростання похибки і часу рахунку.
Точніше кажучи, коливання з частотою ш виражається парою членів, що відповідають парі комплексно-сполучених коренів.
Залежність У від m. Формула (222) дає точне значення V верб випадку, якщо система має пару домінуючих комплексно-сполучених коренів.
Сума двох експоненційних складових у вирішенні диференціального рівняння ланцюга (317), відповідних кожній парі комплексно-сполучених коренів, дає загасаючу по експоненті гармонійну функцію.
Інакше можна сказати, що коливальність системи є ставлення уявної частини до речової для тих комплексно-сполучених коренів, для яких це відношення найбільше. Якщо все коріння характеристичного рівняння дійсні то коливальність системи дорівнює нулю.
Ця формула придатна і для комплексних коренів: кожна пара елементарних дробів, відповідна парі комплексно-сполучених коренів, об'єднується в одну дійсну дріб з квадратичним знаменником.
Якщо коріння рівні тільки по модулю, але xj, Ф х /- (наприклад, комплексно-зв'язані коріння), то це випадковий збіг.
Отже, перехідний процес в САУ складається з коливальних і апериодических складових: коливальна складова відповідає парі комплексно-сполучених коренів, а апериодическая - дійсному кореню. САУ при цьому знаходиться на межі стійкості.
Знаменник 5 (z) z2 - l 26z 081 заданої функції S (z) має комплексно-зв'язані коріння і відповідає знаменника табличних z - перетворень (див. Пп. Оскільки тимчасове напрямок повинен мати лише один з векторів, рівняння (2) не може мати двох пар комплексно-сполучених коренів.
Якщо ВІД оточена згортається спіраллю, то її називають стійким фокусом (рис. 1611 е); їй відповідають комплексно-зв'язані коріння з негативною дійсною частиною.
Якщо ВІД оточена розкручування спіраллю, то її називають нестійким фокусом (рис. 1611 ж); їй відповідають комплексно-зв'язані коріння з позитивною дійсною частиною.
Коли коефіцієнт посилення перевершує критичне значення, коефіцієнт демпфірування в поліномі другого порядку стає негативним або одночасно дійсна частина двох комплексно-сполучених коренів стає позитивною.
Один з коренів - дійсний, два інших - комплексні причому знаки дійсного кореня і дійсних частин двох інших - комплексно-сполучених коренів - різні.
Один з коренів - дійсний, два інших - комплексні причому знаки дійсного кореня і дійсних частин двох інших - комплексно-сполучених коренів - різні.
Оскільки тимчасове напрямок повинен мати лише один з векторів, це означає, що рівняння (2) не може мати двох пар комплексно-сполучених коренів.